换一种说法，购入价就是9格减215元——

　　（215＋125）×9－215＝2845（元）.

　　我们不是曾经算出过原定售价是多少么？不妨说，购入价就是原定售价减去一折，再减去盈利额——

　　3400—340－215＝2845（元）.

　　或者说，购入价就是原定售价减去两折再加上亏损额——

　　3400—340×２＋125＝2845（元）

　　打住，打住！菜鸟看得都快要吐了。这种算术解法无论多巧妙，预初生已经不屑一顾了。因为他们学到了更加简练且更具保障的解决办法——代数的方法！.

　　当菜爸滔滔不绝地讲述各种各样奇奇怪怪的算术解法时，菜鸟按捺不住了。他认为，许爸出的这道“降价促销题”可以用二元一次方程组来解决。他很快就给出了解决方案：
　　设每件商品的购入价为x元，原定售价为y元，根据题意得方程组：

　　x＋215＝(1-10%)y 　　①
　　x—125＝80%y　　　　　②

　　菜爸说：别急，我们先不讨论二元方程的解法。假定你还没有学二元一次方程，你能用一元一次方程解决这个问题么？比如，只设每件商品的购入价为x元，根据题目的意思怎么建立方程呢？
　　菜鸟好像又不知道从哪里入手了。他偷偷到躲进自己的房间，过了一会儿拿出了一个方程：（x＋215）÷(1-10%)＝（x—125）÷80%
　　对的呀！可是，这个方程是什么意思呢？
　　菜鸟说：不知道是什么意思。
　　菜爸奇怪了：你不知道什么意思，怎么可能正确地列出这个方程呢。
　　他承认，他是根据上面的二元方程推导出来的：

　　由①得：y＝（x＋215）÷(1-10%)
　　由②得：y＝（x—125）÷80%
　　所以，（x＋215）÷(1-10%)＝（x—125）÷80%

　　看来，学过二元一次方程的同学，再要回到一元一次方程，有点困难了。.

　　我来带个头吧——
　　假设每件商品的购入价为x元，那么，根据第一组已知条件可知，原定售价为（x＋215）÷(1-10%)。
　　又根据第二组已知条件，利用售价的等量关系，可得方程：

　　［（x＋215）÷(1-10%)］×80%＝x—125　　　　①

　　下面菜爸要变魔术了——①可变为：
　　（x＋215）×80%＝（x—125）×(1-10%)　　　　　　②

　　②有两种变化，先说第一种——
　　[(1-10%) －80%]x＝215×80%＋125×(1-10%)
　　x＝[215×80%＋125×(1-10%)]÷[(1-10%) －80%]　　③
　　
　　接下来的魔术又有两种变化，③可变为——
　　x＝[215×80%—215×(1-10%)＋215×(1-10%)＋125×(1-10%)]÷[(1-10%) －80%]
　　x＝｛（215＋125）×(1-10%)－215×［(1-10%)－80%]｝÷[(1-10%) －80%]
　　x＝（215＋125）÷[(1-10%) －80%]×(1-10%)－215     ④
　　呵呵，④咋这么熟悉呀？这不就是解法01中的那个算式么？

　　③也可以变为——
　　x＝[215×80%＋125×80%－125×80%＋125×(1-10%)]÷[(1-10%) －80%]
　　x＝｛（215＋125）×80%＋［(1-10%)－×80%］×125｝÷[(1-10%) －80%]
　　x＝（215＋125）÷[(1-10%) －80%]×80%＋125       ⑤
　　你懂的——这已经变成了解法02中的那个算式。

　　回头再说②的另一种变化——
　　（x＋215）×80＝（x—125）×90
　　（x＋215）×8＝（x—125）×9
　　8x＋215×8＝9x—125×9
　　x＝125×9＋215×8             ⑥
　　哎呀，这不就是解法03中的算式么？

　　如此看来，算术解法中那些令人生畏的雷人算式并不神秘。.

　　思路跟前一种差不多。
　　假设每件商品的购入价为x元，那么，根据第二组已知条件可知，原定售价为（x－125）÷80%)。
　　又根据第一组已知条件，利用售价的等量关系，可得方程：

　　［（x－125）÷80%)］×(1-10%)＝x＋215.

　　建立方程，关键在于利用某个因素的等量关系建立方程。前面两种解法，利用的是某一售价的等量关系建立方程，也可以利用两种售价之比的等量关系建立方程：

  （x＋215） :（x－125）＝（1－10%）: 80%.

　　或者直接利用原定售价的等量关系建立方程：

　　（x＋215）÷(1-10%)＝（x—125）÷80%

　　这不就是菜鸟一开始说的那个方程么？
　　原来它表示：“利用第一组已知条件求得的原定售价”＝“利用第二组已知条件求得的原定售价”。

　　解法12、13、14的原始方程，各自都可以像解法11那样，演化成下列形式：
　　x＝（215＋125）÷[(1-10%) －80%]×(1-10%)－215
　　x＝（215＋125）÷[(1-10%) －80%]×80%＋125
　　x＝125×9＋215×8.

