直角三角形的直边长度分别为a和b，斜边长度为c。.

有点复杂, 得慢慢想.

嗯。第一步可以先从剪纸开始。画一个直角三角形，剪下来。另照样剪三个同样大小的直角三角形。然后，拼图。.

直角三角形的斜边长度为c，两条直边的长度分别为a和b。

1.jpg (31.96 KB)

2012-2-4 20:10

作图软件使用几何画板5.03单文件增强板。下载地址：
http://www.kejianyuan.com/Soft/201005/20100519164552.html

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-4 20:10 编辑 ].

父：先恭喜你，终于拼出一个正方形了。
子：是啊。原来我花了许多时间，因为你没说中间可以有个“洞”。
父：哦，那是我的错。
子：但，我还有个问题。
父：肿么啦？
子：我剪出了好几组这样的直角三角形，但拼起来，总是有缝隙。
父：那当然啦。事实上，根本没有那样的剪刀，没有那样的人，可以剪出两个一模一样的直角三角形。也就是说两个“全等”的三角形，在我们的现实生活中是不存在的。
子：我明白你的意思。但是，这样的话，你凭什么说，这四个三角形拼出来的就是一个大正方形和一个小正方形呢？
父：什么意思啊？
子：上次，我们研究过一个差不多的问题。在我们班上争论了一学期呢。

e1b0c9660e7a45e1e850cdbb.jpg (213.55 KB)

2012-2-12 17:40

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-13 11:30 编辑 ].

这道我小时候做过，因为角度略有不同，所以拼成的不完全是长方形，但肉眼看得不明显。.

还能记起进行过怎样的争论吗？.

请容我汗一个。。。
我直接想到的是４个b=2a的直角三角形.

引用:

原帖由 rhealu 于 2012-2-13 14:43 发表
请容我汗一个。。。
我直接想到的是４个b=2a的直角三角形

不必汗，其实，这是一个好问题。按照正规的说法，题目应该是：
任意的直角三角形的直边长度分别为a和b，斜边长度为c。

出题目时，对是否加“任意的”三个字，我是踌躇过的。对于大人来说，看到“任意的”，立刻就会明白，这是在研究一个带有普遍性的问题。但当我们的对象是小学生时，就要慎重了。因为他们可能对“任意的”手足无措。
这让我想起一个软件业者中流传的一个笑话。一个IT工程师对客户进行操作指导，“请按任意键进入下一步。”过了十几分钟，客户回答：“大哥，俺的键盘上肿么没有‘任意’键啊！”所以，Windows以及其它的许多软件的操作手册，都将“请按任意键进入下一步”改成“请按回车键进入下一步”。

所以，我觉得，在出这道题时，不必加入“任意的”三个字。而是耐心等待小童鞋提出问题来，再做讨论。另外，要凑出一个大的正方形没有中间的空洞，应该用等腰直角三角形吧？

你看，家长不需要预先把一个数学难题想的面面俱到，反而可以为质疑和讨论提供更多的空间。这样，家长有更多的机会去肯定童鞋，而不是反过来，让童鞋对家长的敬仰之情如滔滔江水连绵不绝。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-13 15:50 编辑 ].

引用:

原帖由 rhealu 于 2012-2-13 14:43 发表
请容我汗一个。。。
我直接想到的是４个b=2a的直角三角形

有趣的题目！
试着将b-a=0到b-a=无穷大进行演变，让家里小家伙观察一下中间那个正方形的演变过程。.

http://ww123.net/thread-4804632-1-1.html
简便运算用简便方法计算
600÷25÷410000÷125÷896000÷50÷20
这道题目有人知道如何解吗？
在线等.

那个求助的妈妈就是我,题目见楼上,谢啦,同时也谢谢楼上的妈妈.

求助CC老师
题目：已知在平行四边形ABCD中E,F是所在边上的中点，三角形AEF的面积是18平方米，求平行四边形ABCD的值？
图形无法上传，谢谢了！.

E、F所在的边是邻边还是对边？另外，提示下，做几何问题，要从画图开始。尺规作图非常重要。.

E、F所在的边是邻边。.

图形结合面积公式看看：

1.jpg (20.63 KB)

2012-2-16 16:01

纯几何的方式：

2.jpg (15.18 KB)

2012-2-16 16:01

.

建议让孩子画图。如果孩子不会画，或者画不好，家长可以慢慢教他。
1、学会基本的尺规作图。如画中点（不能用尺量）、平行线、垂线（不用三角板上的直角）等。
2、注意标注的标准化。
3、辅助线一定要画出来。

几何学习中最难的就是加辅助线。不要教，因为那没法教。其实，要学会怎么加辅助线，很简单，大量地尺规作图。在作图的过程中，自然能体会到。在一个标准的作图上，有的，一眼就能看出来。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-16 16:11 编辑 ].

