上接：
http://ww123.net/baby/viewthread ... ;page=65#pid7328902

上回说到 Alex 用试算法解信签题，第二天是星期二，每周的这天上午 Alex 要去体育馆游泳，每次我都骑自行车搭他去。在车上，我们经常讨论数学问题。前一天的 Alex 用了几乎大半天的时间去“生想”，今天一定要再提一提，否则可能浪费了。

1.jpg (17.01 KB)

2010-7-23 23:03

父：还记得昨天的信签盒问题吗？
子：当然记得啦。
父：还记得你当时是从哪个数开始试算的吗？
子：哦、、、我想想、、、好像是从60个信封开始算的。
父：嗯。你还猜了信纸吧？
子：不用猜信纸。
父：为什么不用猜啊？
子：因为根据第一个条件可以算出信纸来的。
父：哦，第一个条件是说信纸比信封多了50吧？
子：是的，信纸有110张。
父：如果按照第二个条件算的话，信纸是好像反而少了，为什么啊？
子：因为有50个空信封呗。算出来应该是60张。
父：这么说，从60个信封开始算的话，甲有110张信纸，乙有60张信纸，乙好像少很多哦？
子：是的。
父：可是最后的结果里边，甲和乙的信纸怎么是一样的呢？
子：什么一样？
父：都是150张信纸啊。
子：、、、
父：你在后面比划看看？
子：我知道了，开始的时候甲多，乙少，但是增加一个信封的话，甲增加一张信纸，乙增加三张信纸。
父：哦，原来是这样啊。甲增加得慢，乙增加得快。
子：对啊。
父：这听起来好像是两个人在赛跑，甲跑得慢，但是偷跑了，乙跑得快，最后甲被追上了。
子：甲偷跑了50米。
父：那么甲跑步的速度是多少呢？
子：甲是1米每秒，乙是3米每秒。
父：如果让你把信签盒问题改成赛跑，可以哇？
子：可以啊，那就是龟兔赛跑吧？
父：我担心乌龟1秒钟爬不了1米？
子：那就是把乌龟改成松鼠，鼠兔赛跑吧。
父：好啊，等下午你休息好了，咱们试试。
子：嗯。
这时刚好骑到体育馆，放好车，加锁。我突然想到一个问题，继续问道：“你说说看，信签盒里的信纸、信纸要改成什么呢？”Alex 随口答道：“信纸代表距离，信封代表时间。”.

引用:

原帖由 水之形 于 2010-7-23 15:54 发表
喂，是300000千米。

已经改正了，谢谢指正！.

引用:

原帖由 pm_simple 于 2010-7-23 11:21 发表
hehe
有人说物理和数学不分家。可有人分而治之，出现了两个学科。
以俺的理解，数学从外行人看，本身是那么得无趣，和无形，可一旦搭上了物理，历史，生物，文学。。。于是又体现了生命意义。
而学数学的同志们， ...

严重同意！.

引用:

原帖由 happyyj 于 2010-7-23 14:42 发表
我也想，我们怎么可能奢望一位老师、为着一道题目、面对全班几十位小朋友、花费如此多的心思！
可见一对一、甚至多对一的家庭教育应该成为学校教育的良好补充，尤其在寒暑两个假期中。

同意，说家庭教育确实是学校教育的良好补充。
家庭教育不仅仅是对学校教育的一种修修补补，更重的是它对孩子的启蒙作用——知识上的启蒙，思想方法上的启蒙，世界观、人生观、价值观上的启蒙。.

引用:

原帖由 happyyj 于 2010-7-23 14:54 发表
我拿着007的案例找茬：我怎么觉得5次2*2*2*2*2正好等于5*2呢！
三：哈哈哈哈，5*2是5个2相加，不是5个2相乘！
我：不是吧，两个都相等吧。
小三非常不屑：哼，那你说49*49=49+49吗？一个是2401，一个是98，差了个十万八千里！
小三特意用一个放大的数字，来教育我看清同数连乘和连加的巨大差别，大概觉得这样对我会比较“醒目”。

装傻充愣是不是很过瘾呀？.

引用:

原帖由 j_w 于 2010-7-23 15:21 发表
一般小朋友对幂的概念还尚处启蒙阶段，007又是如何引入对数概念的呢，很好奇，能介绍一下吗

我在跟小四生谈论几次方时发了一下愣，想起当年用对数方法求某数的多少次幂，实际并没有跟小朋友讨论对数问题。
我前面大概没有说清楚。.

引用:

原帖由 pm_simple 于 2010-7-23 15:31 发表
换种方式，其实我想说，虽然物理用到了 速度=距离/时间。 而对于数学来讲，这仅仅是一个除法，是对数量的划分方式。数有很多种划分方式，也有很多延伸方式，直至划分或延伸到无穷。也许每种划分都可能会对各学科产生深远的意义。我总觉得，似乎对于孩子来说，更容易接受的是边缘学科，透过这些边缘学科会逐渐探究到类似数学这样的抽象层。嘿嘿。
我不知道孩子为何下结论说，速度=距离/时间。龟兔赛跑的时候，都跑到了终点，可速度究竟是哪个快呢？
俺觉得，这个盖子是否要盖上，再考虑考虑。。。或许孩子可以理解，切苹果，怎么切法。。。，微分怎么个玩法。。。

　　小朋友对速度早就有许多生活经验，但是用数学方式精确计量速度却是在学校里学会的。问题是，不能简单地告诉“速度=距离/时间”就了事。重要的是让小朋友借助生活经验理解为什么“速度=距离/时间”。
　　记得CC在一个帖里记述过我们的一场数学活动，里边讨论的就是为什么要用行程除以时间来表示速度。
　　参见http://www3.ww123.net/baby/thread-4710440-1-91.html

　　还是引用一段吧，请注意007是怎么刁难小三小四生的：

　　hxy007给小三小四出了一个难题：“假定我朝明强小学方向走了1500米，J同学朝七宝外国语小学方向走了1000米。
　　然后问大家：我跟J同学哪个走得快？”
　　小三小四立即说：“不知道？你又没有说你们俩各走了多长时间？”
　　hxy007梗着脖子说：“我走了1500米，J同学走了1000米，我走的路程更远，当然是我走得快了。这跟时间有什么关系？”
　　小三小四不屑地说：“你又没有说你们走了同样多的时间，不好比谁走得更快。”
　　hxy007总算释然了：“你们是说，要比速度的话，就不但要知道走了多长的路程，还要知道用了多少时间。我必须告诉你们时间，是不是？”
　　小三小四齐声答道：“是的。”
　　hxy007：“那好，我告诉你们，我走1500米用了30分钟，J同学走1000米用了20分钟。请问谁走得更快一些？”
　　小三小四们没吭声，纷纷拿起笔和纸，开始计算。
　　hxy007大声道：“这个还要笔算吗？1500*30肯定大于1000*20……”
　　小三小四诧异了：“不对啊，不能用乘法计算速度。”
　　hxy007再出个妖蛾子：“那我就用加法，1500+30也大于1000+20……”
　　小三小四们笑了：“不对，不能用加法算速度。”
　　hxy007又道：“那我就用减法，1500-30大于1000-20，还是我更快。”
　　小三小四们慌忙应道：“不行不行，计算速度要用除法，行程除以时间才是速度。”
　　hxy007说：“你凭什么说一定要用除法来计算速度？谁能说说这么算的道理是什么？”

