朝思暮想

引用:

原帖由 happyyj 于 2010-7-19 14:23 发表
……任福尔摩斯和华生聚在一起又怎样，该不会的照样不会。。。。
叫天不应、叫地不灵，还是叫007和CC两位大侠爸爸得空关照一下吧，这厢先有礼了。

　　欣然诗太出此重言，令007深感不安。虽然前面提出了一种可以让小三生理解的试算法，但估计你家小三生不会满意的。007心里一直在琢磨，能不能找到一种巧妙的算术方法解法这个问题？否则，就愧对诗太的托付了。
　　今天上午，007跟儿子商量：能不能用画图作业的方法解决这个变态的鸡兔同舞问题给解决了？
　　儿子用图画出了题意，可是，总不得要领。

　　007暗中也画了图，躲在一边钻研。因为，我已经知道答案，所以一再陷入想当然的思维定势。其中好像有许多奥妙，却又百思不得其解，找不到简便的算术解法。
　　下午，到了数学探究时间，儿子继续对着自己画的图发呆。他甚至放弃了思考，问：老爸，你肯定画图的方法可以吗？
　　007：我觉得可以。当然，我们可能找不到，但并不表示别人找不到。
　　这句话好像刺激了孩子，他继续钻研……

　　天下竟有如此变态的算术解法！

　　太阳偏西了，好像还没有突破……
　　就在刚才，儿子突然跑过来报告一个发现：我们先不去管那5个演奏的。不管是小鸡演奏，还是小兔子演奏，跳舞的鸡兔数量是一样多。
　　007：嗯，是这样。可是，能够说明什么问题呢？
　　子：小鸡演奏的时候，跳舞的动物分成2份，1份是小鸡，1份是小兔。
　　父：对呀，小兔子演奏的时候，跳舞的动物分成4份，3份是小鸡，1份是小兔。如果小鸡演奏的时候，跳舞的动物分成4份，几份是小鸡，几份是小兔？
　　子：分成4分的话，小鸡小兔各有2份。
　　父：小兔子演奏的时候，所有3份小鸡都在跳舞；5只小鸡演奏的时候，有2份数量的小鸡在跳舞。这2份小鸡再加上5只小鸡，就等于3份小鸡。反过来说，3份小鸡等于2份小鸡加5只小鸡。这说明什么？
　　子：1份小鸡就是5只。
　　父：所有小鸡就是3份，就是15只。
　　子：耶——我们做出来了。我要奖励一下，我要去看《三国》了。
　　父：别急呀。你还可以从小兔的角度去考虑呢？
　　子：2份小兔等于1份小兔加5只小兔，所以1份小免是5只，2份是10。就这么简单！

　　鸡兔用舞问题的算术解法是：
　　鸡：5*3=15（只）
　　免：5*2=10（只）

　　如法炮制，欣然阿姨的奥题，算术解法是：
　　信纸：50*3=150（张）
　　信封：50*2=100（只）
　　用儿子的话来说：就这么简单！！ .

刚才收到书,果然是给我看的,不是给小朋友可以直接讲的。

开工,先好好学习，然后自编讲义~~~~~``.

敢情你是立志嫁数学专业的啊?

你也太快了，一个月不到就出阁了?太便宜那小子了。.

Alex 画出来是这样的，但是为什么呢？我们还有点搞不清楚。
.

大事不聪明，小事更糊涂。
没立志，是正好赶上了，不过也可见数学的缺憾对我影响有多大。.

这个是不是就是Alex对007最后的浓缩的图示：每份5只，小鸡有3份，15只；小兔有2份，10只？.

太叹服了，这真的是大道至简啊！.

拿着007的情景案例，给小三照搬。

开场白：来来来，今天来一个比那天的“金矿”更有意思的东西！
三：是什么？
我：是个特别有意思的故事，想听吗？
三：想听！
刚说了个开头，小三叫起来：哎呀，鸡兔同笼、鸡兔同笼！
我：不是鸡兔同笼，今天是鸡兔同舞！！.

