小序
有关奥数的讨论，已经告一段落了。在该帖的最后，我提供了一些“好数学”和“不好的数学”的讨论；后面推荐了几本书。帖子的链接在这里：
http://ww123.net/baby/thread-4542628-1-1.html

本帖主要是写一些好玩的数学小品，适合从小学高年级到高中的学生，以及有兴趣的数学爱好者们阅读。题目起名休闲，就是说不希望大家带着思想负担来读——这里的东西大概不会对你的数学成绩有立竿见影的影响，或者帮助你在奥数比赛中取得好成绩。最好是闲时来看看，玩味玩味就好。如果读者朋友们能够从中获取一丝乐趣，或者发出“真有意思”的感叹，那作者就很满足了。

同时，既然名为休闲，更新将是不定期的。兴之所至的时候我会考虑一下，然后有空再贴上来。

后面有网友提议我出一些题目。题目我大概不会出了。事实上我每个小节都会有意或者无意留下一点尾巴，有些过程一笔带过，读者们可以补上细节，作为深化理解和复习巩固之用；有时候也可以找到未讲完的地方深入思考，说不定会有小小的发现。以前自己读书时看到“其证明留给读者作为练习”总是恨得牙痒痒，现在终于轮到自己使用这个特权了，真高兴！

目录
2#: 有限小数和无限循环小数
39＃： 化循环小数为分数
80＃： 一个论文题目
85＃： 一些符号约定
86＃： 多普勒效应
93＃： 循环节长度之谜
97＃： 循环节长度之谜（续）
100＃： 循环节长度之谜（三）
101＃： 循环节长度之谜（四）
104＃： 循环节长度之谜（五）
106＃： 费马小定理
108＃： 同余
109＃： 无限困惑

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-12-29 20:04 编辑 ].

我们知道实数分为有理数和无理数。无理数是无限不循环小数，有理数或者是有限小数，或者是无限循环小数。这里就来讨论有理数的小数形式。

我们自然要问，什么样的有理数可以写成有限小数，什么样的有理数只能写成循环小数。假设我们手头有一个有限小数1.234567，如果我们抹去小数点，就变成整数1234567。抹去小数点这个操作，用数学的语言来说，就是乘以10的某次幂（整数幂，下同）。也就是说，一个有限小数，可以通过乘以10的某次幂而变成整数。

反过来，如果一个小数可以通过乘以10的某次幂变成整数，那么它一定是一个有限小数。这些从有限小数的定义很容易看出来。进一步，任何无限循环小数因为有无限的小数位，所以不能通过上面的方法得到其对应的整数。

现在来考虑有理数的分数形式。假设现在有一个有理数p/q，其中p和q互素。根据上面的讨论，如果p/q对应的小数是有限小数，那么必然存在10的某次幂可以被q所整除。这意味着q不包含2和5之外的素数因子。（网页上不好写指数和下标，真痛苦）

现在可以得出这样的法则：一个有理数，写成其既约分数形式p/q，如果q只包含2和5这两个素数因子，p/q就可以写成有限小数。反之，只能写成无限循环小数。

读者自然要问，为何有限小数对应的既约分数的分母只能包含2和5呢？答案在于我们使用的进位制，10。因为10的素数因子只有2和5。这点可以从前面抹去小数点的地方看出来。

进一步，如果我们考虑其它的进位制，那么一种进位制里的有限小数是不是就有可能会变成另外一种进位制里的无限小数了呢？答案是肯定的。这完全取决于所考虑的有理数在特定的进位制中，其既约分数的分母是否只包含在进位制数中出现的素数因子。

举个例子，十进制的1/3在十进制中是无限循环小数0.33333333……，在三进制中就是有限小数0.1。

本节说明，有限小数和无限循环小数是相对的。下一节讨论循环小数的循环节。

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-8-30 20:54 编辑 ].

3楼的推理是正确的。但是由于其无限的小数形式，使得理解起来有一定的困难。有两种方法可以绕过这些困难。这两种方法的基本思路都是化无限为有限。

第一种方法就是用前面讲的，变换进位制，化无限小数为有限小数。1/9写成十进制的小数是0.11……，写成九进制的小数是0.1；依此类推，可得下表：

十进制分数   十进制小数    九进制小数
1/9          0.111……     0.1
2/9          0.222……     0.2
3/9          0.333……     0.3
4/9          0.444……     0.4
5/9          0.555……     0.5
6/9          0.666……     0.6
7/9          0.777……     0.7
8/9          0.888……     0.8
9/9          0.999……     1

注意最后一列，九进制里面只有0 1 2 3 4 5 6 7 8这九个数字，满9就进位了，所以0.8+0.1=1。

第二种方法留到下一节再一起讲。

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-8-30 17:03 编辑 ].