　　小三小四们茫然了，就没碰见过这么轴的爸爸。
　　Alex开始作图，画出hxy007的行程。他把一条线段分成30份，一份表示1分钟走的路程，算下来hxy007在1分种的时间里边走了50米，把hxy007的速度表示为50米/分。
　　J同学也图出了自己的行程，他把一条线段分成20份，一份表示1分钟走的路程。J同学计算出了自己的速度，也是1分钟走了50米。
　　这时，大家不约而同地笑了起来，原来hxy007和J同学的速度是一样，根本不存在谁快谁慢的问题。

　　hxy007紧接着问道：“为什么前面不能比两人的速度？为什么现在就可以比较两个的快慢了？”
　　11回答道：“因为两人走的路程不一样，用的时间不一样，所以不能直接比。等我们算出一格子一分钟两人的走路程之后，就可以比出谁快谁慢。”
　　ccpaging和hxy00这两个笨爸爸总算明白了：“换句话说，你们用了同样的单位，就能够比较谁快谁慢了。你们用一格表示一分钟的路程，其实是在规定一种速度单位，也就是“米/分”。我这样说对不对？”
　　11回答道：“对的，‘米/分’就是一个速度单位，还有‘米/时’、‘米/秒’、‘千米/时’……”
　　hxy007说：“那么，你们看看速度单位和面积单位有什么相同和不同的地方呢？”
　　小三小四们一脸惘然，不明白什么意思。
　　hxy007解释道：“你们看，面积公式是“长*宽”，所以面积单位是“米*米”，是两个长度单位组成的。那么，速度单位呢？”
　　小三小四们回答道：“速度公式是‘行程/时间’，所以速度单位是‘米/分’，是长度单位和时间单位组成的。”
　　hxy007笑道：“呵呵，面积单位里有乘法，速度单位里有除法。它们都是复合单位，但是好像速度单位比面积单位还变态哟。”.

007 在用问题养成同学们的置疑精神。
一旦开始问“为什么”，那就要小心了，可别因为问得问题看起来只有主谓宾，似乎很简单，就放松了警惕，他们能把“为什么”一直问到你的思想深处，问到你的纠结处，问到你烦。这大概就是人们常说的“钉子”精神吧。
说回到“速度”问题，常规的讲公式只讲了这条路应该这么走，这满足不了同学们的好奇心。同学们想知道，有没有别的路啊，别的路走不通又是为什么呢，007的问题顺应了同学们的好奇心。当然啦，光有好奇心还不行，还必须有判断正误的方法，那就是把速度问题的源头，即我们的模糊体验和感觉，与数学联系在一起，用我们的体验和感觉来验证速度定义的正确性，这样，由体验到数学理论形成了一个完整的过程。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-7-24 20:00 编辑 ].

杯具，我从来就相信学习是需要刻苦的。

始终觉得，天分不足，勤奋来补。

真羡慕你们的理念呵呵，可惜我自己水平不够，只能随波逐流了。.

巴比伦人使用特殊的契形文字，他们把文字刻在泥板上，然后晒干，泥板晒干后和石头一样坚硬，可以长期保存。
从发掘出来的泥板上，人们发现了三千多年前巴比伦人出的数学题：
“10个兄弟分100两银子，一个人比一个人多，只知道每一级相差的数量都一样，但是究竟相差多少不知道，现在第八个兄弟分到6两银子，问一级相差多少？”

后记：
Alex 听到题目后，直接就说了等差数列，我很奇怪。
父：你怎么知道等差数列的？你们老师教过？
子：是你说的啊。我这次考试的语数英成绩就是等差数列。
父：那你再举一个等差数列的例子？
子：我们班上好多同学都考出了等差数列。比如“94、96、98”、“90、93、96”、、、
父：那有没人考出“80、90、100”
子：哈哈，这也有点变态。“0、50、100”也是等差数列。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-7-30 16:19 编辑 ].

上接：
http://ww123.net/baby/viewthread ... ;page=67#pid7337522

改造原题
原题是：
甲乙各有一个盒子，这两个盒子里的信签都是一样的。甲在每个信封里装了一张信纸，最后剩下50张信纸。乙在每个信封里装了三张信纸，最后剩下50张信封。问一个盒子里有几张信封、信纸？

上回说到，我让 Alex 把这道题目改造成追赶题，能否改造成功呢？比较担心。我认为，关键在于 Alex 是否掌握了原题中的运动变化关系，即“甲在每个信封里装了一张信纸”与“乙在每个信封里装了三张信纸”。前一天用试算法做题的好处就在于此，用公式和代数做，则难以体会到这种运动变化关系。当然，Alex 的“生想”效果如何，也可以在改题的过程中被展示出来，毕竟我只能打发他去“生想”。具体他想了些什么，我不知道，让 Alex 说的话，恐怕也说不出来，小三的表达能力能否清晰表达如此复杂而混乱的思想过程，这一点很有理由可以怀疑的。

信封用时间代替，信纸用路程代替，因为1秒钟要能“装”进3米的“信签”进去。这是一种猜测，我们计划在这个猜测基础上先试试，如果不行，再回头分析。

甲用松鼠代替，因为甲的速度慢。剩下50张信纸，按照前面替代的原则，应用50米代替。可是在应用题里边如何表述呢？Alex 吃不准了，感觉是松鼠偷跑了。
“那就这么试试吧！”我对他说。
乙用兔子代替，剩下50张信封，应用50秒代替。也就是说兔子浪费了50秒时间，放在前面浪费，还是后面浪费呢？Alex 吃不准了，感觉放在前面比较简单。
“那就这么试试吧！”我对他说。

改造后的题目：
松鼠和兔子在林间的小道上赛跑，松鼠每秒跑1米，兔子每秒跑3米。兔子对松鼠说：“我先让你跑50米。”松鼠冲出了起点。等松鼠跑了50米的时候，兔子正跟别的动物说话聊天，没有注意到。又过了50秒，在别的动物提醒下，兔子才冲出起点。最后，兔子刚好在小道的终点追上松鼠。问，松鼠跑了多长时间？这条林间小道有多长？

改造后的题目是我总结的，以 Alex 目前的文字水平还完成不了这个工作。我只让他把注意力放在最重要的数据上，确认那些核心的意思。

打发 Alex 去“生想”
题目已经出好了，接下来当然要 Alex 去“生想”，这是理所当然的，自己出的题目啊。
面对一张白纸，Alex 设想了四条线，包括甲的路程、甲的时间，乙的路程、乙的时间。他画了好长时间，总不能令自己满意。于是我用了 grant 大侠的坐标纸软件，在打印纸上以 2mm 为间隔做了一张坐标纸，Alex 觉得很好用。使用坐标纸以后，Alex 能够把他的注意力更多地放在分析上。最后，他发现四条线实际上可以集中在一条线上。如下图：

2.jpg (18.51 KB)

2010-7-25 10:35

左边局部放大：

2-1.jpg (18.61 KB)
左边的局部放大

2010-7-25 10:35

右边局部放大：

2-2.jpg (11.48 KB)
右边的局部放大

2010-7-25 10:35

Alex 总算把图画好了，结果也出来了。他兴冲冲把图给我看，非常令他失望，我看不懂。继续画吧，再拿给我看，我还是看不懂。这次他总算明白了，这张图不解释，我是不会看得懂的。
子：我给你说一下吧。
父：哦，好啊，你说吧。
子：图上半部画的松鼠，下半部画的是兔子。
父：原来是这样啊，我标上吧？！
子：开始比赛的时候，只有松鼠再跑，先跑了50米。
父：哦、、、
子：松鼠到50米这个点时，比赛才正式开始。
父：这么说，松鼠在比赛开始前就偷跑了50米，那我在50米这个点上标 T0.
子：T0 的时候，兔子还在起点，也要标上的。
父：好的。
子：松鼠继续跑了50米，兔子还没动。
父：好，我分别标上 T1 吧。
子：松鼠每秒跑1米，我在这里画了弧线。画一次松鼠，画一次兔子。
父：哦，原来弧线是这个意思啊！
子：松鼠继续跑了50米，花了50秒。兔子花了同样的时间，跑了150米，刚好追上松鼠。
父：终点上要标上T2，我完全明白了。