我：一开始是5只小鸡在台上演奏，剩下的小鸡正好跟小兔一样多，大家就在舞池里跳起了双人舞。     
       你从这段故事了解到什么？
小三思考
我：小鸡多还是小兔多？
三：小鸡多。可是虽然跳双人舞，但是我不知道他们一共有几对，所以还是没办法知道具体数量。

我：那你怎么不继续看看第二段故事。
小三阅读：后来，有5只小兔把演奏的小鸡都换了下来，弹奏出非常刺激的打击乐。所有的小鸡3只一组，每一组正好可以搭配1只小兔。小鸡围着小兔跳起了特别好玩的鸡兔舞。。。。

我：从这里又能知道什么？
小三：知道小鸡比小兔至少多10只。
我：什么？到底是知道“小鸡比小兔至少多10只”，还是知道“小鸡至少有10只”？这两种说法一样吗？
三：不一样。
我：那你认为哪种说法对？
三：“小鸡比小兔至少多10只”，对的可能性是49.9%；“小鸡至少有10只”，对的可能性是50.1%
我：我本来就很费劲，你这样给我绕，我绕不过来的哦，明确一点！
小三笑言：应该说“小鸡至少有10只”。.

我：那所有的小鸡3只一组，每一组正好可以搭配1只小兔，又说明什么？
小三摇头
我：11只小鸡可以吗？
三：嗯。。。。不行！有个兔子不够3只鸡了，除非它突然站起来，假装自己也是一只鸡！
我忍住笑：13只小鸡可以吗？
三：你别说了，我知道了，小鸡的只数只能是3的整倍数。

我：好了，接下来就简单了，你看小鸡至少10只，又是3的倍数，那你就试吧，看看小鸡到底多少只。
如此小三试了小鸡12只，24只，30只，一减5，又分别得到兔子7只，19只，25只。
我：那你再验算，看对不对。
三：兔子7只，19只，25只，一乘3，小鸡就变成21只，57只，75只——不对了不对了！越搞越大，都快变成圆明园的迷宫了，越走越难，怎么也走不出来了！
我：别说越搞越大，你先看看你验算时犯了什么错。
小三懵然不知。
我：你怎能忘记台上还有5只演奏的小兔呢！
小三很羞愧，重新验算，得到小鸡数6只，42只，60只，当然还是对不拢，所以继续试。

小三又试了小鸡21只，18只，15只，
叫：对了！小鸡15只！小兔10只！

我开玩笑：刚才为何不试试小鸡3只？
三：已经说小鸡至少10只了；再说这样兔子就成负数了，不可能！.

是很累！
不过在小三大叫“对了！小鸡15只！小兔10只！”时，我真真切切地看见他眼中散发出晶晶亮的、喜悦的光芒！如此足矣。。。。.

1.“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，不亲自辅导，我是永远不会有感觉的，这么陪着小三走了一程，我在一步步中体会到007改编题目、编写故事的匠心和巧妙，
  若非对这个年龄段孩子的心理和认知水平有着非常精准的把握，是根本不可能改编出如此适宜、精当的故事的。——化繁为简，化哪个繁？就哪个简？那都是水平。
  我，今天刚刚明白什么叫“小子几岁老子就几岁”。
  致意、学习

2.请教（对于我们数学白痴的请教，不管多么幼稚，请尽量别嘲笑，可否？）：
  好像CC爸爸风洞帖也正在考孩子们，何处适用“试算”。
  关于试算，这题是我们知道答案唯一；
  如果对于答案不唯一的题目，怎么来确保试算时不会遗漏答案？因为试算时还无法知道一共应该有几个答案才算了结啊，那要试到何时去呢？

3.“至少”：这个题目的辅导中出现了几次“至少”，让我联想起去年小三的一道题，
  判断正误：一个锐角三角形至少包括2个锐角。
  我很迷惑，又觉得正，又觉得误。到现在都没搞清，顺便也请教一下吧。

  最后由衷感谢007不厌其详的回复，占用您许多宝贵的时间。 .

从今天起就把你们说的，辅导孩子作为最大的一个享乐。。。。真的不容易，有时候，要开始功课了，儿子还磨磨蹭蹭不愿意去，妹妹呢，就开始大哭起来拉着我不让走。。。心情马上就开始变得不那么好起来，然后，儿子还慢吞吞，还抱怨的话，仅有的那么一点点耐心就荡然无存了。。。.

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引用:

原帖由 happyyj 于 2010-7-20 18:37 发表
2.请教（对于我们数学白痴的请教，不管多么幼稚，请尽量别嘲笑，可否？）：
  好像CC爸爸风洞帖也正在考孩子们，何处适用“试算”。
  关于试算，这题是我们知道答案唯一；
  如果对于答案不唯一的题目，怎么来确保试算时不会遗漏答案？因为试算时还无法知道一共应该有几个答案才算了结啊，那要试到何时去呢？ ...