引用:

原帖由 hxwcwctt 于 2008-8-30 17:16 发表
大师，按照你这么说，3楼的推论是错误的，1/9，1/3等根本就不能用十进制来表示，是吗？

惭愧，大师不敢当。我的网名比较拗口，叫火车就可以了。

1/9，1/3都可以用十进制表示啊，可以表示为分数或者循环小数。只是不能在十进制中用有限小数表示罢了。3楼的推理没有大的问题，只是加法的处理有一点技术上的困难——无限小数怎么相加呢？如果还要处理进位就更难办了。不过中小学没有必要搞这么严密，有时候依赖直觉和观察，也就糊弄过去了。一定要严格的话，化成分数进行处理就行了。.

这这这……
1/3的确等于0.3的循环，
1也的确等于0.9的循环。

不知道我哪里没有解释清楚，以致你得出9楼的结论。.

哦，原来是小孩子写的。

2楼的内容可能小学生看起来比较吃力，需要大人从旁协助。.

引用:

原帖由 香甜蛋糕 于 2008-8-30 18:08 发表
火车，不知您为何将数学以“好数学”“不好数学”区分？
也许我的提问会有问题，我对数学不精通，但是对您的这个主题的讨论很感兴趣，特别是在这个板块里能够看到别具一格的探究性的话题。谢谢！

这个概念最早是已故数学大师陈省身提出来的。他在不同的场合反复提到过这个区分。例如（http://ww123.net/baby/viewthread ... p;page=4#pid3288518）：

梁东元：那么，什么才算是好的数学呢？难道还有坏的数学？

陈省身：好的数学就是有开创性的，有发展前途的。好的数学可以不断深入，有深远意义，能够影响许多学科。比如说，解方程就是好的数学。搞数学都要解方程，一次方程容易解，二次方程就不同，等等。这一类的数学是不断发展的，有永恒价值，所以是好的。而不好的数学就是那些仅限于把他人的工作推演一番的研究。还有一些数学虽然也蛮有意思，但也仅仅是一种游戏罢了。

梁东元：究竟怎么样才算不好的数学，这方面应该也有不少例子吧。

陈省身：举个例子，大家也许知道有个拿破仑定理。据说这个定理和拿破仑有点关系。它的意思是说，任何一个三角形，各边上各作等边三角形，接下来将这三个三角形的重心联结起来，那么就必定是一个等边的三角形。各边上的等边三角形也可以朝里面作，于是可以得到两个解。像这样的数学，就不是好的数学，为什么？因为它难以有进一步的发展。当然，你可以把它纯粹当作一种游戏，做事累的时候用来解闷，也是很有意思的。再把话说开来，比如现在世界上，还有国内每年发表的论文，多数是没有什么意义的平庸之作，只是在已经有的工作上做一些枝节的推广和改进，没有多大的创造性。

当然，选择好的方向，做好的数学，需要很强的能力。有能力做好的数学的人都是用功的，因为重复别人总是容易一些，但你想创新就要用功。.

那句话也是陈省身说的。
我只是拾人牙慧而已。.

我不是不能用十进制来解释，只是用九进制解释比较容易令人接受。关于进位制，我不打算过多解释。看起来令千金对进位制有一点误解。应该说，进位制仅仅是表示数字的一种形式。同一个数字，在不同的进位制下面有不同的写法。例如，17的二进制表示为10001（1x16+1），三进制表示为122（1x9+2x3+2x1），九进制表示为18（1x9+8），这些数字表示的是同一个数。所以不能说我换了一个进位制来解释问题，就认为十进制不能表达1/9。

不能表示为整数的有理数，总是能用分数表示出来。这个分数可能写成有限小数，也可能写成循环小数。这些前面已经讲过了。需要强调的只是，一个分数和他的小数形式是等价的，表达的是同一个数。也就是说，1/3和0.3的循环本来就是同一个数。

对于1=0.999……这个事实，可以简单理解为0.999……是1的另外一种写法。

任何时候，请不要轻易怀疑教科书。这和独立思考没有矛盾。合理的怀疑，应该建立在充分的理由之上。

无限的概念的确比较难以理解。我看了你给出的链接。那里的推理和结论都是错误的。我没有看过兰佐斯的《无穷无尽的数》。所引或为笔误。

回到二楼的结尾，如果你对循环小数的无限性感到困惑，请换一种进位制去看它。或者，把它转化为分数。

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-8-30 20:36 编辑 ].

十进制的5写成三进制应该是12吧。

我没有写得很仔细，让你误解了。我的意思是
举个例子，十进制的1/3在十进制中是无限循环小数0.33333333……，在三进制中就是有限小数0.1。

那个0.1是三进制的0.1，不是十进制的0.1。它表示的是三进制的1/10，也就是十进制的1/3，正如十进制的0.1表示十进制的1/10一样。

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-8-30 20:48 编辑 ].

啊，依据不就是你在3#的证明吗。

整数写成无限循环小数不应该使人感到震惊。有一种叫做连分数的东西才叫奇怪呢。不知道以后有没有机会讲到。

任何进位制中都会有小数的。计算规则其实很简单，和十进制是类似的。如果是p进制，那么把10换成p就行了。比如相加满了p就要进位，比如6楼的：
九进制里面只有0 1 2 3 4 5 6 7 8这九个数字，满9就进位了，所以0.8+0.1=1。.