示范笛卡尔坐标
父：不过，你这张图还是不够明显。你不解释我就看不懂。
子：、、、
父：你不会在怪我太笨了吧？
子：没有啊。
父：历史上有个科学家叫笛卡尔，他那时也碰到这个问题。于是他想啊想，想用更好的作图方法，使这么复杂的问题能够让人一目了然。
子：就是那个喜欢看蜘蛛结网的笛卡尔吧！
父：你也知道笛卡尔啊，从哪里看到的？
子：我从《可怕的科学》上看到的。
父：是的。笛卡尔看蜘蛛结网突然领悟到，我们原来只用一根数轴画图，好多参数挤在一起，看起来很麻烦，所以、、、
子：爸爸，是不是用两根数轴会好一些。
父：笛卡尔是这么说的，但在这道题上能不能用，我吃不准，要不我们试试？
子：不过，我不知道两根数轴怎么用啊？
父：没关系，我演示给你看。
我扯过一张草稿纸，一边画一边给 Alex 解释。

1.jpg (17.76 KB)

2010-7-28 00:27

连点成线
下图是 Alex 自己画的。由于我介绍坐标时，只讲了点，所以 Alex 也画的是点。待他画完了，我让他把点练成了线。Alex 发现这些点正好在一些直线上。

1.jpg (32.24 KB)

2010-7-25 10:35

分析图例并回答
为什么松鼠的轨迹正好构成一条斜线？
为什么在前100秒内，兔子的轨迹都是一条水平线，跟时间轴重合了？
为什么兔子在最后50秒的轨迹是一条斜线？
为什么兔子的斜线比松鼠的斜线要斜一些？
所谓“斜”一些，如何度量？
松鼠线和兔子线有两个交叉点，这两个交叉点是什么意义？

（编辑完毕）

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-7-28 00:46 编辑 ].

接下去可以讲微分了。
我上次给小孩讲龟兔赛跑，用的是时间－速度线，可以用来讲积分（但是还没有讲下去呢）：
http://ww123.net/baby/viewthread ... p;page=1#pid7272327.

引用:

原帖由 火车是运茶的 于 2010-7-7 22:10 发表
龟兔赛跑（二）
周六下午有小朋友来家里。打算一起教了。反正我要讲的东西不太需要知识储备，差几岁也关系不大。

首先要让小朋友们能够以一种直观的方式对速度的快慢产生感性认识。当然，快慢本身已经是很感性的了。但是，速度是一个运动中的概念，理解起来是有一定难度的。如果能够转化为相对静态的概念，那就会容易得多。也方便写写画画。

这里有一个简单的做法。兔子每秒可以跑3米，那么滴答一下，给兔子三个一元硬币。乌龟呢，每秒只能爬0.5米，或者每2秒才能爬一米，那么滴答一下，给乌龟一个五角钱的硬币。如果兔子睡觉，就不给钱！这样，就把赛跑问题变成数钱问题了。

周六试试看。玩熟了，再转移到坐标轴上。 ...

这一段可以放在引入笛卡尔坐标之前。甚至可以在家里做赛跑的实验。.

强制自己不要用数列公式来解这道题，重新练一下小学数学的逻辑。

老八是6两，那么老七加老九、老六加老十都是2×6

1、2、3、4、5兄弟分得的银子就是100－5×6＝70

那么70－30＝40

12345兄弟比678910兄弟多，那么拿的最少的就是老十。

这40两银子就是前面5个兄弟比后面五个兄弟多出来的级差之和
前面5兄弟中每个兄弟比后面五个每个对应的兄弟多出来5个级差，那么一个是5×5

40/(5*5)=1.6，为级差。

后面就可以依次算出十兄弟所得的银子。

不过最后我感慨一下，这个分法太不公平了。老1是老十的好几倍了 。.

数形结合

1.jpg (48.49 KB)

2010-7-26 11:51

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-7-26 22:18 编辑 ].

上次没有专门花时间，是在散步的时候给他们讲的，估计印象不深
不过没关系，这个可以慢慢来.

引用:

原帖由 ccpaging 于 2010-7-25 00:44 发表
“10个兄弟分100两银子，一个人比一个人多，只知道每一级相差的数量都一样，但是究竟相差多少不知道，现在第八个兄弟分到6两银子，问一级相差多少？”

　　007是中间人：外，大家都像老八，都来领6两银子。这样我这里就分掉了多少银子？
　　众兄弟：6*10=60两。
　　007：那么，我还剩下多少银子？
　　众兄弟：100-60=40两。
　　007：剩下的银子按规定应该分给谁？
　　老大到老七都举手，唯独老九、老幺不吭声。老八揭发说：老九应该比我少一份，老幺应该比我少两份。
　　007：对的。老七，你应该比老八多一份，这一份你去向老九要。老六，你应该比老八多两份，这两份你应该向老幺要。剩下的40两银子，只分给前面五位哥哥。你们自己说说，自己应该比老八多几份？
　　老五：我要比老八多3份。
　　老四：我要比老八多4份。
　　老三：我要比老八多5份。
　　老二：我要比老八多6份。
　　老大：我要比老八多7份。
　　007：那么你们五个加起来，应该比老八多拿几份？
　　老大算得最快：3+4+5+6+7=25份。
　　007：那么一份顶多少银两？
　　老二：40/25=1.6两。
　　007：呵呵，1.6难道就是传说中的级差？

[ 本帖最后由 hxy007 于 2010-7-26 15:07 编辑 ].

还可有一种解法：

老八和老三加在一起为：100/5=20

老三的银子为：20－6＝14

老三比老八多5个级差，那么级差就是：（14－6）/5=1.6.

1.jpg (39.41 KB)

2010-7-26 22:15

中间的红线代表10，老八和红线差4两银子，也就是2.5级，每级 ＝ 4 ÷ 2.5 = 1.6（两）.

各位BBMM备课都很认真。现在可以拿去和孩子一起玩了。007试着把这道古老的数学题改造成了侦探故事，免得小朋友在什么是级差上纠结。

       福尔摩斯经过缜密调查，终于侦察破“袜子案”。遗憾的是，这10个强盗们把偷得的袜子变卖成了100两银子，并且把银子都给分掉了。
    强盗们供认：老大分得最多，其次是老二。老大比老二多拿了多少，老二就比老三多拿了多少，老三就比老四多拿了多少，老四就比老五多拿多少，老五就比老六多拿多少，老六就比老七多拿多少，老七就比老八拿了多少，老八就比老九拿了多少，老九就比老十拿了多少。
    福尔摩斯听他们这么啰里八嗦，心里只抓狂。他断喝一声：你们一个个究竟分了多少银子？
    老八沉不住气，坦白说：我，我，我拿了6两银子。
    别的强盗却闭口不出声，用怪怪的眼光看着福尔摩斯。强盗老大说：你不是比我还懂奥数吗？你自己算呀！
    福尔摩斯沉思了一下，笑着对华生说：我知道这10个强盗各分了多少银两，我也知道强盗老九比老十多分了多少两银子。
    华生纳闷：福尔摩斯是怎么推理的呢？强盗老九究竟比老十多分了多少两银子呢？
    你能给华生解释一下吗？.

引用:

原帖由 hxy007 于 2010-7-24 08:29 发表

装傻充愣是不是很过瘾呀？

嗯。

只是我们这个不似小苍笛、Alex那么斯文、有耐心，有时候会气得脸红起急、有时候又觉得你太不可理喻、懒得给你讲。
他有次直接怀疑我怎么考上大学的，连幼儿园的题都不会！我说我老了、退化了，要靠你回炉。.