引用:

原帖由 ccpaging 于 2012-2-16 16:01 发表
图形结合面积公式看看：
682978

纯几何的方式：
682979

画图是个好办法！
来个愚蠢的纯公式法。

已知：
a和b为边，c为夹角。
三角形面积公式：1/2*absinc
平行四边形面积公式：absinc

假定两边为x和y，夹角为A,三角形面积公式：1/2xysinA=18,则xysinA=36
根据已知条件，平行四边形面积为2x*2y*sinA=4xysinA=4*36=144.

如果没有学sin，设AEF的高为h，AF的长度为a、、、.

是否还可以从普遍性和特殊性的角度质疑？

如采用最特殊的平行四边形---正方形去推理？
18推出三角形边为6，再推出正方形边长为12，再得出结论。

只要平行四边形能适用，那么正方形也应该适用，这样行吗？.

可以尝试以动态的方式，即一个更为简单的正方形，通过拉伸两个对角，逐渐变成了平行四边形，而三角形AEF的面积与四边形ABCD的比例关系保持不变。

在这个拉伸过程中，再观察四边形ABCD，边长为1保持不变，随夹角c的变小，面积逐渐变小，它的面积据说就是sin(c)。

用 4# 介绍的几何画板，可以制作动态图形。.

不好意思原题E,F是边CD和CB上的中点，在你这个图中应该是连接CE和CF组成三角形CEF,已知的是三角形CEF的面积是18平方厘米，求平行四边形ABCD的面积？

[ 本帖最后由 nyp695 于 2012-2-17 08:33 编辑 ].

这个要怎么下载，我点进去没看到要下的软件？.

引用:

原帖由 nyp695 于 2012-2-17 08:30 发表
不好意思原题E,F是边CD和CB上的中点，在你这个图中应该是连接CE和CF组成三角形CEF,已知的是三角形CEF的面积是18平方厘米，求平行四边形ABCD的面积？

根据20楼的释疑，举一反三，学生得出根据夹角相同的前提下三角形与平行四边形的关系。
现在有三个三角形是这种情况，已知三角形面积是余下的一个，然后可以继续推论下去。

[ 本帖最后由 小点点宝宝123 于 2012-2-17 09:15 编辑 ].

引用:

原帖由 nyp695 于 2012-2-17 08:34 发表
这个要怎么下载，我点进去没看到要下的软件？

注意链接中页面的下载地址一项：

1.jpg (4.27 KB)

2012-2-17 10:37

一般说来，为尊重作者的工作，不好意思直接给出链接地址。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-17 10:39 编辑 ].

引用:

原帖由 nyp695 于 2012-2-17 08:30 发表
不好意思原题E,F是边CD和CB上的中点，在你这个图中应该是连接CE和CF组成三角形CEF,已知的是三角形CEF的面积是18平方厘米，求平行四边形ABCD的面积？

平行四边形是中心对称的。你转到计算机屏幕的后面，从上往下看，就是你所需要的图形了。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-17 15:45 编辑 ].

用夹角求面积孩子还没学，是小学5年级的。

[ 本帖最后由 nyp695 于 2012-2-17 11:03 编辑 ].

看那个图形？我还是没能理解？能再详细点吗？.

让孩子看看先。也许他有感觉，也说不定哦。.

好的，回家先让他看看。谢谢！.

引用:

原帖由 ccpaging 于 2012-2-17 00:01 发表
可以尝试以动态的方式，即一个更为简单的正方形，通过拉伸两个对角，逐渐变成了平行四边形，而三角形AEF的面积与四边形ABCD的比例关系保持不变。

在这个拉伸过程中，再观察四边形ABCD，边长为1保持不变，随夹角c的 ...

通过你的指导，学生在尝试的过程中可能会慢慢摸索出AEF和ABCD面积的比例关系。
那么为了让学生进一步熟悉平行四边形的一些特性
1）是否可以尝试AE和AF的边长是AB和AD的三分之一，继续摸索三角形面积和平行四边形面积的比例关系
2）是否可以尝试E、F是BC和AD的中点，寻找AEF三角形和平行四边形面积的比例关系

这种尝试，不知算不算您说的培养学生“体验、猜想、思考、解决问题、检查、反思”的学习思路呢？.

不好意思，可能没讲清楚。我的意思是指用CC老师21楼讲的三角形和平行四边形面积的比例关系来推导答案。
当然CC老师的纯几何法更高明，呵呵。.

是的。当然，还要注意，这些问题，或者说相关的问题都应该由孩子提出来。如果他不提，那么，说明体验还不够，或者有其它的原因，一般不能因为着急，就强制他做下去，而是要另外想办法，促使他产生问题。

一旦孩子提出了问题，家长或者老师所要做的是跟着孩子的问题的思路走。因为这样，才是孩子在自主学习。让孩子走在前面，他的眼界和思考问题的起点，与让他跟在你后面，两者是大不相同的。根据我的经验，这么跟着走，小学生的思路经常能走到中学，在某些问题上，甚至能提出大学才能解决的问题。当然，以他们现在的能力，未必能解决，那么，就让这样的问题悬而未决。

正是不断地产生新的疑问，才是驱使他们自主学习的动力。.