引用:

原帖由 hxwcwctt 于 2008-8-30 21:20 发表
我指的是0.1和0.8是怎么得来的？18楼的问题“三进制：1/10 不等于0.1，分母应读为“一零”，不能读成“十”，如果说等于0.1，就是采取了10进制的计算规则。”怎么回答？就是我问的九进制中0.1和0.8是怎么得来的？

进位制就是这么回事啊。一般的说，考虑p进制abc.de，它表示的就是
axpxp + bxp + c + d/p + e/(pxp)

小数点前适用乘法，后面适用除法。

举个例子，十进制的123.45表示1x10x10 + 2x10 + 3 + 4/10 + 5/(10x10)

所以十进制的1/9写成九进制就是1/10，按照进位制的约定，也就是九进制的0.1。.

引用:

原帖由 qq12 于 2008-8-30 21:43 发表
三进制是1/10，那个“10”（一零）不是10（十），所以怎么可以得出0.1的结论呢？

这个0.1是三进制的0.1，也就是十进制的1/3。如果是三进制的0.01，就是十进制的1/9。

一般地，p进制的0.1就是1/p，0.01就是1/(pxp)，余类推。.

引用:

原帖由 hxwcwctt 于 2008-8-30 21:57 发表
关于进位制问题我明白了，但是关于1和0.9循环等同问题，还持保留意见。

既然能够接受分数可以写成循环小数，那么整数写成循环小数应该不会使人太惊讶。以有理数的观点，整数不过是一种特殊的分数而已。循环小数不过是另一种写法罢了。

不过你可以继续保留意见。涉及到无限，确实容易令人困惑。.

引用:

原帖由 shumi1 于 2008-8-30 23:04 发表
那么,现在学校教的数学,算好还是算坏?

基本都是好的。

奥数嘛，嘿嘿，看顶楼的链接好了。.

同意保留神秘感。这个问题暂且搁置吧。.

谢谢你的夸奖！我对令千金的画作印象很深刻。有机会要向你好好讨教。

也感谢楼上网友们的热情参与。希望本帖对培养大家的数学兴趣有帮助。.

我们知道，有理数都可以表示为整数或者分数的形式。循环小数作为有理数，肯定也有对应的分数形式。本节就来讨论怎样把循环小数化为分数。

循环小数具有无限性，而分数具有有限性。因此化循环小数为分数，关键就在于消除其中的无限性。怎么消除呢？利用循环节重复出现的特征。

举个例子，1/7=0.142857……，142857为循环节。记1/7为a，则有
       a=     0.142857……
1000000a=142857.142857……

我有意进行了对齐。上面两个式子相减得到
999999a=142857

这样就把无限部分抵消掉了。得到
a=142857/999999

基本上就是这么一个方法。关键是循环节的长度t。把需要考虑的循环小数乘以10的t次幂，再减去原来的数，就可以把无限部分抵消了。.

利用上面的方法，可以把0.9……里面的循环去掉。令a=0.9……，按照上面的方法，10a=9.9……。两式相减得到9a=9，所以a=1。.

谢谢你的欣赏。不过真的，请不要叫我大师。在我眼里只有少数数学家可以称得上大师，而他们是不会来旺网的。

题目我大概不会出了。事实上我每个小节都会有意或者无意留下一点尾巴，有些过程一笔带过，读者们可以补上细节，作为深化理解和复习巩固之用；有时候也可以找到未讲完的地方深入思考，说不定会有小小的发现。以前自己读书时看到“其证明留给读者作为练习”总是恨得牙痒痒，现在终于轮到自己使用这个特权了，真高兴。

还有另外一个原因就是本帖意为休闲，不想因为出题而让小读者们觉得有负担；要是把人吓跑了，我不就损失一个读者了嘛。

结合实际生活的提议很好，我要是想到了会写一些的。但是目前并没有成形的写作计划，基本上是想到哪里写到哪。.

这里实际证明的是1.111……=10/9。

某巧克力厂商搞促销，每块巧克力里面有一张兑换券，集齐10张可以兑换一块巧克力。当然，兑换得到的巧克力里面也有一张兑换券。

现在的问题是，这样的一张兑换券相当于多少块巧克力？10张券可以换一块巧克力，这换来的巧克力里面还有一张券，可以和另外9张券一起换得一块巧克力，所以这里应该还有0.1块；这0.1块里面又有部分券……依此类推，10张券应该相当于1+0.1+0.01+0.001+0.0001+……块不含券的巧克力，也就是1.1111……块。

另一方面，可以证明9张券正好可以兑换一块不含券的巧克力。你可以拿着9张券跑到商店去，跟老板说：“请给我一块巧克力，我将立刻吃掉它，然后给你支付10张兑换券。”只要老板同意，你可以吃掉那块巧克力，然后把自己的9张券和老板给的巧克力里面的那张券一起交给老板，完成购买手续。因此，一张券相当于1/9块不含券的巧克力。10张券就是10/9块不含券的巧克力。

这证明1.111……=10/9。

请参见《无穷的玩艺——数学的探索与旅行》
大连理工大学出版社.