我较为仔细地拜读了007和CC爸爸的一系列情景辅导案例，真的没想到我一道单纯的“信笺盒”题目，能够幻化如此多的“法身”！

007的辅导深具广度，遍及代数法、试算法、画图法，最后受小苍笛的启示，又得到算术巧解法！
而CC爸爸的辅导兼具深度，从Alex静态的“生想”开始，到引导Alex得出“信纸代表距离/信封代表时间” 的奇妙结论，又到动态概念的引入，最后还从单一数轴的局限开始导入笛卡尔坐标系。

我清楚只有在通达了悟、游刃有余的基础上，才有可能如此全线贯通、功夫成片！
很羡慕的。

相形之下，我的所谓辅导，只落在蜻蜓点水、浅尝辄止的水准——非常拘谨生硬、多一点都不会。
这也真是很无奈，非不为也、乃不能也。

要学的太多，请继续畅谈、分享。。。。.

有一点要提醒注意，我的辅导是在007的辅导之后，Alex 的“生想”是在接受过 007 前面的辅导基础上展开的。时间上也是紧挨着，一两天的事。.

了解，但无妨。。。.

当我们面对一个全新的问题要解决时，这个解决的过程是否有一个普遍的规律？如果有，那么这个规律是什么？

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-7-28 00:48 编辑 ].

引用:

原帖由 happyyj 于 2010-7-27 13:54 发表
相形之下，我的所谓辅导，只落在蜻蜓点水、浅尝辄止的水准——非常拘谨生硬、多一点都不会。 ...

我讲得确实多了一些，但是不是讲得多同学们就都能接收呢？未必。以我带 Alex 的经验总结出一点，Alex 们只能接受他们准备接受的那些东西，如果正好讲到他们心里了，怎么拘谨、怎么生涩都不要紧的，因为那是一种共鸣。如果讲得多了，那些他们没准备好接受的东西最后还是像烧开的粥一样－－直接溢出了。
对于这些终将溢出的知识，讲一讲，提一提，最好情况下也就是埋下一粒种子，将来能不能发芽得另说。可别指望讲一次笛卡尔坐标，Alex 们就能真正掌握笛卡尔的精髓，因为他们的体验、知识的积累还没有真正达到可以接受笛卡尔的程度。

有时候，我看见 Alex 点头的时候，就在想：“他只是不愿扫我的兴罢了。”但我要写出这些在 Alex 可能会溢出的东西，万一那个超级牛孩就随口问出来了呢，咱也不能扫了孩子的兴啊。

Alex 最近常说：“下午没事，咱们就做一道数学题来 浪费时间 吧。”重要的是父子俩、母子俩在一起浪费时间，至于浪费的是否精彩、是否有花头，好像也不是真的那么紧要！

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-7-28 00:48 编辑 ].

有100两银子，10个兄弟分，小的分到的比大的少，最后分出了一组等差数列，已知老八分到六两，问老大分到几两？

先用了试算法。拿2进行试算（也就是 2、4、6、8、10、、、），用已知条件算，比如老八分到六两，那么老九就分到4两，可做了以后，他们10个人总共有110两，而题目上只有100两，可以得出（结论）：
极差 < 2。

接下来又猜了1，可发现10个人总共有 85 两。比100两差好多。于是，得出（结论）：
1 < 级差 < 2

（注：这有一个值得注意的现象，即级差2的结果110与100相比多10，级差1的结果85与100相比少15。这说明：
1、极差越大，总的银子数越少。这可以在直方图中获得证明，关键在于6两的参考点是老八，当银子这条斜线顺时针倾斜时，左边（老大到老七）的这块面积增加的快。
2、正确的极差在1和2的中间，即1.5附近。
3、级差1的结果差15，级差2的结果差10，正确的级差略偏向于2。因为这是一个线性函数（一元一次方程）。）

这样范围就小多了，继续猜 1.5，这 1.5 可不好算，花了10多分钟才算好结果，可最后的结果说明 1.5 还是小了点。
爸爸建议我换一种新的方法，可以不用算这么长时间。于是，我用算式的方法来算1.7这个数字，不算出每个兄弟的银子，加加减减地可以很快算出来。
老八： 6
老九： 6 - 1.7 x 1
老十： 6 - 1.7 x 2
老七： 6 + 1.7 x 1
老六： 6 + 1.7 x 2
老五： 6 + 1.7 x 3
老四： 6 + 1.7 x 4
老三： 6 + 1.7 x 5
老二： 6 + 1.7 x 6
老大： 6 + 1.7 x 7

银子： 6 + 1.7 x 25 = 102.5
102.5 > 100

非常显然，1.7还是大了点，那现在来总结一下：
1 < 1.5 < 级差 < 1.7 < 2
那么，级差就是 1.6。为了验证，重新计算一下：
老八： 6
老九： 6 - 1.6 x 1
老十： 6 - 1.6 x 2
老七： 6 + 1.6 x 1
老六： 6 + 1.6 x 2
老五： 6 + 1.6 x 3
老四： 6 + 1.6 x 4
老三： 6 + 1.6 x 5
老二： 6 + 1.6 x 6
老大： 6 + 1.6 x 7

银子： 6 + 1.6 x 25 = 100
正好是100两银子。

我还用了代数法：
60 + 25x = 100
25x = 40
x = 40 ÷ 25 = 1.6
（注：小三不会带小数点的除法，爸爸演示引导了，在算不下去的时候，加了一个0，小三马上就领悟了。赞一记，小三的除法原理掌握得还是比较过硬滴。）

后记：
这道题目看似简单，其实对小三而言是很难的。如果讲了公式，或者提前做一些提示，都可以使小三少走弯路。但我认为，这样的话，小三除了会解一道题外，啥也没学到。所以，刻意地不去提示，就是要看看小三准备从哪里入手。
很有意思的是小三很快选择了试算法。他为什么没有像007那样去分析列表，或者像水老师、ccpaging那样先作图再分析列出算式，争取一招制敌呢？这是很有意思的一个问题，我不能完全回答。我猜测，即使是简单解决问题的方法，背后仍然需要深厚的思维基础。007、水老师、ccpaging这些大人拥有的思维能力足以保证他们能用分析方法得到正确的算式，于小三而言，却可能如珠穆朗玛峰般不可逾越。
不过，令人欣慰地是，小三也有自己以不变应万变的方法－－试算法。假设几个数字试试，看看跟条件差多少，粗调然后细调，细调然后微调，仍然可以很快得到正确结果。如果小三不是急于计算，而是保持算式，最后来加加减减，甚至可以显然地找到规律。刚好达到本不可能达到的目标。
其实，当科学家们面对一个全新的问题时，他们的处境未必好于小三此时的处境，所以，科学家们也经常祭出他们的法宝－－小三都知道的试算法，只不过他们更善于使用试算法而已。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-7-30 16:18 编辑 ].

俄国著名数学家斯特兰诺留勃夫斯基曾提到这样一道分配遗产的问题：

父亲在遗嘱里要求把遗产的 1/3 分给儿子，2/5 分给女儿；剩余的钱中，2500卢布偿还债务，3000卢布留给母亲，遗产共有多少？子女各分多少？.

在历史上，人们很早就发现了分数。分数在拉丁文中是打破、断裂的意思。汉语里边“分”也是分开、部分的意思。一个西瓜四个人分，不把西瓜“破碎”成四块能分吗？从这可以看出，分数来源于等分或者除法。
中国是使用分数最早的国家之一。古代人主要研究分子小于分母的 真分数，所以分子被叫成“子”（儿子），分母被叫成“母”（母亲），分子和分母说得是他们的大小关系。
埃及人也是很早使用分数的国家之一。在4000年前，古埃及人阿墨斯曾经在“纸草书”上写下了85道数学题的解答。在“纸草书”中，人们发现了古埃及使用分数。古埃及人只使用分子为1的 单分子 分数，比如 7/8 被埃及人写成 1/2、1/4、1/8，意思是7个面包八个人来平均分配，可以把其中的4个面包每个切成2份，2个面包每个切成四份，最后一个面包切成八份，八个人每人拿大、中、小各一块面包就行了。
单分子分数又叫“古埃及分数”。.