风洞问题告诉我们以下几个事实：
1、有时我们知道公式，但是公式非常复杂，计算量非常大，那么试算是值得考虑的数学方法。
2、当我们在探究一个未知的新问题时，我们没有公式或者根本就不知道用哪个公式，试算几乎是唯一可用的数学方法。
3、这里说到的结果唯一性问题，多个结果如何试算的问题。这在小学阶段能提出来已经很厉害了。以后会有专门的时间去研究这些问题，即唯一解和非唯一解，解的集合，优化解等等。从这可以知道，将来研究这些问题并不是多余的。
4、试算中蕴含的东西还很多，如分析结果的最小值、最大值，缩小试算的范围，提高试算的效率。这些都是值得我们现在专题研究的。

引用:

原帖由 happyyj 于 2010-7-20 18:37 发表
3.“至少”：这个题目的辅导中出现了几次“至少”，让我联想起去年小三的一道题，
  判断正误：一个锐角三角形至少包括2个锐角。
  我很迷惑，又觉得正，又觉得误。到现在都没搞清，顺便也请教一下吧。 ...

“有且只有”、“至少”都是几何原本里边的重要元素，是建立数学体系的语言和逻辑的基础。在小学阶段，我反对让孩子学习这些复杂的逻辑表述和逻辑关系。三年级上的数字广场中曾经有一个抽屉原理，当时就把我和Alex搞得十分痛苦。其实，在小学阶段仅仅是让孩子接触到这些就可以了，要做深刻的研究，应该是系统地学过平面几何以后。
具体到“一个三角形至少包括2个锐角”（锐角的限定不需要），目前阶段只能体验。拿三根筷子，固定其中一根，另两根旋转，看看他们所形成的三角形的角有什么关系。.

电子版见：
http://blog.sina.com.cn/s/blog_53ff1c7f0100go9b.html

另，数学是个冤死鬼。.

那个非唯一解的问题哪里是小三提的，是我自己在请教。。。。


CC爸爸说得对，小学生还不必深纠那些非常严谨的逻辑表述，
其实我也知道老师需要的答案是“误”，因为锐角三角形的定义就是“三个角都是锐角的三角形”。

还是我自己在钻牛角尖、是我自己想着想着被困扰了：我困扰在“至少包含2个锐角”是不是也涵盖了“有3个锐角”这层意思，
如果这样，这句话就不能算“误”啊——难道说“一个锐角三角形至少包含2个锐角”是错的吗？没错啊，——只是它其实不止2个、更多1个而已呀。.

引用:

原帖由 happyyj 于 2010-7-20 18:37 发表
最后由衷感谢007不厌其详的回复，占用您许多宝贵的时间。

　　问题

　　诗太客气了！你提供了这道小三奥数题，让我家小四生研究琢磨了四天。不但在帮助我家孩子打发这漫长的暑假，还学有所得，也替007解了出题之困。我应该感谢你！
　　说到“化繁为简”，不由得想起孩子期末考试的一道填空题：

　　一个圆连续对折5次，将这个圆分成了（　　）份。

　　儿子的答案是32，做对了。J同学的答案是10，做错了。11怎么做对的？J同学又是怎么做错的？
　　寒假开始时，我们曾经分析讨论过这个问题。当时，Alex也场。我们就用这道题考考这个聪明的小三生。
　　小三生果然不同凡响。他找来一张纸做实验，把它大致上撕成一个圆，然后就开始对折。连续对折5次之后，他展开那个圆，一份份地数，起初他数出31份。我们说错了，他再数，数出是32份。

　　方法

　　我和ccpaging都肯定Alex动手试验去解决问题的方法，11说他也是用这种方法找到正确的答案的。
　　007问：你们觉得非得要连续折5次才能找到答案么？
　　三个小朋友都不明白007是什么意思。
　　007问：你们还记得我们数长方形那道题吗？我说的方法，跟CC爸爸说的方法不一样。

　　CC教了什么方法呢？小三小四们一起回忆：先数一行有几个长方形，然后数共有几行。
　　数一行有多少个长方形时，采取的办法就是“化繁为简”。先假定只有一个长方形，那当然不会数出第2个长方形来；加一个长方形，那么，原来数过的就不数了，只数因为增加一个长方形而实际多出几个长方形（2个）；再加一个长方形之后，实际增加了3个长方形，所以一行共有1+2+3个长方形。