引用:

原帖由 zhenai 于 2008-9-1 09:53 发表
这本书适合大学生看。

高中生可以看的。
部分内容预初就可以看了。.

引用:

原帖由 zhenai 于 2008-9-1 10:18 发表
厚厚一大本，怎么说也得读懂大部分吧，否则部分内容小学生也可以看了。看这本书还是有些高等数学基础为好。

喜欢的话，可以从小学一直啃到高中。其实我设想本书很适合那些高中“吃不饱”的，在上大学之前先行了解一些近代的数学思想，就不会觉得大学课程跟高中脱节太厉害。

不喜欢就，嗯，费了。可以在购买之前先去书店看看。.

维基百科是好东西，现在因为奥运开放了，但是未来会不会再封掉还未可知，希望不要。

虽然每节后面我不会出题，但是把题目出在前面还是可以的。下面要留一道习题给读者们做。这本来是后面某一节的主题，也可以联系生活的。这里请允许我偷个懒，你们帮我做掉一些。

小明是个神枪手，弹无虚发。他有一支玩具枪，能够以每秒一个的速度连续发射塑料珠子，珠子射出枪口的速度为每秒5米。

现在小明站在离一个靶子10米远的地方开枪。珠子打在靶子上的频率是每秒钟一个。

我的问题是，如果小明以每秒2米的速度朝着靶子走，其它条件不变，那么珠子打在靶子上的频率是多少？如果小明是沿反方向走呢（枪口仍然对着靶子）？.

你也是行家里手。

上面的题目，中学生要把数字换成代数符号来做。.

能给出推理和计算过程吗？.

还要再推敲一下。子弹相对靶的速度要考虑小明的运动速度。
这不是一道纯粹的数学题，它有很深的物理背景，其原理在日常生活和科学研究中有广泛的应用。

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-9-3 19:55 编辑 ].

引用:

原帖由 hxwcwctt 于 2008-9-1 17:58 发表
那店家老板如果同意那样做的话已经偷换了游戏规则，相当于9张券换1块巧克力，那时损害了厂方的利益啊。如果我是厂方，如果我知道有这样的老板，我一定炒他鱿鱼。

这样，你可以跟朋友借一张券，兑换了，吃了巧克力，再把换来的那张券还给朋友。.

向着靶子——式子对的，答案计算有误。
反向——子弹的速度应该是3米/秒。

其实，不用考虑那个10米，也可以计算出答案。频率的变化是固有的，与小明跟靶子的距离无关。.

你上边的式子就可以把10抵消掉的。.

考爸正解！

这和循环小数没有关系。.

我尽量写一些对中小学生而言有趣味，同时又能激发思考和探索的东西。.

限速是为了您和他人的安全。.

在运动中测车距，有意思，可以写一篇小论文了。
写好了可以去申请丘成桐中学数学奖。.

在网页上写数学式子不容易。尝试国<sub>和[sup]，都不行，只好变通。下面是常见的约定：

x^2   x的平方，开平方有时写作x^{1/2}
x_1   1为下标
2a    2与a相乘
1.23(456)   混循环小数1.23456456456456……，以456为循环节
a≡b(mod n)  a和b模n同余。有说可以用智能输入法通过V1输入同余符号的，我没法试。仅在此提一下。需要的时候来这里拷贝也好的。
>=    大于或等于
<=    小于或等于
!=    不等于

乘方比较常见。下标的写法可能比较少见，是从TeX排版系统那里借用过来的，如同开平方里的花括号。

先这些。想到了或者遇到了再补充。

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-9-20 16:26 编辑 ].

这里只是最简化的情形，其中假定观察者相对信号传播介质静止。假设有一个信号源S，以速度v向前进。S每隔时间T发出一个脉冲信号。信号的传播速度为v_0。假定v<v_0。
             i_1                       i_2
_______________________________________
A            B                        C

S于A点发出一个信号i_1。经过T之后，S抵达B的位置，而i_1抵达C的位置。那么有

AB = vT
AC = (v_0)T

S会在B再发出一个信号i_2。这样，信号i_1和i_2的距离为(v_0 - v)T

但是i_2从B到C需要的时间只是(v_0 - v)T/v_0，或者写成

(1-v/v_0)T                                  公式(1)

可见信号的周期缩短了，或者说，频率变高了。还可以看出，周期或者频率的变化只跟v和v_0的相对数值有关。

思考题：
如果信号源的运动方向跟信号传播方向相反，则公式(1)应该如何修正？

多普勒效应以其发现者的名字命名。他在经过铁道交叉口时发现火车的汽笛声在火车驶近时变得尖利（高频），而远去时变得低沉（低频）。日常生活中警车、消防车的警示喇叭都有这种可观测效应。

信号源远离观测者会导致频率变低，叫做多普勒红移；反之叫做蓝移。红和蓝对应可见光谱的两端，前者的频率比后者低。天文学上，科学家观测到所有星系的光谱都有红移现象，从而得出宇宙膨胀的结论。而通过测量红移量，也可以计算出星系的退行速度。

前面考爸提到的超声波测速仪也是根据多普勒效应设计的。
思考题：
超声波测速仪的应用中，上面的公式(1)有无必要修正？

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-9-4 22:55 编辑 ].