小三小四曾经在寒假研究过分数的加减，那是由一个蛋糕引起的案例，详见：
我们发现了分数加法
http://ww123.net/baby/viewthread ... ;page=60#pid6584568

这次“分卢布”又重提分数的问题。课堂上只讲了单分子分数，并未对分数加减做深入的研究。所以，这次还需要重新复习一遍。

007：你们还记得上次分蛋糕的时候，大家是怎么做“1/2 + 1/3”的吗？
不懂装懂的ccpaging立刻举手发言了：我记得，1/2 + 1/3 = 2 / 5。
J同学沉默不语，Alex十分惊愕。11小声自语道：“好像不是 2/5 吧？”
其实，在这提出 2/5 是有用意的，我提出一个明显的、简单的、但是是错误的答案，等于把大家都放在了置疑的一方，小三小四们要质疑这个错误的答案，那就得动脑筋了。而动脑筋去发现谬误恰恰是希望他们做的事情，我们不要应声虫。

果然，11立刻吼了起来：不对不对，2/5 连一半都不到，这个结果肯定是错误的。
007：可是正确的计算方法是什么呢？我觉得1/2和1/3没法加啊？
11：可以加的。
ccpaging：那我有个问题，1分米 ＋ 1英寸等于多少？
Alex：1英寸多长？
ccpaging（比划了约2.5厘米）：这么长？
11：1英寸是多少厘米？
ccpaging：1英寸就是1英寸，为什么要知道多少厘米啦？
11：1分米就是10厘米，如果我们知道1英寸是多少厘米，就可以加在一起了。
ccpaging：1英寸是2.54厘米。可是为什么都换成厘米就可以加了呢？我还是不太明白啊！
小三小四们七嘴八舌的说道：单位要统一才可以加啊。
007：这么说，1/2和1/3不能加在一起，也是因为单位不统一吗？
11：好像跟6有关，把一块蛋糕平分成6份，这样1/2就是3份1/6，1/3就是2份1/6，加起来。
J同学紧接着说道：结果是5个1/6，就是5/6。
ccpaging：也就是说，我们要找到一个更小的单位（其实就是单分子分数），使1/2正好是这个单位的整数倍，1/3正好是这个单位的整数倍，这样，我们就可以加了。

接下来，我们继续讨论了怎么找到这样一个更小的单位。.

引用:

原帖由 hxy007 于 2010-7-26 22:56 发表
　　福尔摩斯经过缜密调查，终于侦察破“袜子案”。遗憾的是，这10个强盗们把偷得的袜子变卖成了100两银子，并且把银子都给分掉了。
　　强盗们供认：老大分得最多，其次是老二。老大比老二多拿了多少，老二就比老三多拿了多少，老三就比老四多拿了多少，老四就比老五多拿多少，老五就比老六多拿多少，老六就比老七多拿多少，老七就比老八拿了多少，老八就比老九拿了多少，老九就比老十拿了多少。
　　福尔摩斯听他们这么啰里八嗦，心里只抓狂。他断喝一声：你们一个个究竟分了多少银子？
　　老八沉不住气，坦白说：我，我，我拿了6两银子。
　　别的强盗却闭口不出声，用怪怪的眼光看着福尔摩斯。强盗老大说：你不是比我还懂奥数吗？你自己算呀！
　　福尔摩斯沉思了一下，笑着对华生说：我知道这10个强盗各分了多少银两，我也知道强盗老九比老十多分了多少两银子。
　　华生纳闷：福尔摩斯是怎么推理的呢？强盗老九究竟比老十多分了多少两银子呢？
　　你能给华生解释一下吗？

　　11像Alex一样，使用了试算方法和代数方法解决这个问题。他跟007讨论的过程中，还找到了一种巧妙的算术解法。

　　（一）试算法

　　儿子先是猜老九比老十多拿了1两银子，各位强盗分了银子依次递增，加起来的总和是：
　　4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=85（两）
　　这个数小于100，所以猜测不对，老九比老十多拿了不止1两银子。
　　于是，儿子猜老九比老十多拿了2两银子，各位强盗分了银子依次递增，加起来的总和是：
　　2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110（两）
　　这个数大于100，所以猜测不对，老九比老十多拿的银子大于1两小于2两。
　　于是，儿子猜老九比老十多拿了1.5两银子，各位强盗分了银子依次递增，加起来的总和是：
　　3+4.5+6+7.5+9+10.5+12+13.5+15+16.5=97.5（两）
　　这个数小于100但接近100，于是，儿子猜老九比老十多拿了1.6两银子，各位强盗分了银子依次递增，加起来的总和是：
　　2.8+4.4+6+7.6+9.2+10.8+12.4+14+15.6+17.2=100（两）
　　因此，正确答案是：强盗老九究竟比老十多分了1.6两银子。.

　　（二）代数法

　　儿子对007说：我猜福尔摩斯跟华生讲的不是试算法，因为福尔摩斯想了一会儿就知道答案了，他不可能用这么烦的连猜带蒙的方法。
　　007：有道理。可是还能用什么方法呢？
　　子：他可能用的是代数的方法。
　　父：有可能，你会吗？
　　子：我想过，但是，我列不出方程。
　　父：到底碰到什么困难了？
　　子：我假设强盗老九比老十多分了A两银子，可是，我又不知道老十分了多少银子，所以我列不出方程。
　　父：好像是这样的，我们不知道老十拿了多少银子。可是，我们知道他的一个哥哥分了6两银子。
　　子：是老八。
　　父：老九比老十多分了A两银子，老八也比老九多拿了A两银子，总共有6两银子。那么，你可以利用这些线索，列出计算老九的银两的算式吗？
　　子：6-A
　　父：老十呢？
　　子：6-A-A
　　父：简单一点表示就是6-2A。那么，老七呢？
　　子：6+A。老爸，你不要说了，我知道怎么列算式了——

　　（6-2A）+（6-A）+6+（6+A）+（6+2A）+（6+3A）+（6+4A）+（6+5A）+（6+6A）+（6+7A）=100
　　6*10+（3+4+5+6+7）A=100
　　（3+4+5+6+7）A=100-60*10
　　A=（100-60*10）/（3+4+5+6+7）
　　A=40/25
　　A=1.6

　　嗯，很好！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2010-8-6 13:06 编辑 ].

　　（三）奥数法

　　父：现在，你用了两种方法破案。是不是只有这两种办法？还有别的办法吗？
　　子：我想过，没有想出来。
　　父：你还可以用画图的方法解题呀！
　　子：我画过，试算的时候就画过。可是，想出来的就是试算法。
　　父：我们再来试试看。
　　儿子开始画，先让十个强盗都分得跟老十一样多（见下图淡绿色部分），然后给老多分1份，老八多分2份……

分银子.jpg (37.83 KB)

2010-8-6 13:31

　　儿子看不出什么名堂。007问：如果这十个强盗都像老八那样先拿6两银子，一共分走了多数银子？
　　子：6*10=60两。
　　还剩下多少银子？
　　100-60=40两。
　　这40两分给了谁？
　　老八不能分了。老九和老十也不能分，他们两个还要退出一些银子来。
　　退多少？
　　老九退1份，老十退2份。
　　老九退出的这一份可以给谁？
　　随便给老大老二……都可以，嗯，最好退给老七，这样老七也不要从40两里拿银子了。
　　老十多拿的呢？
　　给老六。
　　就是说，老六也不要从40两里拿银子了。那么，剩下的40两银子，谁分走了？
　　前面五位哥哥。
　　他们各分多少呢？
　　老五分3份，老四分4份，老三分5份，老二分6份，老大分7份。
　　怎么分？
    3+4+5+6+7=25，把这40两银子分成25份。
　　1份当多少两银子？
　　40/25=1.6两。.

