前面讲了那么多，究竟跟循环节长度有无关系呢？有的。至少，拿到一个分数之后，可以不用做长除法就知道它对应什么样的小数。为此，我们只要研究其中的既约真分数部分就行了。比如150/14，我们就把它变成10+5/7，然后来研究这个5/7，它对应一个纯循环小数。如果既约真分数的分母里面含有因子2或者5，我们就把2和5分解出来，因为它们不影响循环部分。比如13/14，按照前面那节介绍的方法，

13/14
=65/(10*7)
=(65/7)/10
=(9+2/7)/10
=0.9+(2/7)/10

2/7的循环节是285714，即2/7=0.(285714)，那么，
13/14
=0.9(285714)

对于上面的结果，大家可以用长除法直接展开13/14来做验证，也可以用计算器来验证。

好了，现在真的要讨论循环节的长度了。仍然从1/p开始，其中p为异于2和5的素数。回忆前面把长除法化为一系列等式的方法：

1        = p * 0   + r_0  (r_0 = 1)
10 * r_0 = p * q_1 + r_1
........
10 * r_n = p * q_{n+1} + r_{n+1}
........

假设循环节的长度为n，那么根据之前的讨论，循环节就是(q_1)(q_2)...(q_n)，而且r_n = r_0 = 1。从r_1到r_n，这些数字满足如下性质：

1）它们两两不相等；
2）0<r_i<p，其中1<=i<=n。

如果n为1，那么循环节就只有一个数字，例如1/3=0.(3)。不然的话，马上就有如下结果：

(r_1)/p = 0.((q_2)...(q_n)(q_1))

也就是说，把1/p的循环节的第一个数字放到最后（这个操作可以叫做循环左移一位），就是(r_1)/p的循环节。举例如下，对于1/7，我们可以写出：

10 = 1*7 + 3
30 = 4*7 + 2
20 = 2*7 + 6
60 = 8*7 + 4
40 = 5*7 + 5
50 = 7*7 + 1 （在此找到循环）
10 = 1*7 + 3
...........

于是我们马上可以写出：

1/7=0.(142857)
3/7=0.(428571)
2/7=0.(285714)
6/7=0.(857142)
4/7=0.(571428)
5/7=0.(714285)

仔细观察上面的这些等式。把一个循环节进行循环移位，就得到另外一个循环节。这是很有意思的。（待续）.

辛苦了。.

.

上面我们看到，1/7, 2/7直至6/7的循环节长度都是一样的。更奇妙的是，把其中的一个循环节进行循环移位，就能够得到另外一个的循环节。我们自然要问两个问题：

1）是否对任意的异于2和5的素数p，1/p, 2/p, ..., (p-1)/p的循环节长度都是一样的？
2）是否对任意的异于2和5的素数p，1/p, 2/p, ..., (p-1)/p的循环节也存在这种循环移位的规律？

对第一个问题的答案是肯定的。但是第二个问题有一些微妙之处。

我们已经知道p以内的数和p都是互素的，即对于0<r<p，r和p互素，所以r/p都是既约分数。又r/p=(1/p)*r，把1/p的循环节当作一个整数，那么把它乘以r，是不是就得到r/p的循环节了呢？的确如此。只要乘法的结果的位数，不超过1/p的循环节长度。而这是可以保证的，否则就会得到r/p>=1的荒谬结果。请读者仔细思考一下。

对于第二个问题，我们知道1/3=0.(3)，2/3=0.(6)。所以这里没有循环移位之说，因为循环节的长度只有1，怎么移都是自己。但是如果r/p循环节的长度大于1，我们可以从长除法的展开式中知道，对这个循环节进行循环移位，得到的是另外一个数s/p的循环节。

如果把p的限制放宽到不能被2或5整除的正整数呢？在r/p中会出现一些可约分数，例如3/21，15/21，应该把它约简了再研究。其余的，都可以适用上面的推理过程。

有了上面的结论，我们只要研究1/p的循环节长度就行了。

现在我们知道，如果在长除法中出现重复的余数，就意味着对应的商出现循环。我们自然想知道余数是如何决定的。不过长除法的等式形式还是比较复杂，用来研究循环节长度不够直观。还是拿前面的例子：