　　一共有多少行呢？可以用类似的方法数出：

　　所以，共有（1+2+3）*（1+2+3）=6*6=36个长方形！
　　小三小四们都能够理解上述思路。

　　思维方法的迁移

　　007问：如果碰到一个非常复杂的问题，怎么办？
　　答：先想几个简单的问题，找到规律以后，再去回答复杂的问题。
　　007：那么，你们在数对折的圆有多少份时，可不可以用同样的策略解决问题呢？
　　11：我就是这样想的呀！
　　他开始跟Alex讲解他的解决思路：
　　
　　1个圆不对折时，只有1份；
　　1个圆对折1次，有1*2份；
　　1个圆对折2次，有1*2*2份；
　　……
　　对折几次，份数就是几个2相乘。
　　所以连续对折5次就是5个2相乘：1*2*2*2*2*2=32（份）。

　　J同学插话说，他也是这样想的，不过他把5个2相乘列成了2*5=10.
　　大家都笑了：2*5表示5个2相乘吗？
　　J同学：不是，2*5表示5个2相加。
　　J同学很后悔自己没有细想，功亏一篑，白白地丢分了！

　　哈哈，诗太，看明白了吗？化繁为简的高手是CC呢！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2010-7-21 13:42 编辑 ].

那个非唯一解的问题哪里是小三提的，是我自己在请教。。。。
答：那就好办了。一般的二元一次方程代表了坐标系当中的一条直线。两条直线之间的关系有三种：重合即无穷解，平行即无解，相交只有一个交点。

还是我自己在钻牛角尖、是我自己想着想着被困扰了：我困扰在“至少包含2个锐角”是不是也涵盖了“有3个锐角”这层意思，
答：是的，您的原话不够数学，应该说“至少包含2个锐角”包括那些“有3个锐角”的三角形。
在这里“至少”的意思是不能少于2个锐角。真正的麻烦在于如何证明这一点，因为存在无穷个不同形状的三角形。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-7-21 12:31 编辑 ].

在笛卡尔的四句箴言里边是有的，我这再重复拷贝一次。

　　笛卡儿被广泛认为是西方现代哲学的奠基人，他第一个创立了一套完整的哲学体系。哲学上，笛卡儿是一个二元论者以及理性主义者。笛卡儿认为，人类应该可以使用数学的方法――也就是理性――来进行哲学思考、、、他从逻辑学、几何学和代数学中发现了4条规则：
1. 除了清楚明白的观念外，绝不接受其他任何东西；
2. 必须将每个问题分成若干个简单的部分来处理；
3. 思想必须从简单到复杂；
4. 我们应该时常进行彻底的检查，确保没有遗漏任何东西。

　　笛卡儿将这种方法不仅运用在哲学思考上，还运用于几何学，并创立了解析几何。

　　（后面的部分太多评论的成分，删除不摘）

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-7-21 20:53 编辑 ].

都是高手爸爸，就不要互相谦让客气了；——学生在这里，是俺们。

不过，以我之昏昏，要令小三昭昭，那个辛苦还真不是一点点！
不怕你们大侠BB笑话，我辅导着、辅导着会又犯迷糊的；这时，就赶紧再去瞄一眼007的教案，把思路再理回来。
那道“鸡兔同舞”题，我中间停顿了几下，小三就说：“好像你还不太会么，就跑来教我了。”

这个题又是很有意思的，回去又可以为难一下小三生了。

不过信笺的题我就先放一边了，过一阵子拿出来，小三如果能触类旁通，才算真正掌握了“鸡兔同舞”。.

>在这里“至少”的意思是不能少于2个锐角。真正的麻烦在于如何证明这一点，因为存在无穷个不同形状的三角形。
不用证明了吧？在我看来就是文字游戏而已。.

证明的方法是基于四大公理，以后可以证明。小三不能提供严密的证明，但是可以通过旋转三角形的两条边，得到初步的认识。只不过，我觉得意义不是太大，因为毕竟几何是一个体系，不是一个知识点这么简单。.

我还是不明白。到底要证明什么呢？“三个角都是锐角的三角形至少有两个锐角”？.

命题：三角形三个内角中至少有两个锐角。.

引用:

原帖由 happyyj 于 2010-7-21 12:22 发表
那道“鸡兔同舞”题，我中间停顿了几下，小三就说：“好像你还不太会么，就跑来教我了。”

要是我家小四生这么说007，007会理直气壮：外，我是华生耶。我只是在提出问题，破案要靠你福尔摩斯呢！
作孩子的同学，跟他讨论的时候，不懂不要怕。不懂，就让孩子知道我不懂。如果懂了，BBMM还要装不懂呢！.

你需要装，我根本不需要装，我们的不懂乃是是纯天然的。.