　　另外一种思路——我们也可以利用一元方程先求出原定售价，再求出购入价值。
　　假设原定售价为y元，根据第一组已知条件，可知购入价为（1—10%）y—215
　　根据第二组已知条件，利用售价的等量关系可得方程

　　［（1—10%）y—215］－125＝80% y

　　所以，y＝（215＋125）÷［（1—10%）－80%］　　
　　哎呀，这不是我们在考虑算术解法时求原定售价的算式么！
　　把y代入（1—10%）y—215，得购入价
　
　　｛（215＋125）÷［（1—10%）－80%］｝×（1—10%）—215

　　不用去算，这不就是解法01中那个算式么！.

　　跟解法15的思想一样。假设原定售价为y元，根据第二组已知条件，可知购入价为80%y＋125；根据第一组已知条件，利用售价的等量关系可得方程

　　（80%y＋125）＋215＝（1—10%）y

　　所以，y＝（215＋125）÷［（1—10%）－80%］
　　
　　把y代入80%y＋125，得购入价
　
　　｛（215＋125）÷［（1—10%）－80%］｝×80%＋125

　　这不就是解法02中那个算式么！.

　　假设原定售价为y元，根据第一组已知条件，可知购入价为（1—10%）y—215；根据第二组已知条件，可知购入价为80%y＋125；利用购入价的等量关系可得方程

　　（1—10%）y—215＝80%y＋125

　　所以，y＝（215＋125）÷［（1—10%）－80%］
　　
　　把y代入（1—10%）y—215，得购入价｛（215＋125）÷［（1—10%）－80%］｝×（1—10%）—215，这正是解法01中的算式。
　　或者把y代入80%y＋125，得购入价｛（215＋125）÷［（1—10%）－80%］｝×80%＋125，这正是解法02中那个算式。.

　　设原定售价为y，打九折的售价为（1—10%）y，打八折售价为80%y
　　两者的差价为（1—10%）y－80%y
　　两者的差价也可以直接地表示为215—（－125）
　　利用差价的等量关系可得方程：

　　（1—10%）y－80%y＝215—（－125）.

　　代数的解法，难的不是解方程，而是建立方程。
　　建立方程的关键，不是设定未知数，而是寻求和利用题意中的某种等量关系。
　　这道“降价促销题”中，可以用来建立方程的等量关系至少包括：
　　第一，打折后售价有两种表达方式，一是“原定售价×（1－折扣）”，二是“购入价值＋盈亏”。利用两者的等量关系可以建立方程；
　　第二，无论是打九折，还是打八折，都是针对原定售价来打折的，因此，原定售价就有两种计算方法，一是 “九折售价÷90%”，二是“八折售价÷80%”。可以利用这两者的等量关系建立方程；
　　第三，无论是打九折出售，还是打八折出售，原来的购入价都是一样的。因此，购入价有两种计算方法，一是 “九折售价－盈利”，二是“八折售价＋亏损”。利用这两者的等量关系也可以建立方程。

　　如果我们平时做习题常有时间和机会这么从容地去回味，去分析，去总结，我们就可以闻一知十，举一反三，就可以一题多得，就不必做太多的题，就不必陷入题海，被题海淹死，或者被题海弄得脑子僵化，越学越笨，越练越呆。.

　　我们在利用各种等量关系建立一元一次方程时发现，那些神奇的、令人生畏的、变态的算术解法原来可以从这些可爱的、简朴的、高明的一元一次方程中演化出来！
　　当年，我们念小学时，有人用“牛顿难题”（“牛吃草”）、“丢番图寿命难题”、“相遇难题”或“追击难题”、“鸡兔同笼难题”……为难我们。其实，没有什么了不起。到了我们学过代数方程之后，它们只不过是一碟碟小菜！早知如此，当年我们就应该淡定一些——做得出，不必得意；做不出，也不必着急！也许，还会有人用以后我们才学的知识为难我们。果真是这样的话，我们不妨淡定一些——没有过不了的坎。有些难事，你现在勉强去做，浪费时间和生命，还备受折磨和打击；不如耐心地待，到我们心智成熟一些，再去钻研，那时你会发现它一点也不难。
　　遵循成长的规律，不急于往前赶，不揠苗助长，不偷跑抢跑，这对孩子是一种爱护。放慢一点脚步，耐心一点等一等孩子，陪着孩子慢慢长大，是一种智慧，是一种美德。.

　　还没完！菜鸟前面提到过二元一次方程组——

　　设每件商品的购入价为x元，原定售价为y元，根据题意得方程组：



　　当时，菜爸并没有急于跟菜鸟讨论这个方程组的解法。现在，我们已经完成一元方程解法的探讨，是回头讨论这个方程组的解法的时候了！.