　　（三）诸法比较

　　父：现在，我们想出了三种破案方法。你猜，福尔摩斯给华生解释的时候，最有可能说的是哪一种方法？
　　子：第三种。
　　父：为什么？
　　子：因为第三种方法最聪明，只要算40除以25就可以了，算起来最简单。
　　父：你说第三种方法最简单，可是你自己为什么没有想出来？
　　子：嗯，这种方法算起来简单，可是很难想出来？
　　父：这种方法可以叫种“算术方法”。它很巧妙，很聪明。但你说很难想出这种方法，请问：难在哪里？
　　子：我想不到先让这十个强盗都先拿6两银子，两让前面5个哥哥分剩下的40两银子。
　　父：对，要想到这一点，是很难的。还有，让老九退1份给老七，老十退2份给老六，也很难想到。
　　子：嗯，这种算术方法很变态！
　　父，我同意，这种方法太巧妙了，太聪明了，聪明到了我们不敢保证碰到数学难题时一定想得出这样的妙计。有的时候，我们就算是想破了头，也想不出来。所以，我们在解决数学难题的时候，不能指望这种变态的聪明办法。
　　子：我也觉得是这样。试算法虽然很烦很笨，但是，用试算法一定做得出来，找得到答案。
　　父：代数法呢？
　　子：用代数法算起来比试算法简单，比算术法方法麻烦。可是，列算式比算术法简单。
　　父：为什么这么说？
　　子：我只要把要回答的问题假设成A，再根据已知条件就可以列出一个式子。这个不难。
　　父：嗯，这个包含求知数的等式，就是你下学期会的学的“方程”。
　　子：解方程很烦的。
　　父：是，有点烦。可是，跟算术法比较起来，你愿意计算烦一些，还是愿意列式子难一些？
　　子：我当然宁愿计算烦一些。列不出式子，根本就不能解题。
　　父：哈哈，第三种方法最聪明，可是很难想到。碰到难题，想用这种方法解决，是自讨苦吃，是在耍小聪明。
　　子：那，用代数方法解题就是大聪明了？
　　父：确实是大聪明。你刚才不是说过吗？它和试算法一样，让我们在解决问题时有保证。选择有保障的方法去解决问题就是大聪明。.

　　（四）奥数法与代数法的关系

　　父：你没有想到第三种方法，我却想到了这么变态的解法。你怎么不问一问我怎么想到的？
　　子：你比我聪明呗！
　　父：不对，我是比多知道一些数学知道。但说实话，我起先也没有想到这种方法。
　　子：那你是怎么想出来的？
　　父：你看看，我们在用第三种方法解题时，那个1.6两是怎么算出来的？
　　子：40/25=1.6
　　父：40是从哪里来的？25又是从哪里来的？已知条件里没有呀！
　　子：(100-6*10)/(3+4+5+6+7)=40/25=1.6
　　父：我特别注意到你在算40/25时，既没有打草稿，也没有用计算器，直接就是写出了1.6，你的心算真有这很厉害么？
　　子：不是的，我们在第二种方法解方程时，不是算过40/25=1.6吗？
　　父：哎呀，还真是这样——
　　A=(100-6*10)/(3+4+5+6+7)
　　A=40/25
　　A=1.6
　　父：这跟第三种方法不是一回事吗？
　　子：是，真是一回事。
　　父：这说明什么问题？
　　子：代数方法包括了算术方法！
　　父：是的，算术方法是从代数方法里边来的。我就是看到了这个A=(100-6*10)/(3+4+5+6+7)的方程式，才想到算术方法。当然，(100-6*10)/(3+4+5+6+7)这个式是什么意思？从哪里得来的？我们画了图，才搞清楚，是不是？
　　子：是的。.

　　（五）奥数法与试算法的关系

　　父：其实，你在用第一种方法试算的时候，也有可能找到巧妙的算术方法的。
　　子：怎么找？
　　父：你看看，你前面写的这些试算的式子：

引用:

原帖由 hxy007 于 2010-8-6 11:58 发表
　　儿子先是猜老九比老十多拿了1两银子，各位强盗分了银子依次递增，加起来的总和是：
　　4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=85（两）
　　这个数小于100，所以猜测不对，老九比老十多拿了不止1两银子。
　　于是，儿子猜老九比老十多拿了2两银子，各位强盗分了银子依次递增，加起来的总和是：
　　2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110（两）
　　……

　　子：我看不出来。
　　父：你当然看不出来。因为你列式子，老是没头没脑，让人莫名其妙。
　　子：我哪里错了？
　　父：你看你的第一个试算的式子。实际上我们只知道两个条件，一是老八分了6两银子，二是假定老九比老十多拿1两银子，可是你列的算式里却有4、5、7、8、9、10、11、12、13这样的数据，这些数据难道是从天上掉下来的吗？　
　　子：不是。这些数据都是根据条件算出来的。
　　父：既然如此，你列的式子就应该表现出来，“算”是第二步才做的事。
　　子：那好，我改成(6-1*2)+(6-1*1)+6+(6+1*1)+(6+1*2)+(6+1*3)+(6+1*4)+(6+1*5)+(6+1*6)+(6+1*7)
　　父：就是这个意思，列出的式子必须是已知条件里有的数据。这个式式很烦，我把简化改成6*10+1*(3+5+6+7)，行吗？
　　子：行。
　　父：我再把它化简成60+1*25，可以吗？
　　子：可以。
　　父：现在你能根据这个式子判断你说老九比老十多拿1两银子的猜想对不对吗？
　　子：不对。
　　父：为什么？
　　子：因为60+1*25明显不等于100.
　　父：现在请你用相同的方法去列第二次试算的式子。
　　子：(6-2*2)+(6-2*1)+6+(6+2*1)+(6+2*2)+(6+2*3)+(6+2*4)+(6+2*5)+(6+2*6)+(6+2*7)
　　　　=6*10+2*(3+5+6+7)
　　　　=60+2*25
　　父：你需要精确地算出来才能判断你的猜测对不对吗？
　　子：不需要，60+2*25明显不等于100.
　　父：第一次试算，你根据60+1*25判定自己猜错了；第一次试算，你根据60+2*25又判定自己猜错了。从这两次试算中，你能找到什么规律么？
　　子：25份银子必须是40两，才能和60加起来，凑成100两银子。
　　父：那么一份银子是多少两？
　　子：40/25=1.6两。
　　父：哎呀，这不就是第三种巧妙里的那个式子吗？
　　子：还真是的。
　　父：你看，巧算法也可以从试算这种笨办法中找到，对不对？
　　子：对的。
　　父：但是，你前面怎么没有找到呢？
　　子：因为我列式子太随便。
　　父：对，要用原始数据列式子。还有，两次试算完了之后，要努力去找规律。如果找到了规律，你就可以一下子找到答案，就不会像你前面那样多试算了两次。.

　　网友乐乐mommy 向007 求助：“之前偶尔看过一个幼儿电视剧，早上6点多看的，故事里融入了数字的历史，不过我忘了名字了，怎么也想不起来，刚刚查很很久也没查出来。不得已，请教您一下（知道您在数学上是专家呵呵），我想给儿子（9月入小学）介绍下数字的历史，好玩点的，方便的话，请您推荐一些资料吧，谢谢！”
　　呵呵，007不过是一个初等数学爱好者，CC和火车老师等才是数学上的专家。
　　各位网友，如果看到过数学启蒙的片子和资料，能否推荐一下？

　　本楼提到过美国卡通片《唐老鸭漫游数学奇境》，那是一部很有内涵也很搞笑的数学启蒙影片。007在念书时看到李杨配音的中文正版，可惜一直没有找着。哪位网友见着，恳请提供线索。

　　本楼曾经探讨过数字和进位的启蒙方法，后来CC和007还带着几个小朋友搞过一场中文计数、英文计数、罗马计数和印度（阿拉拍）计数的PK游戏，小朋友很投入，收获也不少。可惜一直没有把它整理成报告。CC，你有空回忆一下吗？.

http://book.kongfz.com/9584/73890308/
漫画数学史/仲田纪夫/著/益智工房-B

1.jpg (29.85 KB)

2010-8-9 15:07

书籍作者：仲田纪夫/著
图书出版社：益智工房
图书品相：10成品相
库 存 量：10 本
图书售价：60.50元
图书类别：语言、文字
图书标签：漫画 数学史 益智
上书时间：2009-09-18
出版时间：1990-01

没下载到或者看到这本书，相信是不错的。.