请别这么说。
鸡兔同舞问题最后一个算术巧解方法，我事先就没有想出来。在孩子的启发下，我们才共同找到的。.

所以说是教学相长。

另外，您前面提及的“教然后知困……，知困然后自强也”，“教是一种再好不过的学习方式”，真的是非常有道理的。
以前小三的爸爸经常践行这个理论，每次给小三讲完，都要小三当老师，反过来给他讲一遍，
小三如果能抓住要害、讲得非常流利，那说明这个问题他已经掌握得很好了；如果讲得生生分分、结结巴巴，那就说明还不太透彻。

仅仅会自己做而讲不清楚，比起又会做、又能讲通给别人听，程度上是有差别的。.

引用:

原帖由 happyyj 于 2010-7-21 13:39 发表
你需要装，我根本不需要装，我们的不懂乃是是纯天然的。

给您说个实话，我和007也不是懂装不懂，是真不懂。或者说我们懂某道题，有自己的做题设想，但是因为刻意得不想“教”，探究的过程和方向是同学们掌握的。所以，我们俩也经常被带得东倒西歪，几个小三小四的脑子动的太快了。
开始我是觉得吓丝丝的，有点像一群人在山里乱走的感觉，对能否按照小三小四的思路到达目标，一点都没有信心。这样的事做过很多次以后，我已经开始喜欢这种感觉了，很刺激，很好玩。甚至我觉得这才是真正的探究－－Explore。
现在我认为，原来的那种害怕仅仅是原来很少这样做，心理上暂时不能接受而已。同学们正在学习数学，BBMM也至少有高中的数学底子，同学和BBMM的本能（实质是基本的数学素养）一定可以帮助我们到达目标的。也许时间长一点，讲公式的话10分钟搞定，探究可能需要几个小时。
踹一下子，试试看能不能享受那种吓丝丝的感觉！

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-7-21 14:49 编辑 ].

不好意思，我前面没有认真看你的描述。“一个锐角三角形至少包含2个锐角”这是一句废话，因为锐角三角形的定义就是三个角都小于90度。
但是，我有点怀疑你的习题集上印错了，有意义的命题应该是“一个三角形至少有2个锐角”。.

谢谢书迷推荐这本好书。匆匆看到第十二章，没有看完就想向你汇报读中感。

书中那个“我”应该就是《奥数是个替死鬼：别让一代更比一代累》的作者吧？

如果是他开课，我愿意送孩子到他的班上听课学习。

如果奥数就是他教的样子，我就向奥数道歉，为我一向来对奥数的偏见和诬蔑道歉！.

孩子们有你们这样的爸爸真是很幸运的，
有个统计好爸爸的帖子，你们真应该榜上有名才对。
大概是孩子还小、还没有表现出“优秀”，所以哪怕爸爸再好，也只能算个“毛胚好爸爸”、要继续修炼才有资格入列？

其实引申说，到底怎么样的孩子算“优秀”的孩子？闻名校内外、不择名校名校择你、考王牛娃。。。
这些一定是优秀的孩子！可是我心目中优秀的孩子不囿于此，
——那些善良、阳光、健康，快乐的孩子，都是优秀的孩子，培养出这样孩子的爸爸，都是好爸爸。.

引用:

原帖由 ccpaging 于 2010-7-21 14:34 发表
不好意思，我前面没有认真看你的描述。“一个锐角三角形至少包含2个锐角”这是一句废话，因为锐角三角形的定义就是三个角都小于90度。
但是，我有点怀疑你的习题集上印错了，有意义的命题应该是“一个三角形至少有2 ...

习题没有印错、我也没有抄错，我明白它诚如火车仁兄所言，是在做文字游戏，
故而小学生可以简而化之，直接答“误”，
我稍微钻下牛角尖，结果答“正”。

所以就是不太有意义，真正有意义的，的确是您讲的，如何证明“一个三角形至少有2个锐角”这样一个命题。.

刚刚发现，三位已被“核桃酥”举报上榜了，恭喜！
其实我觉得shumi1也非常优秀，但是我不知道shumi1是爸爸还是妈妈。。。。.

>一个三角形至少有2个锐角

我还没有明白CC说的用四条公理证明这个命题具体什么意思。

这个命题在欧氏几何中才能成立，也就是说需要平行公理。.