10 = 1*7 + 3
30 = 4*7 + 2
20 = 2*7 + 6

可以改写成：

3 = 10 - 1*7
2 = 30 - 4*7
6 = 20 - 2*7

这样，

2
= 30 -4*7
= 10(10-1*7) - 4*7
= 100 - 14*7

6
= 20 - 2*7
= 10(100-14*7) - 2*7
= 1000 - 142*7

原来，长除法的余数序列就是序列10, 100, 1000, 10000, ...除以7的余数。这应该不会令人感到惊讶，因为长除法的过程中我们经常在被除数后面不断添加0。

这样，我们立刻得到如下结论：

定理：如果1/p的循环节长度为l，则有10^l≡1(mod p)。反过来，l是使得10^x≡1(mod p)成立的最小正整数。

这样，我们就进入了数论的领域。循环节的长度跟费马小定理、欧拉函数都有密切的联系。.

光有点击，没有回复。
思考题大家都会做了？.

费马小定理是说，对于任意一个不能整除a的素数p，恒有a^(p-1)≡1(mod p)。如果取a=10，则有10^(p-1)≡1(mod p)，其中p!=2, 5。

前面我们知道，1/p的循环节长度len具有性质10^len≡1(mod p)，且len为满足10^x≡1(mod p)的最小正整数。这就自然导出一个关系：len必为p-1的因子。

仍旧以p=7为例。len必为6的因子，因此只可能取1，2，3，6。依次计算10，100，1000，1000000被7除的余数，分别为3，2，6，1，因此得知len必为6，即1/7的循环节长度为6。.

妙极!需要时间消化!!.

现在补充介绍同余的概念，并且证明费马小定理。这里讲的数都是整数。

顾名思义，同余就是指两个数除以同一个数，得到的余数相同，这个除数称为模；或者换一种等价的说法，如果两个数的差能够被模p整除，那么这两个数是模p同余的。形式上，把a和b同余于模p记为

        a≡b(mod p)

在模明确的情况下，可以不用把后面括号里的东西写出来。

利用同余可以给整数分类。例如，取p=7，则任意一个整数必然同余于0, 1, 2, 3, 4, 5, 6中的某一个。把0当作星期天，一周就是这样周而复始，其实我们日常生活中常常使用同余的性质。月份也是一个典型的例子，十二月过后就是第二年的一月，没有十三月的说法。同余反映出一种周期性的现象。

同余的性质比较多，这边不一一列举。总而言之，只考虑同余的时候，一个数总是能被与它同余的另一个数代替。或者说，同余的数是彼此等价的。

现在看点有意思的。我们知道如果p是素数，那么1, 2, 3, ..., p-1和p都是互素的。而任意一个不是p的倍数的数都必然和这p-1个数中间的某一个模p同余。好了，如果a和p互素那么a同余于{1,2,...,p-1}中的某一个。再来看如果r和p互素，那么ra和p也是互素的（a已经和p是互素的，证明留给读者）。

考虑数a, 2a, 3a, ..., (p-1)a。如下性质成立：

1、它们两两不同余；
2、集合{a,2a,3a,...,(p-1)a}能够和{1,2,3,...,p-1}建立一一对应关系。

这里做简单的证明。1是容易的，因为假设某两个数ma和na同余的话，就会有(m-n)a能被p整除。我假设读者已经在上面证明了这是不可能的。2可以根据1来证明。首先任意一个ma (1<=m<=p-1)总是与{1,2,3...,p-1}中的某一个同余。其次，令1<=b<=p-1，可以用鸽笼原理证明{a,2a,3a,...,(p-1)a}中必有一个数与b同余。

换句话说，如果认为同余的两个数是等价的，那么a, 2a, 3a, ..., (p-1)a就是1, 2, 3, ..., p-1的一个排列。

现在把它们乘起来：

a * 2a * 3a * ... * (p-1)a
=1*2*3*...*(p-1)a^(p-1)

另一方面，我们刚刚知道：

a * 2a * 3a * ... * (p-1)a
≡1*2*3*...*(p-1)

这样就有：

1*2*3*...*(p-1)a^(p-1)≡1*2*3*...*(p-1)

或者：

1*2*3*...*(p-1)*(a^(p-1) - 1)≡0

即p能够整除1*2*3*...*(p-1)*(a^(p-1) - 1)，必然的推论就是p能够整除a^(p-1) - 1，所以

a^(p-1)≡1(mod p)

这就是前面讲的费马小定理。.