　　由①得： y＝（x＋215）÷(1-10%)       ③
　　把③代入②得：［（x＋215）÷(1-10%)］×80%＝x—125
　　这不就是解法11中的那个一元方程么？.

　　由②得：y＝（x—125）÷80%         ④
　　把④代入①得：［（x—125）÷80%］×（1-10%）y＝x＋215
　　这正是解法12中的那个一元方程！.

　　①:②得：（1－10%）: 80%＝（x＋215） :（x－125）
　　呵呵，这是解法13里那个奇怪的一元方程耶！.

　　由③和④得：（x＋215）÷(1-10%)＝（x—125）÷80%
　　你懂的——这是解法14中的一元一次方程。.

　　再来，换一种思路——
　　由①得：x＝（1-10%）y－215　　　　　　⑤
　　把⑤代入②得：［（1—10%）y—215］－125＝80%y
　　嗯，知道——这就是解法15中的方程么？！.

　　由②得：x＝80%y＋125　　　　　　　　　⑥
　　把⑥代入①得：（80%y＋125）＋215＝（1—10%）y
　　老一套！——这是解法16中的一元方程。.

　　由⑤和⑥可得：（1—10%）y—215＝80%y＋125
　　烦死了——不过是解法17中的方程。.

　　既然你烦代入消元法，那么好吧，我们换一种方法——加减消元法！
　　①－②得：（1—10%）y－80%y＝215—（－125）
　　嗯，这不就和解法18对上了眼。.

　　解法25～28中，消除x所得的有关y的一元方程，正是解法15～18中的一元方程。
　　它们稍作变化均可得：

　　y＝（215＋125）÷［（1—10%）－80%］

　　这不就是正是算术解法中求原定售价的算式么！.

二元一次方程组其它变式

　　不要以为二元一次方程组只可能是下面这一种：



　　通过上面有关一元一次方程的分析，可以推知方程组还有许多可能，例如：



　　或者



　　总之，解法11～14中任何一个一元一次方程，都可以跟②或解法解法15～18中任何一个一元一次方程，组成一个二元一次方程组，求得本题的解。同理，解法15～18中任何一个一元一次方程，都可以跟①或解法11～14中任何一个一元一次方程，组成一个二元一次方程组，求得本题的解。如此看来，有多少组合可以考虑呀！
　　如果我们的思维足够灵活，足够开放，我们会发现数学中有无穷的、严谨的变化，但万变不离其宗！就像我们可以从一粒沙子中窥见一个世界，从一朵野花里看到天堂，我们也可以从一道题里领略数学世界的无穷奥妙和无比精美！.

　　花上整整一个晚上的时间讨论一道“打折促销题”，这是多么奢侈啊！
　　可是，菜爸和菜鸟这段数学探究的历程，又是多么快乐！
　　它让我们一下子把从小学到中学学的许多数学知识联系起来了。我们发现，那些很难想到的算术解法，可以从一元一次方程中轻易推导出来！而那些还是有一定难度的一元方程解法，可以从白痴都可以建立的二元一次方程组中轻易地推导出来！
　　让我们一起来回顾一下，整体地把握它们的关系吧。



　　一个二元一次方程组有许多解法。通过某种方法消除其中一元，就会得到一个一元一次方程。在解一元一次方程时，如果不急于计算，而用原始数据的关系式来表示这个未知数的解时，所得到的那个算式正是某种算术解法的算式！别以为那些大人物很聪明，轻易地想得出一道明明可以用二元一次方程组去解决的问题的算术解法。他们很可能从方程解法中琢磨出一种唬人的算术解法，让我们这些无知的小朋友佩服得五体投地。现在我们弄清楚了其中的奥秘，我们可以鄙视这种大人物了！.

引用:

原帖由 aochuanhui 于 2013-6-8 10:37 发表
算术解法说是有7种， 不过总结起来区别不大，其实就一种：先算出原来的售价，再算折扣价，然后加亏损或减利润。

　　即使思路大致相同，不同的算式依然有不同的实际意义，代表不同的解决方案，值得尊重，应加鼓励。最重要的是，这会让孩子逐渐摆脱以为数学只能有一种答案的偏见。
　　何况，解法04和解法05并不是你所说的“先算出原来的售价，再算折扣价，然后加亏损或减利润”的思路。认定数学问题的解决只能有一种思路，是很难想到这两种解法的。.

引用:

原帖由 aochuanhui 于 2013-6-9 09:26 发表
仔细看了一下，解法04和解法05确实不一样， 更简洁一些

　　跟六年级的孩子探讨这些变态的算术解法，目的在于让孩子了解它们跟代数解法的关系，认识到代数的先进性和合理性，使他们尽快地摆脱小学过度的算术训练（特别是小奥训练）所塑造的强大的思维定势。.