数学物理本来不分家。

还有一种测速方式，激光。不过不是应用多普勒效应了，因为汽车的速度跟光速比可以忽略不计。这要求有比较精密的部件，要能发射和接收激光，并能精确计时。通过测量激光往返的时间可以测出距离，通过相继两次测出的距离的变化可以计算出速度。.

接下来几节要讨论循环节的长度。当然，这些内容在数学上已经有了明确的结论，但是本帖的主旨并非简单告诉读者们一些结论，而是希望通过对一些问题抽丝剥茧式的分析求解，展示一些数学思想和常用的方法。

因此，假如读者已经了解了一些循环节长度方面的结论，请暂时忘记它；如果读完本节之后，有一些更好的想法，也欢迎提出来大家一起讨论。

现在就从最简单的情形开始研究。假设有一个素数p，我们考虑它的倒数1/p，用长除法可以求得对应的小数形式。这个小数将具有什么样的形式呢？它是纯循环小数还是混循环小数？它的循环节长度取决于什么条件？

我们前面已经知道，如果p为2或者5，那么1/p可以写成有限小数（就是0.5和0.2）。如果p是其它素数呢？

写到这里读者可能要问，为什么要假定p是素数呢？按照我们之前的思路，我们希望先研究最简单的情形。根据素数的定义，一个素数不能再分解为两个其它非1的正整数的乘积，而合数则总是可以分解为一些素数的乘积。这意味着在考虑乘除法性质的时候，素数也许比较简单或者基本（当然不一定如此；如果碰到困难我们再另寻出路）。

所谓循环节，就是会重复出现的数字模式。读者可能有印象，在做长除法的时候，如果在某一阶段出现了前面已经出现过的余数，那么后面的余数和商也会跟着重复出现。最简单的例子是1/3，做长除法的时候，每次都是得到一个余数1，因此构成循环。读者不妨试着做一下看看。下面要把这个规律用数学语言写出来。

为了更直观地观察到其中的规律，我们可以把长除法改写成一系列的等式：

1        = p * 0   + r_0  (r_0 = 1)
10 * r_0 = p * q_1 + r_1
........
10 * r_n = p * q_{n+1} + r_{n+1}
........

这样，对应的小数就是0.{q_1}{q_2}...{q_n}...，而r_i就是第i次得到的余数。按照长除法，我们把它乘以10再继续试商。易见，0 < r_i < p，并且r_i与p互素。

如果长除法里面得到的余数发生重复，即是说，对于两个下标i和j（这里不妨假设i < j）如果r_i = r_j，后面的商和余数会怎么样呢？根据上面的展开式，我们就有：

10 * r_i = p * q_{i+1} + r_{i+1}
10 * r_j = p * q_{j+1} + r_{j+1}

在r_i = r_j的前提下，容易证明，q_{i+1} = q_{j+1}，以及r_{i+1} = r_{j+1}。（证明留给读者作为练习。）

这就是说，如果长除法中余数重复出现，那么所得小数也会出现循环。这是一个平凡的结果，接下来要解决一个问题，即在余数形成的序列中，r_0是不是第一个重复出现的，或者说，1/p是不是一个纯循环小数。（待续）

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-9-5 23:05 编辑 ].

回猫老师：暂时在这里还是一个猜想。

回牙医：可以的。但是一般人拒绝接受那个等式的心理因素主要是认为0.(9)并不是一个真正的数。.

上节最后问题的答案是肯定的。怎么得到这个结论呢？前面我们用来证明循环总会出现的方法，现在也可以反过来使用。仍然考虑：

10 * r_i = p * q_{i+1} + r_{i+1}
10 * r_j = p * q_{j+1} + r_{j+1}

现在假定r_{i+1} = r_{j+1}，如果能够推出r_i = r_j以及q_{i+1} = q_{j+1}，那就说明循环也可以反过来往前推。证明仍然留给读者作为练习。提示：p是一个异于2和5的素数，因此p和10互素。

现在我们知道，循环肯定会出现，而且如果某个r_i出现循环，那么可以往前一直追溯到r_1和q_1。这就证明，1/p是一个纯循环小数。而且，上面的证明其实条件可以放宽到p与10互素，因此，只要p与10互素，1/p就是纯循环小数。这就是猫老师在94#提出来的。