　　火车大师，还没有看完，满脑子就是问题了。请允许我用提问的方式，向你表示敬意。有一个问题，好象是在我学习有理数和无理数之后就一直困扰着我。现在又被你这帖子勾出来了。我的问题是：

　　果真存在无理数吗？谁可以或有什么办法可以证明确实存在无限不循环小数？

　　在我有限的数学知识和想象中，无限小数总是会循环的！如果我们没有发现某个无限小数的循环规律（进而说它是“无理数”），那也不过是因为，我们只是看到、想到、算到了这个无限小数的有限部分。不是吗？
　　数字是有限的10个（从0到9），它们的排列总会有穷尽的！再无限小数下去，就会重复以前的排列，这不就是开始循环了吗？
　　我这种想法，在数学可以证实或证伪吗？.

去看一下根号2的故事吧，您的问题古希腊人已经解决了。.

无理数的确是存在的。如果一定要从有理数出发去认识无理数，那就是110楼提出的根号2。前面已经证明有理数化为小数肯定是有限或者循环小数。那么如果有一个数不能表示为有限或者循环小数，则一定是无限不循环小数，我们叫它无理数。

另一方面，可以从其它数学观念出发去探讨无理数。《什么是数学》一书有讨论，复旦大学出版社出版。你有一定的数学基础，应该可以看懂。关于这本书的详细介绍在这里：
http://ww123.net/baby/viewthread ... p;page=4#pid3355361

一不小心又给自己的帖子打了广告，哈哈。.

　　学过中学数学的人，都有无理数的常识。我也有，而且知道一些证明无理数存在的方法。但是我又喜欢想象，还不见棺材不掉泪。
　　例如：√2=1.414213562…………，确实有办法证明它是无理数。但我想象的翅膀早已经顺着小数点所指的方向，飞向了无穷远的地方。看着小数点之后这串没有终结的数字，我就在想，总会有出现后面数字排列重复前面数字排列（循环）这种情况吧？那是无穷多的数字，什么情况都可能发生，谁又能保证说它们不循环呢？
　　我想说的是：如果我们没有发现某个无限小数的循环规律，那也不过是因为，我们只是看到、想到、算到了这个无限小数的有限部分。
　　又如：0.1010010001……（两个1之间依次多一个0），被认为是典型的无限不循环小数（即无理数）。可是，当我想象到小数点之后的某个1之后有无限多个0时，我就会觉得它并不是一个无限小数。数学家好像杜撰出了一个概念上自相矛盾“数据”。

　　数学学得多的人可能会笑话我无知的想象。可是，既然是无限小数，我的想象也是无限的。所以禁不住要怀疑那些严密的论证。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-8 13:23 编辑 ].

无穷的确难以捉摸。我想，你的疑问也许在于：怎么样才能把无限不循环小数精确地写下来？似乎是一种矛盾。因为无限所以不能全部写下，因为不循环所以无法精确。——我这样理解你的意思，对吗？

如果我理解对了，那么你可以试着用这种观点去理解无理数：

数本身可以当作一种（数学）实在（或者说哲学上的客体），你的困难只是说怎么样才能把一个数准确地表达出来，特别是当这个数是一个无理数的时候。把一个数写成小数形式只是一种方法，还有很多方法可以确定一个数。比如，平方等于2的那个正数（这又关系到怎么样定义无理数的乘法）。又比如，圆周率、自然对数的底(e)。再比如，0.1010010001……（两个1之间依次多一个0）可以写成级数形式：

10^{-1} + 10^{-3} + 10^{-6} + 10^{-1} + ……

两个1之间一次多一个零，就是说1出现的位置依次是小数点后第1，3，6，10，15，21……位。通项公式我就不写了。这个和，虽然是无限项相加，却有一个确定的结果，这在数学分析里面是可以证明的。

再回到你的疑问，“当我想象到小数点之后的某个1之后有无限多个0时，我就会觉得它并不是一个无限小数”，实际上，按照这个数的定义，任何一个1后面都只能有有限个连续的0。所以这里并没有矛盾。.