你看看《火星娃勇闯魔晶岛》和《童话数学》。前者，故事情节似乎有点过于暴力；后者，似乎数学的植入相当生硬。
推荐《唐老鸭漫游数学奇境》，大小孩子皆宜。

另，我试试把进制的游戏总结下吧。这个游戏非常适合1－3年纪的小朋友玩。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-8-9 15:21 编辑 ].

谢谢两位的推荐，我找书看看，很期待CC大哥总结的进制游戏哦，先学习下两位前面的讨论
刚刚注册了夫子网，漫画数学史好像要从台湾寄过来，比较麻烦，等下再订.

引用:

原帖由 乐乐mommy 于 2010-8-9 15:57 发表
谢谢两位的推荐，我找书看看，很期待CC大哥总结的进制游戏哦，先学习下两位前面的讨论
刚刚注册了夫子网，漫画数学史好像要从台湾寄过来，比较麻烦，等下再订

　　向你推荐一本《 我们怎样发现了—数字.pdf (1014.45 KB)

我们怎样发现了—数字.pdf (1014.45 KB)
下载次数: 76

2010-8-13 14:56

》。此书可以成为数字启蒙的一个很好的参考材料。

我们怎样发现了数字1.jpg (44.56 KB)

2010-8-13 14:56

　　此书为美国人所写，最后一部分写中国的计数，写得相当简明扼要，也很有趣。就是算盘部分没有好好写，估计作者对这种东东的妙处没有体会。

我们怎样发现了数字2.jpg (22.39 KB)

2010-8-13 14:56

.

　　（六）试算法与代数法的关系

　　父：我们发现了算术方法跟代数法和试算法的关系，我们从试算和代数方程中找到算术的巧算方法，对不对？
　　子：对的。
　　父：你有没有想过试算法跟代数法是什么关系？
　　子：没有想过。
　　父：那就现在来看一看它们有什么关系吧。

　　 (6-1×2)+(6-1×1)+6+(6+1×1)+(6+1×2)+(6+1×3)+(6+1×4)+(6+1×5)+(6+1×6)+(6+1×7)
　　=6×10+1×(3+5+6+7)
　　=60+1×25

　　(6-2×2)+(6-2×1)+6+(6+2×1)+(6+2×2)+(6+2×3)+(6+2×4)+(6+2×5)+(6+2×6)+(6+2×7)
　　=6×10+2×(3+5+6+7)
　　=60+2×25

　　(6-2A)+(6-A)+6+(6+A)+(6+2A)+(6+3A)+(6+4A)+(6+5A)+(6+6A)+(6+7A)=100
　　6×10+(3+4+5+6+7)A=100
　　(3+4+5+6+7)A=100-60×10
　　A=(100-60×10)÷(3+4+5+6+7)
　　A=40÷25
　　A=1.6

　　儿子一看，笑了起来：原来代数法的想法是从试算里得到的。
　　父：当然也有不同，试算法要一个个去试。代数法呢？
　　子：代数法不用试算，解方程就可以找到答案。.

　　（七）小结：小奥小聪明，代数是才是王道

引用:

原帖由 伊万豆夫 于 2010-8-5 13:08 发表
我这些天平静了许多，比如：那些题目我只要求结果正确，不再强调一定要用算术办法。

昨天我对她说：你就全部设X解方程吧！

做得对，答案正确就是王道。

　　伊万兄，好像你说过你的孩子也是四升五。如果确实如此的话，我倒有个稍微不同的看法——
　　小五会学简单方程。换句话说，到小五，用算术方法去解变态的奥数题的时代，过去了。“设X解方程”才是解决这种问题的王道！
　　
　　我在这个暑假找了不少变态题让孩子探究，目的都不是为了让孩子找到巧妙的算术方法解题，而是为了对孩子进行代数启蒙。
　　目前看来，效果不错，孩子不但多少明白了什么叫代数，而且逐渐明白了代数方法是一种比算术方法更加合理、更加聪明、更加可靠的方法。
　　怎么做到这一点的呢？那些探究题往往可以用多种方法解决，我们鼓励孩子尽可能把各种方法都找出来。孩子想不到的，我们提出来。最后进行比较，孩子们通过实战体会到：
　　第一，用巧妙的算术方法解决问题，这种方法很聪明。可是它们太聪明了，以致我们不敢保证碰到数学难题时一定想得出这么聪明的办法。这种方法靠不住！
　　第二，试算的方法花的时间多，看起来也显得笨拙。但是，这种笨办法却可以保证我们必定会找到正确答案。这是一种靠得往的数学方法。试算也有窍门，有序试算，通过一两次试算然后找到规律，可以较快地找到答案。
　　第三，用代数的方法列方程，看上去没有巧妙的算术解法那么聪明。但通过假设未知数、利用已知条件，我们能够比较顺利地列出方程。这一步远比想破脑袋想出一个巧妙的算术解法来得容易，来得有保障。巧妙的算术解法是小聪明，代数解法是大聪明！
　　第四，在解方程时，如果不急于计算，而保留原始数据，最后得到的那个X=多少或2X=多少（一个包含全部已知条件的算式），往往就提示了一种算术方法。从这个从这个算式反推，就可以找到一种算术解法。因此，对于许多看似复杂的小奥，它们的算术方法其实都包含在代数方法之中。
　　总之，对于许多小学难题来说，种种聪明巧妙的算术解法其实是都旁门左道，代数才是正道，才是王道。如果有小五之前，小朋友们不得使用算术解法，那么，上了小五我们可以顺利使用代数方法了，何乐而不为？.

　　看到网友伊万兄家的孩子暑假一天做12道奥数，深感不安。我家孩子暑假每天都有一个半小时左右的数学探究活动时间，却没有高效利用，一天研究一个难题，甚至几天才能搞定一个问题。
　　最近儿子研究的一道题，是007从旺网上抄来的，题目如下：

　　一列客车从东城开往西城，每小时行驶60千米。一列货车从西城开往东城，每小时行驶45千米。货车先行驶75千米后，客车才出发。结果两车正好在东、西两城的中点相遇。问：东西两城相距多少千米？

　　007的增加了一个要求：你能用几种不同的方法解决这个问题？

[ 本帖最后由 hxy007 于 2010-8-15 13:30 编辑 ].

　　007出差在外，题目是通过电子信箱传给儿子的。过了一会儿，儿子就来电话说，他找到答案了——两城的距离是600千米。
　　007问他怎么找到答案的。儿子说，他用的是试算法：
　　（1）在客车还没有出发前，货车已经行驶75千米；
　　（2）客货两车行驶1小时后，客车行60千米，货车共行120千米；
　　（3）客货两车行驶2小时后，客车行120千米，货车共行165千米；
　　（4）客货两车行驶3小时后，客车行180千米，货车共行210千米；
　　（5）客货两车行驶4小时后，客车行240千米，货车共行255千米；
　　（6）客货两车行驶5小时后，客车行300千米，货车共行300千米。
　　结论是：在客货两车行驶5小时之后，两车的行程一样，到达了东西两城的中点，所以两的距离是300*2=600千米。.