　　话说菜鸟刚入初中不久就在作业中遇到困难了。这一题说的是：

　　一次数学竞赛，结果学生中1/7获得一等奖，1/3获得二等奖，1/2获得三等奖，其余获得纪念奖。已经参加竞赛的学生不满50人，问获纪念奖的有多少人？

　　呵呵，这不就是“丢番图寿命难题”一个变种么！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2013-6-10 16:15 编辑 ].

　　对于牛蛙来说，这算什么难题，人家在小三小时就能够搞定这种奥数题鸟。
　　菜鸟则不行，他在指给菜爸看题时，一个劲地说这道题变态。
　　菜爸不明白，问他：你觉得哪里变态？
　　题目不说清楚参加竞赛的人数就算了，干嘛又含含糊糊说不到50人呢？什么意思呀。
　　你们不是学过公倍数吗？也许它就是在限定一个范围让你求值，否则还会有更大的数也合乎条件。
　　可是，不知道参加竞赛的总人数，怎么可能算出得纪念奖的人有多少呢？
　　不知道没有关系呀，你可以根据题目的意思去猜呀。
　　怎么猜？
　　比如，题目说总数1/7的人得了一等奖，根据这个条件，你猜猜：总人数有什么特点？
　　菜鸟眼睛一亮：总人数一定是7的倍数。我知道了，我知道了——总人数是7、3、2的公倍数。7×3×2＝42，比50小，合乎条件。
　　这下了你可以算出得纪念奖的人数来了吧？
　　可以——

　　7×3×2＝42；
　　42×1/7＝6，
　　42×1/3＝14，
　　42×1/2＝21；
　　42－（6＋14＋21）＝42－41＝１

　　天哪，只有一个人获得纪念奖。这样的数学竞赛，菜鸟也可以参加了。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2013-6-10 15:57 编辑 ].

　　菜爸给菜鸟泼冷水：你虽然算出了答案，可是你这种算法太小儿科，没有充分展示你学过分数之后的新思维。
　　菜鸟又解决了一道难题，心情愉快，才不在乎菜爸的数落。
　　菜爸利诱他：我有一种可以少算一点、少写一些字的算式。
　　菜鸟胃口被吊起来了。
　　菜爸列出一个算式：

　　（7×3×2）×［1－（1/7＋1/3＋1/2）］
　　＝42×（1－41/42）
　　＝42×1/42
　　＝1

　　这个算式的意思是“参赛总人数乘以得纪念奖的比例＝得纪念奖的人数”。这样的算式是不是更分数呀？
　　菜爸本以为最怕多写字的菜鸟会深以为然，不料人家还是觉得分步计算更亲切，对这种综合算式没有什么特别的好感。
　　其实，这并不是一个习惯或好恶问题。这说明，菜鸟还没有真正理解1和几分之几在分数世界里的深刻含义以及在现实世界的广泛应用价值。.

　　菜爸由此想到这道题有一种更加简捷的解法。
　　根据已知条件“学生中1/7获得一等奖，1/3获得二等奖，1/2获得三等奖，其余获得纪念奖”，可以算出获纪念奖学生在总人数中的比例：

　　1－（1/7＋1/3＋1/2）＝1－41/42＝1/42

　　这意味着，每42个参赛者中就有1个获得纪念奖。
　　题目已经限定参加竞赛的学生不满50人，据此可以断定，参赛总人数就是42人，其中1人获得了纪念奖。
　　呵呵，菜爸的这种解法是不是更加简捷明了？是不是更充分地利用了分数概念和分数思维方式？
　　用1来表示全部，用几分之几来表示部分，利用这种分数思维来解决问题，前提是要深刻理解和把握分数概念。菜鸟做了那么多分数作业，还不能如此思考问题，这说明，光是多练苦练并不会使人更聪明。.

　　丢番图（Diophantus）是古希腊亚历山大后期的重要学者和数学家，代数学的创始人之一，对算术理论有深入研究，他完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜。

　　丢番图去世之后，有个诗人为他写了一首诗，铭刻在他的墓碑上。诗文记叙了丢番图的一生，诗曰：

　　上帝给予的童年占六分之一，
　　又过十二分之一，两颊长胡，
　　再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
　　五年之后天赐贵子，
　　可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。
　　悲伤只有用数论的研究去弥补，
　　又过四年，他也走完了人生的旅途。

　　诗中留下了推断丢番图一生活了几岁的线索。诗人本想以此纪念丢番图在代数方面的开创性成就。没有想到的是，两千多年过后，中国一批小学奥数专家居然想到了一种算术的解法解决这个寿命问题，大大羞辱了这个代数学之父。
　　用算术的方法怎么巧解“丢番图寿命难题”呢？

[ 本帖最后由 hxy007 于 2013-6-10 23:31 编辑 ].