反过来，如果把一个纯循环小数化为既约分数，其分母是否一定与10互素呢？答案是肯定的。使用前面提供的方法，不难把一个纯循环小数化为一个分母为99...9的小数，分母位数等于循环节长度，而分子就是循环节本身。例如0.(123456)=123456/999999。我们知道99...9是跟10互素的，因此前面得到的分数即使能够进一步约简，得到的分母也肯定跟10是互素的。

这里还有一个问题，如果是2/p，3/p，...，(p-1)/p这些分数呢？其实前面的那些证明并没有使用r_0=1的条件，因此对其它的r_0值也是适用的。

总结一下：对于真分数q/p，如果q和p互素，并且p和10互素，则q/p不能写成有限小数，而只能写成纯循环小数。反过来，纯循环小数化为既约分数之后，其分母也是跟10互素的。

思考题：为什么要强调是真分数呢？

（待续）

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-9-6 21:48 编辑 ].

信号，例如声波，一般需要传播介质（这里不讨论光波或者电磁波），其速度是相对介质而言的，如声波在空气中的速度。讨论小明打枪的时候，考虑的是子弹在空气中的速度（实际上忽略了摩擦力的影响）。但是子弹出镗速度是枪固有的性能，因此需要和小明的速度叠加。那道题确实有漏洞，我们可以假设小明一直在行进，所以开第一枪的时候也有速度。而后边的一般性讨论，我们假设如果有这种速度叠加问题，那么已经把它包含在V_0里面了。

这里讨论的是很简化的情况，例如，假设观察者相对介质是静止的。.

现在有限小数和纯循环小数都有结论了，最后来看看所谓的混循环小数。读者们可能已经猜到了，那些分母既能被2或者5整除，又能被其它素数整除的既约分数，将对应混循环小数。本节就把它证明出来。

下面用x和y表示数字串，例如，在0.123456456456……可以写成0.x(y)，其中x=123，y=456。再定义一个函数len(x)，表示这个数字串x的长度，或者说位数，例如len(123)=3， len(45678)=5。

（要改一下了）
形式上，一个纯循环小数可以写成混循环小数的样子。例如0.(123)可以写成0.12(312)甚至0.12312(312)。这里不讨论混循环小数的严格定义，我们反过来先看对应混循环小数的那些分数。

假设有既约真分数p/q，其中q又可以分解为q=(2^a)(5^b)(s)，并且a>=0, b>=0,a+b>0, s>1，s不能被2或者5整除，a和b至少有一个为正，即q能被2或者5整除。

令c为a,b中较大的那个数。那么，

p/q
=(p/s)/((2^a)(5^b))
=(p/s)(1/(10^c))(2^{c-a})(5^{c-b})
=(p((2^{c-a})(5^{c-b}))/s)/(10^c)

令p((2^{c-a})(5^{c-b}))=u*s+r。其中u为整数，而0<r<s。请读者证明r!=0并且r与s互素。

于是可以得到

p/q
=(u+r/s)/(10^c)

我们已经知道，r/s是一个纯循环小数，假设循环节为x，则u+r/s=u.(x)，把小数点左移c位，并假设u前面补上若干个零凑成长度为c的v，就得到

p/q
=0.v(x)

这看上去就是一个混循环小数了。怎么知道它不是一个伪装成混循环小数的纯循环小数呢？用反证法。假设0.v(x)是一个纯循环小数，那么我们就可以把它写成既约分数t/w，其中w与10互素，这样应该t/w=p/q，又因为它们都是既约的，排除符号的关系，可以认为t=p, q=w。但是q可以被2或者5整除，这就矛盾了。

反过来，如果我们已经知道一个循环小数不能写成有限小数或者纯循环小数了，我们是否能够肯定，把这个混循环小数化为既约分数，其分母一定既能够被2或者5整除，又能够被其它素数整除呢？答案是肯定的。因为要不然，它就可以写成有限小数（如果分母不能被2或者5之外的任何素数整除），或者纯循环小数（如果分母不能被2或者5整除）。

我们把全体既约分数作为一个集合F，把全体有限小数和循环小数作为另外一个集合D。用长除法可以把分数化为小数，用前面的办法可以把小数化为分数，所以这两个集合能够建立起一一对应的关系。

根据分母跟10的关系，集合F可以分成三个互不相交的子集合。根据小数位数、循环方式的不同，集合D也可以分成三个互不相交的子集合，且跟前面的三个子集合建立一一对应的关系。这是很有意思的。

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-9-20 19:49 编辑 ].

前面讲了那么多，究竟跟循环节长度有无关系呢？有的。至少，拿到一个分数之后，可以不用做长除法就知道它对应什么样的小数。为此，我们只要研究其中的既约真分数部分就行了。比如150/14，我们就把它变成10+5/7，然后来研究这个5/7，它对应一个纯循环小数。如果既约真分数的分母里面含有因子2或者5，我们就把2和5分解出来，因为它们不影响循环部分。比如13/14，按照前面那节介绍的方法，

13/14
=65/(10*7)
=(65/7)/10
=(9+2/7)/10
=0.9+(2/7)/10

2/7的循环节是285714，即2/7=0.(285714)，那么，
13/14
=0.9(285714)

对于上面的结果，大家可以用长除法直接展开13/14来做验证，也可以用计算器来验证。

好了，现在真的要讨论循环节的长度了。仍然从1/p开始，其中p为异于2和5的素数。回忆前面把长除法化为一系列等式的方法：

1        = p * 0   + r_0  (r_0 = 1)
10 * r_0 = p * q_1 + r_1
........
10 * r_n = p * q_{n+1} + r_{n+1}
........