三年级开始介绍三角形的各种类型，如：
1、锐角三角形有三个锐角；
2、钝角三角形有两个锐角和一个钝角；
3、直角三角形有一个直角和两个锐角。

看似很简单的三句话，备课的难度其实是很高的。同学们会问出各种问题，例如：
1、有两个锐角的三角形是不是锐角三角形？
2、有没有一个三角形有两个钝角？
3、有没有一个三角形有两个直角？
4、这些话是怎么来的？
5、这些话是谁想出来的？
6、这些话对吗？

老师显然不能把这样一堂课的内容从四大公理开始讲起，可是不讲四大公理，又怎么回答同学们的问题呢？这就是考验老师智慧的地方。而以现在老师的实际情况来说，要求大多数的老师拥有这样的智慧是一种相当苛刻的要求。我看到最精彩的案例是三根小棍动态地演示三角形的变化，在演示变化的过程中，让同学领会和感悟其中难以言传的规律。

同时，在跟儿子一起学习的过程中，我还发现了一个不好的现象。有些老师，特别是奥数老师，他们一看见教科书上浅浅地讲了三角形、面积、抽屉原理，仿佛得到了大赦一般，疯狂地把相关的、本应该放到初中去解决的问题，堂而皇之地出在各种小学考卷上。别的老师为了应付这种考题，只好让同学们机械地记忆相关的知识。所以，对这些“伪纲内”题也要特别小心警惕。

三上的时候，我和Alex曾经为了学习“数字广场－放苹果”一篇，搞到晚上12点。等第二天我仔细想过才发现，这篇东西根本不适合放在三年级的教科书中。具体情况请参见：
http://ww123.net/baby/viewthread ... p;page=1#pid6786946

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-7-21 19:41 编辑 ].

前面说得不准确。应该说，这个命题在欧氏几何中能够成立。.

>我看到最精彩的案例是三根小棍动态地演示三角形的变化，在演示变化的过程中，让同学领会和感悟其中难以言传的规律。

确实很精彩。让数学对象动起来，揭示变化中的不变量，这也是一个数学思想。.

上期问题参考答案
观察风洞中飞机的固定方式，为什么用三个可变高度柱子固定飞机？柱子下面的底盘可以转动吗？为什么？
答：做个纸飞机试试。如果有三根可变长度的棍子，一个可以360度旋转的平台，我们可以得到所有的飞行姿态，平飞、爬升、俯冲等。

您认为，用算式计算和试算法计算各有什么优缺点？
答：有算式才能用算式计算。当牛顿第一次研究苹果落下的规律时，他还没有算式，只能通过不同高度落下的时间来分析归纳算式，这是试算法的一种，也几乎是他唯一可以用来寻找规律的方法。

猜猜看，在哪些情况下用算式计算更有效？在哪些情况下试算法更有效？
答：简单的算式，如计算规则形状的面积、长度、植树问题等，比较有效。没有算式，或者碰上复杂的算式时，试算法可能更有效。

试算法解题 by Alex
我在做一道题目时，遇上了麻烦，题目是这样的：
甲乙各有一个盒子，这两个盒子里的信签都是一样的。甲在每个信封里装了一张信纸，最后剩下50张信纸。乙在每个信封里装了三张信纸，最后剩下50张信封。问一个盒子里有几张信封、信纸？
（注：7月21日这天早上是忙碌的。我们来公司的路上，我给 Alex 粗略地讲了今天的安排－－主要就是做这一道数学题，而且规定了他今天只能用试算法。到了公司，Alex 匆匆地记下了题目，一个人坐在他的工作位上－－公司的人平时吃饭用的一张小圆桌，开始了他的试算。我则忙著做自己的工作，整个一上午都在跟同事讨论合同上的事情。期间 Alex 数次拿着他写得密密麻麻的草稿纸想问我问题，都被我打发了。一是没有时间，二是我想学习水老师的方法，打发他一个人去“生想”。）