引用:

原帖由 火车是运茶的 于 2008-12-8 12:50 发表
再回到你的疑问，“当我想象到小数点之后的某个1之后有无限多个0时，我就会觉得它并不是一个无限小数”，实际上，按照这个数的定义，任何一个1后面都只能有有限个连续的0。所以这里并没有矛盾。

您这样说，还是不能禁止我合理地想象：在这个无限小数出现了无穷多个1之后的那个1，它的背后必然跟随着无穷多个0。然后，我就会进一步合理推断：既然这个无限小数中的某个1之后有无穷多个0，那么这个“无限小数”就是有限小数。这种从无限中看到有限，看到经典数学中的矛盾或不完备，会不会让经典数学感到尴尬？
火车大师，我跟您抬杠，可不是故意作对哟！我是觉得数学实在是太有意思了。在我看来，数学不完备，是人类的幸事。如果现行数学穷尽了真理，那就太没有意思了！
　　就说圆周率吧。当然可以用别的数学方式表达它，以避免用小数表达的尴尬。但是，如果一定要用小数表达它，谁能保证在3.1415……这个“无限小数”中不会出现从某一点开始又循环重复前面的数列这种情况呢？它可是一个无穷多的数列啊！用别的方法当然可以证明，可是，就用小数本身能够证明吗？我就要直接的证据，我不见棺材不掉泪。有直接的证据证明存在无限循环小数，有同样的直接证据证明存在无限不循环小数吗？在没有充分的直接证据之前，任何结论都是暂时的结论，有待进一步证实或证伪的假设。数学上说的那些“无限不循环小数”说不定在无限之中就循环了呢？
　　这好像是在说，用小数的特点来定义有理数、无理数存在缺陷。可是，这本来就是在说无限小数呀！不说小数，有理数和无理数的区别就没有意义了！这是不是经典数学中的缺陷呢？不知道元数学怎么解释这个问题？据说自从希尔伯特以来，数学家们发现了数学中的一些不完备的地方，不知道有没有提及无理数？
　　我的想象不能停止下来。我在想，所谓无限小数问题，好像是以十进位制为基础的代数体系中的问题，有理数、无理数之别是这种数学体系中的一种创制。如果以十进制中的1/3或2的开方作为另一种进位制中的基本单位，是不是就可以避免无限小数的问题（毕达哥拉斯的问题）呢？用十进位制表示的直角三角形三边的关系是c^2=a^2+b^2，多麻烦啊！能不能发明一种新的进位制，以合理表示c=a+b?十进位制统治了太长时间，让它弄得十分麻烦那部分数学，可不可以交给其它进位制来解决呢？计算机软件，好像就不用十进位来编码嘛！
　　这是一个数学知识不怎好的数学迷的问题。无知才会无畏。贻笑大方了！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-8 14:55 编辑 ].

根号2的漫画
http://songshuhui.net/archives/5553.html.

松鼠会在牛博上看到过，关注的不多。画的蛮有意思。
说实话无理数的翻译相当无理。.

被人叫大师还真不舒服，去掉吧。

我当然不会禁止你想象了。 那个无穷小数你再仔细想想，其实任何一个1后面都只能存在有限个连续的0。请注意，是有限个、连续的、零。

你后面的问题我不知道怎么回答。我前面已经证明，有限小数和循环小数是相对的；但是，无理数的无限不循环性质却是本质的，不会因为进位制的改变而改变。不管你拿什么做单位，总要有个1，这里没有退路。

再回到完备性的问题上来。这点你大可放心，数学真理是不可能被穷尽的。关于这点已经被哥德尔在大约70年以前所证明。.

引用:

原帖由 火车是运茶的 于 2008-12-8 07:10 PM 发表
其实任何一个1后面都只能紧跟有限个连续的0

.

　　我的理解是：你们虽然是在说“任何一个1后面都只能存在有限个连续的0”，但心里想的却是“任何一个1前面都只能存在有限个连续的0”。而我想的是，前面有了无限个1之后，接下来那个1的后面跟着的是无限个连续的0。难道我想错了吗？不过，经过这么多人教导之后，我也开始怀疑自中学以来怀揣的这个问题是不是一个假问题，怀疑自己想入非非，误入歧途。
　　我还有想不通的地方：虽然在不同的进位制中都有1，但它们的意义是不一样的。假如《圣经》里编的那个故事，上帝造物不是工作6天休息1天，而是2天打渔1天晒网，那么，现在的星期进位制就不是七进位，而是三进位。在这种情况下，10天算是几个星期？3.333333333……个星期！又假如那个故事里上帝工作8天休息2天，那星期计算就会是十进位制。10天就正好是1星期，就不会出现无限循环小数。
　　唉，我本事不够。想出一个例子倒是在证明十进位制更合理。谁能帮我想个例子证明十进位很垃圾？反正这是休闲数学，玩一玩不会亵渎数学吧！
　　一直觉得：这种证明很难，是因为这种证明本身用的就是十进位制中发展出来的精致数学，要用它证明它自己有缺陷，似乎不可能！要是谁能发明一种以1见方的正方形的对角线（或别的什么）为单位（或者把圆周率当成1）的计算系统，说不定就会有一片新的数学天地。哦，我又在遐想了。这是瞎想吗？

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-9 01:10 编辑 ].