假设循环节的长度为n，那么根据之前的讨论，循环节就是(q_1)(q_2)...(q_n)，而且r_n = r_0 = 1。从r_1到r_n，这些数字满足如下性质：

1）它们两两不相等；
2）0<r_i<p，其中1<=i<=n。

如果n为1，那么循环节就只有一个数字，例如1/3=0.(3)。不然的话，马上就有如下结果：

(r_1)/p = 0.((q_2)...(q_n)(q_1))

也就是说，把1/p的循环节的第一个数字放到最后（这个操作可以叫做循环左移一位），就是(r_1)/p的循环节。举例如下，对于1/7，我们可以写出：

10 = 1*7 + 3
30 = 4*7 + 2
20 = 2*7 + 6
60 = 8*7 + 4
40 = 5*7 + 5
50 = 7*7 + 1 （在此找到循环）
10 = 1*7 + 3
...........

于是我们马上可以写出：

1/7=0.(142857)
3/7=0.(428571)
2/7=0.(285714)
6/7=0.(857142)
4/7=0.(571428)
5/7=0.(714285)

仔细观察上面的这些等式。把一个循环节进行循环移位，就得到另外一个循环节。这是很有意思的。（待续）.

.

上面我们看到，1/7, 2/7直至6/7的循环节长度都是一样的。更奇妙的是，把其中的一个循环节进行循环移位，就能够得到另外一个的循环节。我们自然要问两个问题：

1）是否对任意的异于2和5的素数p，1/p, 2/p, ..., (p-1)/p的循环节长度都是一样的？
2）是否对任意的异于2和5的素数p，1/p, 2/p, ..., (p-1)/p的循环节也存在这种循环移位的规律？

对第一个问题的答案是肯定的。但是第二个问题有一些微妙之处。

我们已经知道p以内的数和p都是互素的，即对于0<r<p，r和p互素，所以r/p都是既约分数。又r/p=(1/p)*r，把1/p的循环节当作一个整数，那么把它乘以r，是不是就得到r/p的循环节了呢？的确如此。只要乘法的结果的位数，不超过1/p的循环节长度。而这是可以保证的，否则就会得到r/p>=1的荒谬结果。请读者仔细思考一下。

对于第二个问题，我们知道1/3=0.(3)，2/3=0.(6)。所以这里没有循环移位之说，因为循环节的长度只有1，怎么移都是自己。但是如果r/p循环节的长度大于1，我们可以从长除法的展开式中知道，对这个循环节进行循环移位，得到的是另外一个数s/p的循环节。

如果把p的限制放宽到不能被2或5整除的正整数呢？在r/p中会出现一些可约分数，例如3/21，15/21，应该把它约简了再研究。其余的，都可以适用上面的推理过程。

有了上面的结论，我们只要研究1/p的循环节长度就行了。

现在我们知道，如果在长除法中出现重复的余数，就意味着对应的商出现循环。我们自然想知道余数是如何决定的。不过长除法的等式形式还是比较复杂，用来研究循环节长度不够直观。还是拿前面的例子：

10 = 1*7 + 3
30 = 4*7 + 2
20 = 2*7 + 6

可以改写成：

3 = 10 - 1*7
2 = 30 - 4*7
6 = 20 - 2*7

这样，

2
= 30 -4*7
= 10(10-1*7) - 4*7
= 100 - 14*7

6
= 20 - 2*7
= 10(100-14*7) - 2*7
= 1000 - 142*7

原来，长除法的余数序列就是序列10, 100, 1000, 10000, ...除以7的余数。这应该不会令人感到惊讶，因为长除法的过程中我们经常在被除数后面不断添加0。

这样，我们立刻得到如下结论：

定理：如果1/p的循环节长度为l，则有10^l≡1(mod p)。反过来，l是使得10^x≡1(mod p)成立的最小正整数。

这样，我们就进入了数论的领域。循环节的长度跟费马小定理、欧拉函数都有密切的联系。.

光有点击，没有回复。
思考题大家都会做了？.

费马小定理是说，对于任意一个不能整除a的素数p，恒有a^(p-1)≡1(mod p)。如果取a=10，则有10^(p-1)≡1(mod p)，其中p!=2, 5。

前面我们知道，1/p的循环节长度len具有性质10^len≡1(mod p)，且len为满足10^x≡1(mod p)的最小正整数。这就自然导出一个关系：len必为p-1的因子。

仍旧以p=7为例。len必为6的因子，因此只可能取1，2，3，6。依次计算10，100，1000，1000000被7除的余数，分别为3，2，6，1，因此得知len必为6，即1/7的循环节长度为6。.