　　某个周末，菜爸跟菜鸟讲起丢番图的故事。说到丢番图墓志铭中的寿龄难题，菜鸟立马用代数的方法建立了一个一元一次分数方程。他假设丢番图总共活了x岁，根据诗意得方程：

　　x＝(1/6)x＋(1/12)x＋(1/7)x＋5＋(1/2)x＋4

　　怎么解这个方程呢？
　　先要通分。
　　怎么通分？
　　找到分母6、12、7、2的最小公倍数？
　　就这个四个数来说，需要用6、12、7、2去求它们的最小公倍数么？
　　菜鸟不解，菜爸追问：6、12、2这三个数有什么特点？
　　菜鸟答：12是6和2的倍数。
　　既然如此，求6、12、7、2的最小公倍数，有什么更加简练的办法？
　　这四个数最小数公倍数，就是12和7的最小公倍数。
　　为什么？
　　是12的倍数，肯定也是6和2倍数。
　　那好，它们的最小公倍数是多少？
　　12×7＝84.
　　那么，通分的结果是多少？
　　菜鸟写道：

　　x＝［（14＋7＋12＋42）/84］x＋（4＋5）
　　x＝（75/84）x＋9
　　（9/84）x＝9

　　到了这一步，怎么解方程呢？
　　呵呵，这一回菜鸟反应很快——等式两边同乘以9/84的倒数，得：

　　x＝9×（84/9）
　　x＝84

　　哈哈……丢番图原来活了84岁！诗人出这道题，本意就是希望后人以丢番图发明的代数方法去解决。菜鸟列方程求解，就是在向这位“代数学之父”表达一种敬意。.

　　菜爸受到菜鸟解法的启发，想到了一种稍有不同的解法。
　　诗中说，丢番图人生的1/6是童年，再过一生的1/12便到了长胡子的年龄，再过人生的1/7就到了结婚的年龄，再过5年他有了个孩子，再过人生的1/2他的孩子夭折了，再过4年，他也去世了。已知条件中，有些是用分数来表示，有些是用整数来表示。我们可以从中得到什么提示呢？
　　菜鸟不明白菜爸到底想说什么。菜爸只好进一步追问：丢番图的人生过去1/6，再过1/12，再过1/7，再过1/2，就过完了么？
　　菜鸟深思了一会儿，回答说：没有。他还要过5＋4＝9年。
　　换一种说法，他还要过人生的几分之几？
　　1－（1/6＋1/12＋1/7＋1/2）＝1—75/84＝9/84
　　假设丢番图寿命是x岁，根据上面的分析，是不是可以得到一个方程？
　　是的。这个方程是：（9/84）x＝9
　　你这个方程中的数据，已知条件都没有呀。原始方程是什么？
　　［1－（1/6＋1/12＋1/7＋1/2）］x＝5＋4
　　整理方程才得到，（9/84）x＝9

　　菜鸟一看，这不就是他前面那种解法最后整理出来的那个方程么？他认为，菜爸的解法跟他的解法是一回事。
　　菜爸不以为然。虽然我们父子俩建立的方程本质上是一样的，但建立方程的思路有所不同。菜鸟建立方程，利用的等量关系是，丢番图总的岁数等于他人生各个阶段岁数之和；菜爸建立的方程，利用的等量关系是，丢番图已确定的那5＋4＝9年的岁月正好是他人生的1－（1/6＋1/12＋1/7＋1/2）＝9/84。
　　建立方程的关键之一，就是从已知条件中找到恰当的等量关系。从一个题目中可以找到多种等量关系建立方程，不是一种很好的锻炼么？多一种思路，就是多一份聪明，多一点灵活，就是多一个机会，多一种出路呀！.

　　其实，在菜鸟读小学三年级时，菜爸就知道了这个“丢番图寿命难题”。当时，一个极其推崇小学奥数的妈妈，想用这道题来说明算术方法比代数方法更聪明。听了她的解法之后，菜爸不由得敬佩起来，差一点就想让小三生试做一下。好在当时小三生忙不过来，菜爸才没有揠苗助长。现在，菜鸟是个初中生了，会用代数建立方程求解了，也知道啥叫公倍数、公因数了，可以跟他一起来讨论变态的算术解法了。
　　菜爸问儿子：我们用方程的办法求出了丢番图的寿命是84岁。你有没有注意到这个84，其实在解题的过程中已经出现？
　　菜鸟说：对呀，通分的时候，求出的最小公倍数就是84.
　　菜爸调侃道：换句话说，我们在解出方程之前，实际上已经求出了答案。我们居然没有意识到，真是笨到家了！
　　这是怎么回事？菜鸟瞪着他的方程陷入了沉思，喃喃自语。他真是陷进了代数的世界里，难以自拔。
　　菜爸开始敲边鼓了：诗中说丢番图的童年时代占去了他人生的1/6，这说明他寿命的岁数有什么特点？
　　菜鸟恍然大悟：我知道了，老爸你不要说了。丢番图的寿命一定是6、7、12、2这四个数的公倍数，他寿命的是7×12＝84岁！
　　不一定吧，他的寿命说不定是168岁，或者是252岁……
　　不可能，他又不是妖怪，不可能长寿到168岁。
　　这只是你的一种想法，一种假设。你得证明你的假设是对的。
　　菜鸟赶紧用84岁代入到题目中进行验算，结果证明他的假设成立。他还发现，题目中那个5和4在验算中起了重要作用，否则就没法确定丢番图究竟是活了84岁还是活了168岁。