我先用猜的方法算的。我做了一张表，可写到最后连我都不知道自己在写什么了。
（注：“生想”就像一个人孤零零地站在黑暗中，没有目标，也不知道路在哪里。他只能试着往前，实际上可能是前后左右任何一个方向，迈出一小步。可能正好踏在路上，也可能踩在烂泥里边，或者踢到一堵墙上感觉到疼痛。所以，“生想”是一种痛苦、一种折磨。正因为我体会过“生想”的可怕，不敢随随便便把 Alex 置于“生想”的境地。但想到 happyyj 妈妈说的，“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，为了得到“躬行”的诸般好处，也只好忍心这样做了。不出所料，临近中午的时候，Alex 终于还是鼓足勇气，拿着一张只写了标题的“表格”，打断了我跟同事的讨论。我们俩走到外面阳台上，在我一连串“为什么”的追问下，Alex 几乎要哭出来了。我知道，这些肯定都是他一上午百思不得其解的问题，人家就是来问这些“为什么”的，却被我抢先问了出来，自己还回答不了，超级郁闷啊。
“那么我们回到圆桌上把这个问题先慢慢地理一理吧。”我对 Alex 说：
子：好吧。
父：你先把题目比划给我看吧。
子：诺，这有一个信签盒，里边有一些信封和信签，甲在每个信封里装了一张信纸，最后剩下50张信纸。乙在每个信封里装了三张信纸、、、
父：等等，有一个信签盒还是两个信签盒？
子：好像是一个吧。
父：如果只有一个信签盒的话，甲先把里边的信封都用完了，乙就没有信封了？！
子：哦，我看看、、、应该是两个信签盒。
父：重新开始比划吧！
子：这有两个信签盒，两个盒子里的信封和信签一样多、、、
父：不对。这个话有问题。
子：哪里有问题啊？
父：题目里边没说，一个盒子里边的信封和信签一样多啊。
子：我知道你的意思，我说的是，第一个盒子里的信封和第二个盒子里的信封一样多，第一个盒子里的信签和第二个盒子里的信签一样多。
父：哦，那是你说的不对，想的是对的。看来有些话尽管啰嗦，还是不能省掉的。
子：嗯。
父：先讨论到这吧。建议你把讨论出来的规则仔细地记下来，再仔细想想。
唉、、、问题当然不是那么简单的，但我还有一份合同要改，只好再次打发 Alex “生想”去了。）

于是我写了几条规定，以后我就按照这些规定来做表格。
1） 甲乙各有一个盒子。
2） 甲乙的两个盒子里的信签都是一样的。
（注：写到纸上的时候仍然把不该省得省掉了。看来小三的文字表达和逻辑思维能力还达不到数学命题所要求的精准和清晰、、、就这样先将就着吧。）
3） 甲乙的两个盒子里的信纸至少有53张，信封51张。
下来，我就开始做了：

一开始，我以为我作对了，可最后我发现了，这样做的话，信纸1 和 信纸2 的差距越来越大了，而我是要它们小，所以这肯定不对。再说了，信纸我写的就不对。
（注：Alex 认真地在小圆桌上写写画画。我续水的时候经过，瞄了一眼，看到了表格，这说明 Alex 经过一上午的“生想”已经取得了不少的进展，至少他已经开始计算和填数字了，虽然填的数字不对。于是我建议 Alex 就地取材，把草稿纸裁成信封和信纸，模拟一遍题目。也许实际的模拟可以帮助 Alex 找到问题。）
我又用了一种方法，我做了许多信封和信纸，可做到最后发现数量根本就不对，更不要说计算了。
（注：已经到了午饭的时候了，Alex 把小圆桌上的草稿纸简单归置到一起。我们开始吃家里带来的午饭，一边吃一边讨论。
父：你能说说看“试算”到底是什么意思吗？
子：就是猜答案呗。
父：哦、、、今天这道题要猜什么答案呢？
子：让我看看、、、应该是猜信签盒里边有多少信封和信纸？
父：那我就瞎猜一个、、、有50张信封和50张信签？
子：那不行的，你猜的结果不符合第一个条件。
父：什么条件啊？瞎猜还要条件啊！
子：那当然啦。如果信签盒里边有50张信封和50张信签，那么甲在每个信封里边塞进一张信签，刚好把信签用完，不可能剩下50张信签。
父：哦，是这样子啊、、、那我怎么猜才能满足第一个条件呢？
子：信签少了，多加一些吧。
父：好、、、那我猜50张信封和100张信签，这样总可以了吧？
子：你猜的还是不对，不符合第二个条件！
父：还有第二个条件啊？！
子：当然啦。
父：怎么不符合第二个条件啦？
子：乙在每个信封里边塞进三张信签，还剩50个信封、、、爸爸，这个剩50个信封怎么弄啊？
父：我想想，乙在每个信封里边塞进三张信签，现在只有100张信签，一个信封塞三张信签的话、、、
子：我知道了，信签不够，就空出来许多信封。
讨论到这，我不再问了，Alex 也在默默不语地吃饭。）
最后，我尝试了一种方法，没想到竟然对了：