在第几个1后面有几个连续的0，是可以根据规律计算出来的呀。

十进制不一定是最好的，但是大家已经习惯了。

你最后那段确实是瞎想。 改变进位制不会改变任何数学（除了一些数字游戏）。数学的理论和方法都不是建立在进位制基础上的。.

你可以把Pi定义为单位，正如数轴上的单位长度是可以任意定义的一样。可你怎么定义那一个单位的“一”呢？.

引用:

原帖由 火车是运茶的 于 2008-12-9 13:16 发表
在第几个1后面有几个连续的0，是可以根据规律计算出来的呀。

十进制不一定是最好的，但是大家已经习惯了。

你最后那段确实是瞎想。 改变进位制不会改变任何数学（除了一些数字游戏）。数学的理论和方法都 ...

　　 火车老师，您这么说，会不会扼杀一个数学奇才呀？
　　还有：根据规律计算，第无穷大个1后面，似乎就应该有无穷大个连续的0吧！我想错了吗？

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-9 15:21 编辑 ].

可是我是知道你是有小孩的呀！你能小到哪里去？

“第无穷大个1”是没有严格定义的。实际上，把113楼的级数展开形式的通项表达式求出来的话，问题会变得一目了然。我偷个懒……

或者反过来，考虑每个1前面的连续的0的个数，或许有助于你理解。.

在一个关于“抵制”的帖里看到的数学问题，蛮好玩的，请高手们看看有没有“抵制”的可能性

不准再用直角坐标系，一律改用极坐标系。

今后算极限的时候不准再用罗必塔法则，全部用定义硬算！

发明一种新的数学方法代替傅里叶变换。

不准再用泊松方程和泊松积分，一律用F分布代替泊松分布。

将拉格朗日中值定理，拉格朗日插值多项式，四平方和定理剔除出《高等数学》

幸亏我的高等数学从来没有学会过，抢先“抵制”了.

把菲尔兹奖从佩雷尔曼手里收回来，干吗去证明法国人庞加莱的猜想？.

过来看看，火车又醒过来啦。.

格记算侬狠.......

以每秒2米靠近靶子。
小明于在t秒时刻射出的子弹在t+1秒的时候位于离t秒时的小明位置靠近靶子5米处。
小明于t+1秒时射出的子弹在t+1秒的这个时点位于离t秒时的小明位置靠近靶子2米处。
由于这两颗子弹均匀速运动，所以，他们之间的位置差不变，为3米。
所以两颗子弹击中靶子的时间差为3米除子弹速度，即0.6秒。
t可以取的值（即t的定义域）取决于小明开始时离靶子的距离。

离开靶子的情形的讨论基本一样。

关于警车呼啸而来，呼啸而去的时候，警笛的尖锐低沉变化趋势。我中学时参加过的某次物理竞赛中考到过。那道题目让我思考了不少时间。最后对答案还是很不确定。今天，我才知道原来这叫多普勒效应（我们参加竞赛都不准备的，就是课本的这些知识）。还有火车的这个题目做引导，思考起来就方便很多。

现在想起来，那个竞赛题对于超前学过一些课外知识的学生而言，真的一点不难，但是对于从来没有学过多普勒效应的学生来说，无疑要让他几分钟内做一次多普勒。当然，如果一个没有学过多普勒效应的学生能在考试中准确回答出这道题目的话，确实是令人惊讶的。故此，我觉得我当初应该是没有答对这道题。.