　　这就是“丢番图寿命难题”的算术解法。
　　当年，诗人本想用这道题来纪念“代数之父”对数学发展的杰出贡献。他哪里想得到，千年之后远东聪明的小奥专家们居然利用最小公倍数的思维方式解决了这道难题？这种算术解法巧是巧，却是对“代数之父”莫大的讽刺！.

　　菜鸟学了用代数的方法列方程解题，所以对于“丢番图难题”的算术解法充满怀疑：利用最小公倍数的思路一定能够保证我们求得答案么？
　　他现学现卖，编了一道题为难菜爸：有个人在他人生的1/6做了什么什么，再过1/12做了什么什么，再过1/3做了什么什么，再过1/4做了什么什么，再过52岁做了什么什么，再过32岁才去世。问这个人寿命有多长？
　　菜爸用代数的方法列方程一算——哎呀呀，不得了，这个人一共活了504岁，十足是个老妖怪耶！
　　菜鸟说：老爸，你算错了。我是用96岁的寿命来编这道题的，答案应该是96.
　　可是，菜爸再按题意检查方程，（1/6＋1/12＋1/3＋1/4）x＋（52＋32）＝ｘ，方程式没有列错呀！
　　再算一遍：

　　（5/6）x＋84＝ｘ
　　（1/6）x＝84
　　x＝504

　　也没有算错呀！问题出在哪里呢？
　　原来，人家菜鸟这是么想的：前面那几个几分之几，分母的最小公倍数是12，就算是12岁，再加上52、32岁，不就是96岁么？
　　菜爸没有汗颜，反而听得浑身冰凉。菜爸忍住失望，质问菜鸟：哪有这样理解最小公倍数和岁数关系的？
　　菜鸟不明白呀！
　　菜爸为了让了发现自己的问题，叫他把96代入方程中，检查一下：这个等式成立么？
　　很显然，（1/6＋1/12＋1/3＋1/4）×96＋（52＋32）≠96
　　如果要使等式成立，就必须调整左式的尾数。菜鸟和菜爸研究发现，尾数之和为16时，这个等式才成立，例如：

　　（1/6＋1/12＋1/3＋1/4）×96＋（10＋6）＝96

　　根据这个等式倒是可以编个故事：

　　丢番图的爸爸在他人生1/6时参军；在军队里度过了他人生的1/12才退伍进入政坛当官；他用了人生的1/3的时光担任政府官员；退休之后又用人生的1/4去研究数学，授徒讲学；他结束这段学者和教师生涯，在家颐养天年，10年后他不慎跌了一跤，从此卧病不起，在床盘桓6年才告别人世。问：丢番图老爸寿命有多长？

[ 本帖最后由 hxy007 于 2013-6-10 16:22 编辑 ].

　　菜鸟编题，是因为他对小奥式算术巧解法有疑问。父子共同编制这道变态题，恰恰就可以部分地说明用公倍数思维解答“丢番图寿命难题”的局限性。
　　如果用公倍数思维方式解题，立即就可以发现丢番图老爸活的岁数一定是12的倍数。那么，他究竟活了多少岁呢？

　　12岁？不可能，因为人家余生就有16年。
　　24岁？代入题中进行检验，不对！再说他不可能4岁就参军吧？
　　36岁？代入题中进行检验，还是不对！6岁参军匪夷所思！
　　48岁？代入题中进行检验，还是不对！8岁参军不可思议！
　　60岁？代入题中进行检验，还是不对！10岁参军还是不可思议！
　　72岁？代入题中进行检验，还是不对！12岁参军，难道是娃娃兵？再说了，过几年到18岁就参政，好像小了点吧？
　　84岁？好像有点谱了，可是，代入题中进行检验，还是对不上！
　　96岁？经检验，这个岁数对得上题！答案就是这个了。

　　看呀，用公倍数思路虽然最终求得了答案，可是这种方法多么麻烦？假使要算孙悟空的岁数，他的年龄12的123456倍，我们是不是要一个一个试算下去呢？.