现在补充介绍同余的概念，并且证明费马小定理。这里讲的数都是整数。

顾名思义，同余就是指两个数除以同一个数，得到的余数相同，这个除数称为模；或者换一种等价的说法，如果两个数的差能够被模p整除，那么这两个数是模p同余的。形式上，把a和b同余于模p记为

        a≡b(mod p)

在模明确的情况下，可以不用把后面括号里的东西写出来。

利用同余可以给整数分类。例如，取p=7，则任意一个整数必然同余于0, 1, 2, 3, 4, 5, 6中的某一个。把0当作星期天，一周就是这样周而复始，其实我们日常生活中常常使用同余的性质。月份也是一个典型的例子，十二月过后就是第二年的一月，没有十三月的说法。同余反映出一种周期性的现象。

同余的性质比较多，这边不一一列举。总而言之，只考虑同余的时候，一个数总是能被与它同余的另一个数代替。或者说，同余的数是彼此等价的。

现在看点有意思的。我们知道如果p是素数，那么1, 2, 3, ..., p-1和p都是互素的。而任意一个不是p的倍数的数都必然和这p-1个数中间的某一个模p同余。好了，如果a和p互素那么a同余于{1,2,...,p-1}中的某一个。再来看如果r和p互素，那么ra和p也是互素的（a已经和p是互素的，证明留给读者）。

考虑数a, 2a, 3a, ..., (p-1)a。如下性质成立：

1、它们两两不同余；
2、集合{a,2a,3a,...,(p-1)a}能够和{1,2,3,...,p-1}建立一一对应关系。

这里做简单的证明。1是容易的，因为假设某两个数ma和na同余的话，就会有(m-n)a能被p整除。我假设读者已经在上面证明了这是不可能的。2可以根据1来证明。首先任意一个ma (1<=m<=p-1)总是与{1,2,3...,p-1}中的某一个同余。其次，令1<=b<=p-1，可以用鸽笼原理证明{a,2a,3a,...,(p-1)a}中必有一个数与b同余。

换句话说，如果认为同余的两个数是等价的，那么a, 2a, 3a, ..., (p-1)a就是1, 2, 3, ..., p-1的一个排列。

现在把它们乘起来：

a * 2a * 3a * ... * (p-1)a
=1*2*3*...*(p-1)a^(p-1)

另一方面，我们刚刚知道：

a * 2a * 3a * ... * (p-1)a
≡1*2*3*...*(p-1)

这样就有：

1*2*3*...*(p-1)a^(p-1)≡1*2*3*...*(p-1)

或者：

1*2*3*...*(p-1)*(a^(p-1) - 1)≡0

即p能够整除1*2*3*...*(p-1)*(a^(p-1) - 1)，必然的推论就是p能够整除a^(p-1) - 1，所以

a^(p-1)≡1(mod p)

这就是前面讲的费马小定理。.

无理数的确是存在的。如果一定要从有理数出发去认识无理数，那就是110楼提出的根号2。前面已经证明有理数化为小数肯定是有限或者循环小数。那么如果有一个数不能表示为有限或者循环小数，则一定是无限不循环小数，我们叫它无理数。

另一方面，可以从其它数学观念出发去探讨无理数。《什么是数学》一书有讨论，复旦大学出版社出版。你有一定的数学基础，应该可以看懂。关于这本书的详细介绍在这里：
http://ww123.net/baby/viewthread ... p;page=4#pid3355361

一不小心又给自己的帖子打了广告，哈哈。.

无穷的确难以捉摸。我想，你的疑问也许在于：怎么样才能把无限不循环小数精确地写下来？似乎是一种矛盾。因为无限所以不能全部写下，因为不循环所以无法精确。——我这样理解你的意思，对吗？

如果我理解对了，那么你可以试着用这种观点去理解无理数：

数本身可以当作一种（数学）实在（或者说哲学上的客体），你的困难只是说怎么样才能把一个数准确地表达出来，特别是当这个数是一个无理数的时候。把一个数写成小数形式只是一种方法，还有很多方法可以确定一个数。比如，平方等于2的那个正数（这又关系到怎么样定义无理数的乘法）。又比如，圆周率、自然对数的底(e)。再比如，0.1010010001……（两个1之间依次多一个0）可以写成级数形式：

10^{-1} + 10^{-3} + 10^{-6} + 10^{-1} + ……

两个1之间一次多一个零，就是说1出现的位置依次是小数点后第1，3，6，10，15，21……位。通项公式我就不写了。这个和，虽然是无限项相加，却有一个确定的结果，这在数学分析里面是可以证明的。

再回到你的疑问，“当我想象到小数点之后的某个1之后有无限多个0时，我就会觉得它并不是一个无限小数”，实际上，按照这个数的定义，任何一个1后面都只能有有限个连续的0。所以这里并没有矛盾。.