我把（1）和（2）合了起来，在做信纸时也上了心，我终于求出了答案。
（注：上午刚开始的时候，Alex 是完全摸不着方向的，他自己一个人在黑暗中挣扎，无助、混乱、沮丧。初看起来，这番挣扎并没有解决实际的问题，但其实为中午的讨论提供了非常扎实的基础。无形之中，水老师提倡的“生想”、happyyj提倡的“躬行”实实在在地提高了 Alex 探究问题的能力。）
不过，我还要进行验算呢！就用代数法吧！
信封 ＝ A    信纸 ＝ B
A = B - 50
B = (A - 50 ) X 3
B = 3A - 150
B + 150 = 3A
（注：Alex 知道计算的关键是消去 A 或者 B，但是他比较熟悉加减法消元（天平玩得熟），对代入法则不熟悉。我在这里干预了一次，演示了代入消元法。）
B + 150 = (B - 50) X 3
B + 150 = 3B - 150
B = 3B - 300
B + 300 = 3B
300 = 2B
B = 150
A = 100
（注：这是一个比较啰嗦的解方程步骤。不过 Alex 也才小三，不能苛求了，不忍心再苛求了、、、就这样先将就着吧。）
答：信封有100张，信纸有150张

信签题 与 “鸡兔同舞”
Alex 做完题目，脸上露出了满意的微笑，跟上午的愁云惨雾比，那是完全不同了。乘 Alex 高兴，我建议他把整个研究的过程记录下来。Alex 答应了，一个人在小圆桌上边算边些边画图。待所有的事情做完，我已经快下班了。在看 Alex 的论文时，我把题目做了一点小改动，变成这样：
甲乙各有一个盒子，这两个盒子里的信签都是一样的。甲在每个信封里装了一张信纸，最后剩下5张信纸。乙在每个信封里装了三张信纸，最后剩下5张信封。问一个盒子里有几张信封、信纸？
Alex 仔细看了看，算了算，带着奇怪的表情问：“这道题怎么看起来这么熟悉啊？”
父：是吗？
子：我好像做过、、、对了，我想起来了，这跟 hxy007 的鸡兔同舞是一样的啊。
父：怎么可能呢？一个是信封信签，一个是鸡兔，八竿子打不到一起啊？
子：我再想想、、、嗯，规律是一样的，绝对没错。

（编辑完毕）

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-7-22 17:53 编辑 ].

信奥数，得永生.

　　好，很好！
　　Alex研究了信封≤100情况下第二个盒子的信纸数逐渐追赶上第一个盒子信纸数的态势。
　　如果继续研究信封>100的情况，一定会发现第二个盒子的信纸超过第一个盒子信纸数并且越超越多的趋势。.

　　今天11的数学探究任务是，把四下作业中的“逆推题”都找出来，试着用代数方程的方法解决它们。
　　如果他还有兴趣，我也建议他用Alex的方法继续研究“鸡兔同舞”问题。
　　不妨让他们进一步试用笛卡尔同学的方法，把表中的结果表现在坐标纸上。琪琪爸爸（grant）发明的坐标纸，我们一直还没有用上呢！.

是的，007是要跟别人比奥呢？——

哼，你奥，我比你还奥！
你变态，我比你更变态！
大家都来变态吧！

想了解背景，请看前面有过的讨论。那个grant在琪琪幼儿园大班时，都跟琪琪玩极坐标了！小四生玩一玩直角坐标，有什么好奇怪的？.

引用:

原帖由 pm_simple 于 2010-7-22 11:29 发表
哎。。。我们家的刚会把碗排个队。这里已经坐标系了，赤脚跑也赶不上哈。。。

　　玩跟正经地学不一样。请翻看前面的帖子，看看那个变态的grant怎么跟幼儿园大班小朋友玩极坐标。
　　玩就有这个好处，此路不通时，就换一样方法。玩腻了老套，就会想新花样。
　　启蒙不是正式的学习。咱们尽可能把一些数学思想、科学思想渗透在孩子平时的游戏和生活中，让孩子有所体会。我们并不求孩子精通，只希望孩子有所体会。如果孩子一点感觉都没有，我们就住手。
　　下面举一个例子。.

仔细想了想，可以考虑引进笛卡尔了。
经过试算法的研究以后，Alex已经能把信签问题与鸡兔同舞问题联系在一起了，通过研究变化趋势，Alex想到了追赶问题，由此编出了“兔鼠赛跑”，稍后我慢慢总结上来。
如果有时间的话，我希望Alex能用笛卡尔提供的坐标纸工具，先“生想”（水老师语），然后，我们再视情况看看怎么理清思路。.

http://ww123.net/baby/viewthread ... id=60813&page=1

找到grant最近的一张帖子，点“只看此人”。严重怀疑grant在大班之前就用坐标纸开始“奥”数学了。.