　　据说，古希腊数学家丢番图著有《算术》一书。此书讨论的并不是我们所理解的“算术”，而是代数问题。丢番图在代数方面做了许多开拓性工作，因此被誉为“代数之父”。用算术巧算法解决他墓志铭上提出的寿命问题，不啻是对“代数之父”一种莫大的讽刺。这大概是为之撰写墓志铭的诗人始料不及的。
　　当年，有个钟爱小学奥数的妈妈，用这道题来说明算术解法比代数解法更聪明，还得到她父亲的支持。这位老先生据说是北大数理系毕业的数学教授，退休之后返老还童，迷恋于钻研小外孙的奥数题，颇具心得，并且得出了“算术高于代数”的评价。
　　为了避免世人（包括退休的数学教授）再去羞辱“代数之父”的在天之灵，菜爸不惴浅陋，试着对丢番图的墓志铭略作了一番修改。诗曰：

　　坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。
　　上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡；
　　九年之后著《算术》，再过三年点燃起结婚的蜡烛；
　　五年之后天赐贵子，迟到的宁馨儿真可怜，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓；
　　悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。
　　试问：丢番图活了多少岁？

　　那位奥数妈妈拿着这道变态题，回家请教她那教授爸爸。老先生看过之后，终于醒悟过来，他告诫女儿说：算术巧解的方法是雕虫小技，还是代数方法可靠！.

引用:

原帖由 yiyioneone 于 2013-6-7 22:27 发表
太棒啦！
谢谢。我也跟着思考了一遍，好有意思的数学。
一定要推荐给宝贝女儿。

嗯，六年级的一个重要学习目标就是从小学的算术思维向中学的代数思维转型。
七年级的重点和难点在几何，从重计算转向重推理。
一年一个台阶呀！.

　　预初某个周六的上午，菜鸟做数学周末卷，遇到一道难题。题曰：已知下图中的正方形边长为2厘米，求阴影部分的面积。

　　呵呵，这不就是一朵油菜花或者是别的什么十字花科的花朵么？

　　想当年，菜爸读高中时，闲来无事，用圆规在纸上画来画去，就画出过这样的图形，然后兴致盎然地想出办法计算这种图形的面积，没有想到现在居然成了预初生的一道习题。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2013-6-12 21:55 编辑 ].

　　菜鸟在这张图上横、竖、左斜、右斜作了4条辅助线，居然找不到答案。因为选项中没有他算出来的结果，这让他感到非常困惑，坐在书桌边喃喃自语。

　　菜爸忍不住想说点什么，还没有开口就被菜鸟制止了：老爸，我不要你说，让我自己想!
　　菜爸：好吧，我不说。那你说吧，说说你是怎么想的，怎么解这道题的？
　　菜鸟指着图中的一个小三角形说：你看，这个三角形中，阴影的面积和空白的面积一样，所以……

　　呵呵，我明白你的意思了，我打断你一下。请问，你凭什么说这两部分的面积相等呢？你有什么根据？你大概是在想当然吧？.

　　菜鸟被难住了，他只不过是凭直觉断定这两部分面积相同，其实并无根据。他显然没有认真观察图形，分析其中的图形关系。
　　为了让他把握住图形的关系，菜爸当着他的面，先用直尺和三角板画了一个“田”字正方形，再在这个正方形中画了4个半圆形，这4个半圆相互交叉形成了题目中那四片叶子的形状。

　　菜鸟惊讶地看着这朵“油菜花”的绘制过程。.

　　还没等菜爸解释，菜鸟就兴奋地说：我知道怎么计算阴影部分的面积了。
　　一分钟不到，他就写出了算式和答案（^2表示二次方）：

　　2×π×1^2—2^2＝2π—4。
　　
　　这一下轮到菜爸犯晕了：答案是对的，可是我没有看懂你列的这个算式，你是怎么想的？
　　菜鸟一边画，一边说，耐心地教着菜爸：这个图表示4半圆挤在一个正方形里，它们重叠部分的面积，就是这4个半圆的面积减去正方形的面积，4个半圆就是2个圆，所以它们的面积是2×π×1^2……
　　哈哈，这种整体的思路真是妙！我承认，我没有想到过。.

　　菜爸说：你这是从整体考虑的一种解法，我还有一种从局部考虑的解法。
　　菜鸟似乎还陶醉在自己的解法之中，听不进菜爸的话。这让菜爸很不高兴：你怎么就满足于找到了正确答案呢？难道你不愿意看看别的解法的合理性吗？
　　菜鸟才收拾起自己的轻骨头，仔细听菜爸的高论。
　　菜爸让菜鸟观察下方那个半圆跟三角形的关系。

　　菜鸟立即发现，半圆的面积减去三角形的面积，多出来的就是阴影部分那两半片叶子的面积，也就是1片叶子的面积！
　　菜爸问：知道了1片叶子的面积，可以算出整朵花的面积么？
　　当然可以，1片叶子的面积乘以4，就是整朵花的面积。菜鸟利用这个思路列出了算式：