我认为你的问题出在：“可是，就用小数本身能够证明吗？我就要直接的证据，我不见棺材不掉泪。”

对于你的问题，我的看法和火车一样：“我想，你的疑问也许在于：怎么样才能把无限不循环小数精确地写下来？似乎是一种矛盾。因为无限所以不能全部写下，因为不循环所以无法精确。”

我们现在用的10进制写数的办法，是通过几个有限的整数的加法（和乘法）和除法来表示我们手头需要表示的数。
这个办法为什么被采用，是因为可以让我们减少很多记忆工作。因为最笨的表示数的方法是为每一个数准备一个符号。我们可以把123456789。。。记做abcdefghijk。。。。显然这种办法太没有效率了。（你有兴趣可以查一下各个文明在初始时都是如何计数的。）

10进制是印度人的伟大创造。有了它我们可以很有效的表示数，我们只需死记0123456789十个加小数点一共十一个记号就成了。

而这种记数方法无法表达根号2，你的那个1.414。。。。只是人们算出的根号2的近似值。至于这个近似值是无穷不循环小数是通过火车说的抽象思维的证明方式证明出来的，不是通过写出这个小数来验证的。道理还是前面说的，10进制本身就不能准确表达根号2。

最后，我建议你区分“数”（或称“数值”）和“数的表达形式”这两个不同的概念。.

我来回答一下思考题吧。

假设测速仪的原理是测速仪按固定频率发射的信号（速度为V0），该信号经车反射后以-V0的速度射向测速仪，测速仪通过比较车辆反射信号的频率和自身频率的差异，计算出该车相对自己的速度（V）的大小。

S为测速仪，C点为车的位置（假设在该位置一个信号s和车相遇），B点为s的后一个信号s+1的所在位置。

S ------------------------------------B------------C

BC距离为 V0*t
信号和车的相对速度为 V0-V
自此至s+1和车相遇所需的时间为 V0/(V0-V)*t=(1+V/V0-V)t=T
即于t0时车反射了一个信号s后，经过了T时间后又反射了信号s+1。

以上讨论对于车的速度设为V，所以如果车靠近测速仪则V和V0符号相反，T小于t；车远离测速仪则V和V0符号相同，T大于t。.

想起孩子小时候问过的一个关于圣诞老人的问题
“圣诞老人要跑得多快，才能在一个晚上把礼物送到所有小朋友的家里？”
这道应用题我答不出来。
有多少小朋友？
路径设计？
太复杂.

圣诞老人要累趴下了.

圣诞老人会化身千万，穿越空间，从一个烟囱钻到另一个烟囱。
好像圣诞老人是钻烟囱的吧。不过现在家里都没烟囱了，光剩脱排油烟机的排风管了。.

至少可从直观的方法证明无限不循环小数是存在的:
任取一个小数,比如: 0.153497826, 将小数点后的数字接在后面再写一次, 但任取两个不相同的数字交换位子, 于是虽然数字是"重复"了,但小数并未"循环"; 再将小数点后的所有数字在后面再写一次, 其中又任取两个不相同的数字交换位子,这个过程可一直做下去,所以是"无限"的. 进一步你可以明白这与进位制没有关系, 其他进位制也可以这样"创造"出一个"无限不循环小数"来..

一直关注此帖,火车大师关于小数\同余的归纳总结颇有教益,至少可直接拿来做奥数题........

引用:

原帖由 greenjyz 于 2008-12-24 22:13 发表
至少可从直观的方法证明无限不循环小数是存在的:
任取一个小数,比如: 0.153497826, 将小数点后的数字接在后面再写一次, 但任取两个不相同的数字交换位子, 于是虽然数字是"重复"了,但小数并未"循环"; 再将小数点后的 ...

　　我理解您的这种设计。但是，您觉得这种一段数字之后再累积叠加另一段更长的数字，如此进行下去，就不会循环重复，那是因为您作了分段式的理解或想象。可是，就只有0~9这十个数字，它们排列和组合都是有限的。如果我不从那些叠加点去想象小数点后的数字排列，而是任取一点去观察和想象，结果会是什么呢？我不知道，但不敢断定在一个无限小数中的某个节点其前与其后的数字排列永远不会出现重复，因为它是无限的，这种情况难道不可能出现吗？
　　此外，您例举的是 0.153497826……，您那个法子似乎可以进行下去。如果我例举一个0.111111……，那你依法炮制一个无限不循环小数出来看看！
　　我是在抬杠吗？如果是，那就当我用这种方式让您在平安夜里取个乐子吧！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-24 23:06 编辑 ].

