引用:

原帖由 老猫 于 2010-1-11 20:23 发表
整数n可表示为4个形如m/(m+1)的真分数之和， 求n，并给出5种不同的真分数表示方式。

形如m/(m+1)的真分数各不相同吧？

∵1/2<=m/(m+1)<1
∴2<=n<4
又∵当且仅当4个形如m/(m+1)的真分数都=1/2时，n=2
∴n=3

接下来就凑凑了
∵n=3
∴4个形如1/(m+1)的不同真分数之和=1
于是找出至少有4个因数的数，
比如12，其因数为1、2、3、4、6
1+2+3+6=12
即(1+2+3+6)/12=1
∴3=1/2+3/4+5/6+11/12

同样的
3=1/2+3/4+4/5+19/20
3=1/2+2/3+9/10+14/15
3=1/2+2/3+8/9+17/18
3=1/2+2/3+6/7+41/42.

引用:

原帖由 老猫 于 2010-1-12 11:36 发表
恩。

而且最后凑的过程，一下子抓住关键。

hehe
答噶虚度题目，猫老师表扬个勿度丫！.

引用:

原帖由 冬瓜爸爸 于 2010-1-13 12:46 发表
echooooo, 解得真不错。
我在你的基础上再补充一个解，3 = 1/2 +2/3 +7/8 +23/24

而且可以证明，除了这些解以外，就没有其它解了。

凑凑，实际上是蛮有意思的
还是说4个形如1/n的不同分数之和=1

4个数平均=1/4,
形如1/n的分数从大到小排列是1/2,1/3,1/4,1/5,...
易证必有1/2
余下3个数平均=1/6
于是必有1/3,1/4,1/5中的某几个
粗算一下先
1/3+1/4=7/12>1/2
1/3+1/5=8/15>1/2
1/4+1/5=9/20<1/2
所以可能只有1/3，或1/4，或1/5，或1/4+1/5
有1/3，余下2数之和1/6，平均1/12,从1/7穷举到1/11,得(1/7,1/42),(1/8,1/24),(1/9,1/18),(1/10,1/15)
有1/4，余下2数之和1/4，平均1/8,从1/5穷举到1/7,得（1/5,1/20),(1/6,1/12)
有1/5，余下2数之和3/10，平均约1/7,从1/6穷举到1/7,无有效解

综合上述，共有6组解，
（1/2,1/3,1/7,1/42),
(1/2,1/3,1/8,1/24),
(1/2,1/3,1/9,1/18),
(1/2,1/3,1/10,1/15),
(1/2,1/4,1/5,1/20),
(1/2,1/4,1/6,1/12)

这种解法完整是完整的，
不过不如凑的有趣，还快，
昨天俺凑没花几分钟，
基本都是6的倍数，
打电脑倒是费时不少，吼吼.

凑凑的完整性是很成问题的
漏解几乎是必然的

不过
在凑凑的过程中
倒是往往可以得到完整解的思路的

对你的比喻俺不做公开评价
要不家里的领导，嘿嘿
还是以正餐和零食喻之吧

说起清华毕业的数学老师
当初俺的语文老师还是正牌北大中文的呢
炫一把嚯嚯
可惜俺的语文从来就不咋地
愧对老师呀.