　　（π×1^2÷2—2×1÷2）×4＝2π—4

　　菜爸说：我们也可以这样想——

　　花朵的面积＝一片叶子的面积×4
　　　　　　　＝（半圆面积－三角形面积）×4
　　　　　　　＝半圆面积×4－三角形面积×4
　　　　　　　＝2个圆的面积－正方形的面积
　　　　　　　＝2×π×1^2—2^2
　　　　　　　＝2π—4

　　这不正是菜鸟第一种解法么?菜鸟又开始得意了，撇着嘴说菜爸的解法啰嗦，他认为他的解法更合理。
　　菜爸说：我们虽然殊途同归，但是思路是不一样的。你从整体上考虑阴影面积的解法，这种想法确实很聪明。正因为聪明，所以不大保险。如果一时不那么聪明，你不就想不出来了么？相反，我是从局部出发去思考阴影面积的解法，先算出一片叶子的面积，再算出整朵花的面积。这种解法表面上看步骤多了一些，但它也是一种思路，而且是一种更有保障的思路，它让你在不怎么聪明的情况下也能够用正确的方法找到正确的答案。科学研究经常这样，先研究局部，再根据局部与整体的关系去推知整体。这是一种科学而有效的思维方法。
　　菜鸟没有吭声了，但愿他能理解菜爸这番分析，而不视之为说教。.

　　吃中午的时候，菜爸还在想着这道“油菜花面积题”，想到一种新的解法。饭后赶紧给儿子献宝：按照从局部推知整体的思路，我们甚至可以先算出半片叶子。请看——

　　这半片叶子（阴影）的面积，不就是扇形的面积减去三角形的面积么？
　　这样的叶子总共有8片，所以油菜花朵的面积是：

　　（π×1^2÷4—1×1÷2）×8＝2π—4

　　若说从局部出发推知整体，解法三比解法二更加彻底。正所谓——

　　一沙一世界，
　　一花一天堂。
　　一瓣见菜花。
　　一题有多得。.

　　还有一种特别的思路：正方形去除空白的部分，剩下的不就是阴影部分的面积么？
　　问题是：怎么求空白部分的面积？
　　我们还是可以采取从局部入手考虑整体的思路。
　　比如，我们可以把空白部分分成8份，先算其中的1份，再算整个空白处的面积。
　　以上图为例，小正方形的面积减去扇形的面积，剩下的就是右上角空白处的面积，由此可以推知整个空白处的面积，最终算出阴影的面积：

　　2^2－（1^2－π×1^2÷4）×8＝2π—4.

　　算空白面积还有多种方法。例如，可以把原图分成左右两半。

　　上边的那个长方形减去那个半圆，剩下的就是它右侧上下两块空白的面积，这样的空白有4组；用正方形的面积减去这4组空白的面积，剩下的便是阴影了面积了：

　　2^2－（1×2－π×1^2÷2）×4＝2π—4.

　　从整体上考虑，可以想到另外一种计算空白面积的方法。
　　原图中上下两块空白仿佛是个沙漏（即下图中更深的阴影部分），它的面积就是正方形减去两个半圆。

　　这样的“沙漏”还有一个，也就是横着放的那个。因此，阴影部分的面积是：

　　2^2－（2^2－π×1^2÷2）×2＝2π—4.

　　在“油菜花朵面积问题”探究过程中，菜爸仿佛再一次回到了自己的中学时代。当年，那些数学难题曾经让我朝思暮想，茶饭不香。可是，难题一旦突破，那种难以名状的快感又让我欲罢不能，迷在其中。即使解决了一道难题，也会反复回味，久久地品尝来自不易的战果。接着又去钻研和收集各种特别的解法，就像是一个充满好奇的孩子，在数学沙滩上自由地玩耍，每拾到一枚奇特的贝壳，都会情不自禁，从内心发出欢呼……

　　可是，我在菜鸟的身上还没有看到这种对数学的喜爱和执迷。虽然他在这一题上遇到了困难，没有仔细观察和分析图形关系就匆忙下手，折腾许久未果，但是，他一旦把握住图形的关系，立即表现出了数学上的某种悟性和天赋——想出了一种菜爸也没有想到的整体解法！照着菜爸的脾气，有了这么一种成就，必定会对这个问题的各种解法表现出更加浓厚的兴趣。可是，根据菜爸的观察，后面提及的种种解法并没有让菜鸟兴奋起来。他的心思早已转向了周末卷中那些未做的题目，他急于要完成老师布置的作业任务。过多的作业，过快的节奏，让人心急浮躁，难以静下心来反思、回味、归纳、总结、拓展、深化。

　　万变不离其宗，窥一斑而知全豹，见一花而知世界。如果通过像“油菜花面积”之类的问题探索，了解各种解决问题的思路和方法，一题多得，同学们有必要做那么多习题么？一题多得比多题一得，哪一种策略更有利于孩子们通过数学探究变得更加聪明呢？哪一种习题策略更科学更有成效呢？.