你以为圣诞老人是孙猴子呀 传说里可没有化身一说。

聖誕老人座下馴鹿必須以每秒5900公裡的速度飛奔
http://tech.big5.enorth.com.cn/system/2007/12/24/002540846.shtml

瑞典工程及建築諮詢公司Sweco的安德斯·拉爾森在接受采訪時解釋說，在平安夜和聖誕節之間的這段時間裡，要想讓世界各地的所有教徒家庭的孩子都收到了這位身著紅裝、留白胡子的老爺爺的禮物，那麼聖誕老人的全球路線將包括25億個家庭。拉爾森說：『據我們估算，地球上每平方公裡平均有48人，每個住戶相距20米。如果聖誕老人從吉爾吉斯斯坦出發，向地球自轉相反的方向(從東向西)開始贈送禮物，這樣，他就有48小時。也就是說，他必須在這48小時內把禮物送到25億個家庭中。』

　　按照西方傳統，聖誕老人在北極過著逍遙快樂的日子，但北歐的很多城市，包括芬蘭的羅瓦涅米，都宣稱是聖誕老人真正的家。Sweco公司關於『聖誕老人效率最高的禮物派送路線』報告指出，即使把人口密度和捷徑這樣的因素也考慮進去，聖誕老人如果從北極出發的話，根本無法及時將禮物送到世界每個角落的孩子手中。

　　拉爾森說：『果真如此的話，在每一站，他需要在34微秒(微秒即一百萬分之一秒)的時間裡，完成從煙囪裡鑽出來，放下禮物，吃一口餅乾，喝一點牛奶，接著跳上雪橇這個動作。』聖誕老人座下馴鹿必須以每秒5900公裡的速度飛奔，只有這樣，纔能將禮物挨家挨戶發放完畢。

[ 本帖最后由 shumi1 于 2008-12-25 08:04 编辑 ].

抬不抬杠无所谓，在数学上进行讨论总是有趣的。
1、如果你认为“就只有0~9这十个数字，它们排列和组合都是有限的”，那么从数学探讨的角度来看，你首先需要证明这一命题，然后才能继续下去，而不是把它当成一个“公理”直接用于你的推论；
2、关于“。。。如果我例举一个0.111111……，那你依法炮制一个无限不循环小数出来看看！”，请注意我在评论的起初的说明：“。。。证明无限不循环小数是存在的”，所以我的证明过程只是证明无限不循环小数的“存在”，也就是只能回答你在109#提出的问题：“果真存在无理数吗？谁可以或有什么办法可以证明确实存在无限不循环小数？”，而不能证明任意小数或某一特定小数是“无限不循环小数”，也不能用于证明诸如sqrt（2）是无理数的问题，更不能到处去套，把某一小数“构建”成“无限不循环小数”。
。.

还好，比光速慢多了，圣诞老人足以对付，好整以暇，应付裕如。.

关键还不在于速度，而是说他做这么一套动作下来，不断改变自己的方向、速度，还要停下来放礼物，那他的加速度得有多大呀？

还有那几只可怜的鹿，还没有跑到最高速度呢，又要开始减速了，所以它们的峰值速度必须超过5900，还要配置强大的散热系统给圣诞老人的鹿车的车闸散热。

假设圣诞老人体重100千克，在马车上以每秒10000公里的速度前进，然后开始制动直到停下来。假设圣诞老人的动能有80%是通过车闸释放掉的，请计算一次这样的制动，这个车闸释放出来的热量可以烧开多少千克的水。

假设有环保积极分子在圣诞老人的车闸上安装发电装置，能够把60%的输入能量变成电能，又假设一个家庭年均用电800度（我瞎掰的啊），请计算一次这样的制动所产生的电能，够几个家庭使用一年。

.

讨论这样的问题，我没有这个功力。但它确实是我自学无理数以来的一个困惑。思想陷入了一个怪圈里：如果有无理数（无限不循环小数），那么在小数点之后的无限多个数中就有一种可能，即从某个数字起，后面的数字排列重复此前的数字排列；如果有重复，它就成了无限循环小数。换句话说，无理数是不存在的。或者说，无理数本身就是一个有内在矛盾的概念。
　　我一直希望有人能够理解我的困惑，并且告诉我为什么我这样想是错的。但好像还没有人能够让我放弃这种想象。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2008-12-25 15:17 编辑 ].