引用:

原帖由 hxy007 于 2010-8-15 14:36 发表
　　（1）在客车还没有出发前，货车已经行驶75千米；
　　（2）客货两车行驶1小时后，客车行60千米，货车共行120千米；
　　（3）客货两车行驶2小时后，客车行120千米，货车共行165千米；
　　（4）客货两车行驶3小时后，客车行180千米，货车共行210千米；
　　（5）客货两车行驶4小时后，客车行240千米，货车共行255千米；
　　（6）客货两车行驶5小时后，客车行300千米，货车共行300千米。

　　007回到家，继续跟儿子讨论相遇问题。儿子发现，第一个小时客车的行程比货车的总行程少，但越到后面，它们的差距就越小，到5小时后，两车的总行程就一样了。
　　007建议儿子：
　　第一，画一张表格来表达你的研究成果；
　　第二，不写车子的行程数，而写行程数的算式；
　　第三，看看两车总行程的差距有什么规律。

　　儿子很快就列出了一张表：

相遇一1.jpg (457.83 KB)

2010-8-15 15:34

　　儿子拿着表格，兴奋地冲到007身旁，他说：客车的总行程每个小时比货车的总行程缩短15千米的差距，缩短75千米的差距需要5小时……我找到了一种新的解法。

相遇一2.jpg (508.24 KB)

2010-8-15 15:34

　　呵呵，你这种聪明巧妙的解法是从哪里找到的呀？
　　从试算中找到的。试算法虽然很笨，但它是一切聪明方法的根源！
　　哦哟，你都会说“根源”了！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2010-8-15 15:34 编辑 ].

　　经过快一个暑假的探索和尝试，儿子对代数和方程已经很有好感。他在这道相遇难题上，也想使用代数方法。
　　题目问什么，就把什么假设成A。可是，儿子遇到了难题：假设东西两城相距A千米，那么，接下来怎么列有一个等式来呢？
　　007启发儿子：一个含有A这样的未知数的等式，就是一个方程式。等式，就表示等号左右的算式的结果相等，这个你能理解吧？
　　儿子：我知道，等号就像一个天平，等号两边就是两个秤盘，装的东西一样重。
　　父：好。那么，这个题目中，什么跟什么会相等呢？
　　子：客车和货车的行程相等。
　　父：客车的行程是多少？
　　子：不知道，这里还没有算出来。
　　父：你不是假定东西两城的距离是A千米吗？
　　子：客车的行程是A÷2
　　父：货车的行程又是多少？
　　子：也是A÷2
　　父：刚才你说“客车和货车的行程相等”，根据这一点，我们就可以列出一个等式：A÷2=A÷2。废话，A÷2当然等于它自己。看来这个等式并不能帮我们解决问题，我们另外想办法。除客车和货车的行程相等之外，还有什么是相等的？
　　子：从客车出发开始算起，客车和货车到达两城中点，用的时间是一样多。
　　父：那么，根据这个线索，你可以列出一个等式来吗？
　　子：我列不出来。
　　父：客车用了多少时间？你算不出来吗？
　　子：是的。
　　父：为什么？
　　子：我只知道客车的速度，不知道客车的行程，所以我算不出来。
　　父：你前面不是说客车的行程是A÷2吗？
　　儿子恍然大悟，一通百通，立即列出了一个方程：

　　（A÷2）÷60=（A÷2-75）÷45

　　怎么解这个方程呢？小四生还没有经历这么复杂的运算，但是他已经懂得一些道理：在解方程，就要想办法把未知数A赶到等号的一边，把数字赶到等号的另一边；等号两边加减乘除同样的数，等式成立。
　　当然，说起来容易，做起来难。儿子解这个方程，还是要007在一旁出主意的。靠他自己一时还解不了这么麻烦的方程，但这不是007关心的问题。开学之后，老师会教他的。

相遇一3.jpg (205.23 KB)

2010-8-15 16:07

.

引用:

原帖由 hxy007 于 2010-8-15 16:07 发表
　　题目问什么，就把什么假设成A。

　　007告诉儿子可能还有其它解法，儿子苦思冥想近一个小时，没有找到新方法。007问他：这道题如果我们知道客车和货车同时行驶了几个小时，我们就能计算出它们的总行程，对不对？
　　是的。
　　可是，我们并不知道用了多少小时呀！怎么办呢？
　　我就假设用了A小时，然后列出一个方程来。
　　你试试看。

　　儿子略加思索，写出了方程式，独立解方程，算出用时，再根据用时算出总行程，即两城的距离。

相遇一4.jpg (495.75 KB)

2010-8-15 17:08

　　哈哈，一般情况下是“题目问什么，就把什么假设成A，再列方程”。可是，有的时候，我们也可以像你这现在这样，把一个未知的条件假设成A，通过方程算出A，最后根据A算出答案。是不是？
　　是的。这道题，假设用时为A，列出的方程更简单，更好解。
　　你有没有发现，你在解方程时那个A=75÷（60-45）跟前面的第二种方法很像？
　　耶，真的是这样。
　　第二种方法很聪明，你是从试算过程发现的。现在看来，这种方法也可以从解方程中发现。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2010-8-15 23:37 编辑 ].

原题
父亲在遗嘱里要求把遗产的 1/3 分给儿子，2/5 分给女儿；剩余的钱中，2500卢布偿还债务，3000卢布留给母亲，遗产共有多少？子女各分多少？

作图理解
我们在做这道题时，都画了一张图：

读题.jpg (7.7 KB)

2010-8-15 23:26

就在我们画完的时候，hxy007说：“我认为应该先搞清楚女儿分到遗产多还是儿子多，多多少？”我们点点头，画了起来。
、、、
就在这时J同学问：“如果我们知道5500卢布是所有遗产的几分之几，就可以知道答案了呢？”
我们点头又摇头，谁也不能肯定他是对的。于是，J同学的这个问题被写了下来，大家开始研究。

作图计算

计算.jpg (8.27 KB)

2010-8-15 23:26

在作图中，我们发现，要是搞清楚儿子和女儿一共分了遗产的几分之几，那就好办了。
1/3 + 2/5 = 5/15 + 6/15 = 11/15
15/15 - 11/15 = 4/15
“剩下的5500卢布是4/15。”我说。
、、、
“现在可以算出来了吧！”hxy007说。
11说：“1/15就是1375。1/3有5个1/15，就是6875。2/5有6个1/15，就是8250。”
J同学高兴得跳了起来：“算出来了！算出来了！遗产总数是 6875 + 8250 + 5500 = 20625。”

（爸爸注：Alex在这次活动中大部分时间都处于心不在焉的状态。又过了两天，再写报告的时候，很多关键的讨论都被遗漏了。）

代数解法

代数1.jpg (13.73 KB)

2010-8-15 23:48

代数2.jpg (13.7 KB)

2010-8-15 23:48

（爸爸注：写过上面的报告以后，Alex对这个问题的理解清楚一些了。但我认为，还不能直接让他做代数解法，因为他对带分数的代数变化还不了解。于是，在某个周末的午休时间，我躺在床上出题提问，Alex在一旁的书桌上运算。一问一答，把分数的加减乘除、假分数的化简等逐个复习、学习了一遍。第二天正好有空，我便让他做了代数解法。
在此过程中，Alex仍然遇到了很多问题，很多时候他是通过画图来寻找等式变换的规律，没有用他还不熟练的分数加减乘除。我觉得，这是可以理解的。等他们将来在学校学习了这些，就能达到自如运用分数加减乘除来解题了。
待Alex完成代数解法以后，我看看时间还早，似乎Alex有些余力，于是，建议他回自己的书房，找出这个解法中所有的等式的意义，把等式与图、与现实联系起来。这是很重要的一步，有些同学孤立地看待代数中的等式变换，把代数和现实隔离开来，我估计，就是缺少这一步。）

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-8-15 23:48 编辑 ].