引用:

原帖由 小点点宝宝123 于 2012-2-17 19:08 发表
不好意思，可能没讲清楚。我的意思是指用CC老师21楼讲的三角形和平行四边形面积的比例关系来推导答案。
当然CC老师的纯几何法更高明，呵呵。

说不上高明。不同的孩子对同一个问题的观察角度是不同的。像我们家的，喜欢折纸，那么，就很可能倾向于产生后一种方法。前一种方法，跟代数有关。有的孩子会比较精于计算。如果是小组讨论的话，很可能看到不只这两种。理解其他人的解法，检查和讨论，对每个人的学习都有很好的促进。.

回错了，删。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-17 19:40 编辑 ].

老师能再讲解详细点吗？我们还没有理解。.

注意对照16#的图。
1、EF在哪个角上并不重要。因为平行四边形的中心对称的，换个角度，道理仍然是一样的。
2、在三角形AEF中，过E点做AF的高。因为E是AB的重点，所以，刚才说的这个高，是平行四边形ABCD的高的一半。
3、F是AD的重点，AF＝平行四边形ABCD的底边的一半。
4、三角形AEF的面积＝过E的高 x AF ÷ 2。平行四边行ABCD的面积＝(过E的高 x 2) x (AF x 2)。

所以，平行四边行ABCD的面积 ＝ 8 x 三角形AEF的面积。

再对照图2。
1、平行四边形被过中心的两条中线分成了4块全等的小平行四边形。
2、三角形AEF是小平行四边形的面积的一半，即小平行四边形的面积 ＝ 2 x 三角形AEF 的面积。

所以，平行四边行ABCD的面积 ＝ 8 x 三角形AEF的面积。.

老师，题目已知的是你的图中连接CE和CF，组成的三角形CEF的面积是18平方厘米，也就是在平行四边行的中间的一个狭长的三角形，不是你图中的三角形AEF。.

明白了，原题是这样的，对不？

1.jpg (26.21 KB)

2012-2-18 20:33

.

根据37#的分析，假设S(△AEF)=x，那么，能把S(□ABCD)=8x。除此之外，我们还能推算出哪些三角形或者四边形的面积呢？

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-19 10:30 编辑 ].

能否描述下，你在前面的研究中发现了什么？.

从你的描述中得到了：大的平行四边形分成了4个小的平行四边形，三角形AEF是小平行四边形的一半，这样大的平行四边形的面积就等于8个三角形AEF的面积。三角形AEF是三角形AFB的一半，如果BC边的中的为G，DC边的中的为H的话，那么同理推出三角形HGC是三角形DGC的一半，且三角形DGC和三角形AFB都是平行四边形FBDG的一半。但我还是不知道如何利用已知的条件？

[ 本帖最后由 nyp695 于 2012-2-20 08:58 编辑 ].

非常棒，你对这个题目所涉及到的图形已经非常了解了。

你是否研究过△EFC的面积呢？三角形的面积，主要的就是高和底边。研究过后发现，△EFC的三条高和其对应的底边，似乎跟平行四边形ABCD都没什么关系。怎么办呢？看来，我们要把眼光从△EFC移开，看看能不能从其他的三角形和四边形上进行突破。

假设S(△AEF)=x，那么，能把S(□ABCD)=8x。请问，S(△EBC)和S(△DFC)的面积等于多少呢？.

通过蝴蝶原理可以得到三角形EBC的面积是三角形AEF 的2倍，同理三角形DFC也是三角行EBC 的2倍，我明白了，用等量置换可得三角形CEF就等于3倍的AEF。所以三角形AEF等于6，大的平行四边形等于6x2x4＝48。老师这样对吗？.

对的。简单说，直接研究△EFC的底边和高，没搞头。那么，我们把它抠掉，把周围的三个三角形研究清楚了，用目标，□ABCD的面积，可以得到一个等量关系：
设 s=S(△EFC)
8s-1s-2s-2s=18
3s=18
s=6

那么，S(□ABCD)=8s=8x6=48。

但是，你说的蝴蝶原理里边的蝴蝶在哪里，能详细说说吗？.

蝴蝶原理就是两条平行线之间组成的三角行，通过同底等高得到两三角形面积相等，然后去掉它们重叠的三角形，剩下的两个三角行就像蝴蝶的两个翅膀，这两个三角行面积相等，因此有老师称为蝴蝶原理，也有老师称为领结原理。我这样不知道表述清楚了没有，有图的话会很直观。.

哦，那，可能是我没问清楚。你说在蝴蝶原理，在这个问题中，指的是哪一对平行线？.

错了!

[ 本帖最后由 nyp695 于 2012-2-20 15:25 编辑 ].

请根据下图，详细解释下，为什么“通过蝴蝶原理可以得到三角形EBC的面积是三角形AEF 的2倍”？

1.jpg (27.28 KB)

2012-2-20 13:54

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-2-20 13:54 编辑 ].

老师再加几个字母，把交叉的点都标出吧。.