首先，人家不象火车用车闸的，用“鹿立停”系统
其次，老人家身体蹦棒，没有“三高”，哪有你说的那么重呀
这道题目确实有趣，请火车继续讲课！.

是你的题目呀！我不过借题发挥而已。
那我希望“鹿立停”系统是能够储存能量的，等着下次发动的时候再用上。
100千克也不过分吧？圣诞老人都是挺着大肚子的。.

好玩好玩！又是数学又是物理。。。
正因为如此，加速减速、加速减速、。。。圣诞老人的时间比我们的时间慢的多，所以他永远年老，万寿无疆。。。.

你掉入了自己给自己设置的怪圈。

1 无理数是指不能写成两个整数之比的数。这是一个定义，没有为什么。当然你可能忘记了。
2 判断是否存在无理数，完全不涉及无限不循环小数这个概念。
3 在知道了存在无理数后，我们又可以进一步证明无理数如果用小数来写的话，必定是无限不循环小数。当然你可以不必这么麻烦，一定要把某个无理数写成无限不循环小数，并且事实上没有人能真正地“写”出任何一个无限不循环小数。
4 所以“存在无理数”即意味着：这个无理数用小数写出来必须是“无限不循环的”。故而，你说的“那么在小数点之后的无限多个数中就有一种可能，即从某个数字起，后面的数字排列重复此前的数学排列”的可能性根据“无限不循环“的定义不存在。

你悟出来了没有？.

我一直在想，你的疑惑到底是什么。现在看来你是觉得无穷无尽写下去，总有可能重复。135楼给出了一个构造无限不循环小数的方法，但是它的正确性不是那么直观的，需要严格的数学证明。我相信，如果这个证明能够明确无误地写出来，那么你的困惑也就可以消解了。

这种方法叫做构造法，即通过构造一个数学对象来证明一个断言（通常是存在性的）。

但是135楼给的条件比较含糊，比如“任意交换两个数字的位置”，这就不是一个确定性的过程，而且，有可能产生循环小数。举例如下：

首先取初始数字0.123，然后“复制”一遍：0.123123，然后交换“接口”处的数字，即把复制之前的最后一个数字和复制过来的第一个数字交换位置，变成：.0121323

这样就是：
0.123
0.121323
0.121321321323
0.121321321321321321321323

仔细观察可以发现，每次得到的有限小数都是1开头，23结尾，中间是若干个213，可以写成0.1{213}23的形式。按照规则，下一个就是0.1{213}213{213}23，仍然是0.1{213}23的形式。一直写下去，得到的无穷小数是一个混循环小数，以231为循环节。

因此，135楼的方法，还需要好好的改造。greenjyz开了个很好的头，请大家继续玩下去。老老实实的说，我也还没有想好怎么样构造一个无限不循环小数，甚至135楼的方法到底能不能改造成功，我也还没有线索。

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-12-25 22:27 编辑 ].

晚饭时，跟儿子回忆他小时候的这个问题。他说，在《小哥白尼》中看到一个解释，老人与我们不在统一的时空中，所以不能用凡人的眼光来看老人的速度 而且，圣诞礼物可在袜子里自己生长，老人的口袋里放的只是“种子” 最后，他发表自己的看法，“也许圣诞老人不需要频繁启动与刹车，他应该掌握美军的子母弹精确轰炸技术，路过一个村子，就可以一下子把礼物种子发射到每家小孩子的袜子里，不需要在烟囱里钻进钻出的，弄脏了红衣服。只担心一点，5900km/s远远超出了第二宇宙速度，鲁道夫会不会飞出去回不了地球了 ”.

嗯，同意，当时写下来的时候是没有想的很严格，要再仔细想想（不管是否成功，总是感到挺有趣的），也想想其它方法。
在数学逻辑上而言，在无穷无尽的各个不同的小数中，只要找到（或“构造”出）一个无限不循环小数，就可证明“无限不循环小数是存在的”这个命题。不过这个命题是个“弱”命题，更强一点的命题是：“存在无穷多个无限不循环小数”，这个也没想好该如何证。.

这个更好玩！令郎思维活跃、见识广博、又富有幽默感！
确实啊，圣诞老人完全可以生活在另一个宇宙中，时不时到我们这个宇宙串串门，发发礼物。。。
既然他已经掌握子母弹技术，也用不着5900/km的速度啦，远远地，手腕一抖，万道霞光，种子就发射到千家万户了。。。.