整数n可表示为4个形如m/(m+1)的真分数之和， 求n，并给出5种不同的真分数表示方式。.

m是正整数吗?
如果不是，n只能是3或4，简单验证，n=4
m可简单取取，-4，2，-3，1  （配成两对）其中(-4,2)是一对，(-3,1)是一对，还可以找到(-5，3)是一对，(-6，4)是一对，其它只要两个数加起来-2就是一对，只要两对配在一起就算一种，所以可以得到无数种.

m是正整数。n也是。既然叫真分数，应该m是正整数.

引用:

原帖由 老猫 于 2010-1-11 20:23 发表
整数n可表示为4个形如m/(m+1)的真分数之和， 求n，并给出5种不同的真分数表示方式。

形如m/(m+1)的真分数各不相同吧？

∵1/2<=m/(m+1)<1
∴2<=n<4
又∵当且仅当4个形如m/(m+1)的真分数都=1/2时，n=2
∴n=3

接下来就凑凑了
∵n=3
∴4个形如1/(m+1)的不同真分数之和=1
于是找出至少有4个因数的数，
比如12，其因数为1、2、3、4、6
1+2+3+6=12
即(1+2+3+6)/12=1
∴3=1/2+3/4+5/6+11/12

同样的
3=1/2+3/4+4/5+19/20
3=1/2+2/3+9/10+14/15
3=1/2+2/3+8/9+17/18
3=1/2+2/3+6/7+41/42.

恩。

而且最后凑的过程，一下子抓住关键。.

引用:

原帖由 老猫 于 2010-1-12 11:36 发表
恩。

而且最后凑的过程，一下子抓住关键。

hehe
答噶虚度题目，猫老师表扬个勿度丫！.

一看到猫老师出初预的题，第一反应就是很简单，然后想几分钟搞定，又闹笑话了，哈哈.

今后我永远写初预了。
哈哈.

哈哈哈，唉，真是可恼.

echooooo, 解得真不错。
我在你的基础上再补充一个解，3 = 1/2 +2/3 +7/8 +23/24

而且可以证明，除了这些解以外，就没有其它解了。.

顺着10楼的意思，我建议如果原题改为“给出6种不同的真分数表示方式”，题目会更全面，答案就是唯一的了。.

echooooo, 你的“比如12”，得来好轻松，真是奥妙无穷。
（猫老师说你凑的过程一下抓住了关键，我来劲了。好好学）
你说“找出至少有4个因数的数”，我怎么都发现不了如何找到所有的满足这样条件的数。
我也比如，比如16，有因数1，2，4，8，16就凑不起来，再比如1，2，5，10，25，50，也凑不起来。
你会说，要因数里面能挑出四个数，加起来等于这个数。我也是这样想的，但什么样的合数，能在因数里挑出四个数相加等于这个数自身呢？这个问题本身的难度就跟猫老师的题目相当了，或许更难，呵呵。

你凑的数里有15，18，20，42。（不知你是怎么凑出这些数的？花了多长时间？）
哇，都到42了。42后面还要凑下去吗？42之前有没有漏掉哪个数啊？（比如24？你看我多细心，多认真。呵呵）
如果是考试，凑到42，要多少时间啊。还有，凑到多大就不用凑了呢。（也许你说42以后就不用再凑了，为什么呢？）

对你的方法很崇拜，所有提了不少问题，希望跟您探讨。.

引用:

原帖由 冬瓜爸爸 于 2010-1-13 12:46 发表
echooooo, 解得真不错。
我在你的基础上再补充一个解，3 = 1/2 +2/3 +7/8 +23/24

而且可以证明，除了这些解以外，就没有其它解了。

凑凑，实际上是蛮有意思的
还是说4个形如1/n的不同分数之和=1

4个数平均=1/4,
形如1/n的分数从大到小排列是1/2,1/3,1/4,1/5,...
易证必有1/2
余下3个数平均=1/6
于是必有1/3,1/4,1/5中的某几个
粗算一下先
1/3+1/4=7/12>1/2
1/3+1/5=8/15>1/2
1/4+1/5=9/20<1/2
所以可能只有1/3，或1/4，或1/5，或1/4+1/5
有1/3，余下2数之和1/6，平均1/12,从1/7穷举到1/11,得(1/7,1/42),(1/8,1/24),(1/9,1/18),(1/10,1/15)
有1/4，余下2数之和1/4，平均1/8,从1/5穷举到1/7,得（1/5,1/20),(1/6,1/12)
有1/5，余下2数之和3/10，平均约1/7,从1/6穷举到1/7,无有效解

综合上述，共有6组解，
（1/2,1/3,1/7,1/42),
(1/2,1/3,1/8,1/24),
(1/2,1/3,1/9,1/18),
(1/2,1/3,1/10,1/15),
(1/2,1/4,1/5,1/20),
(1/2,1/4,1/6,1/12)

这种解法完整是完整的，
不过不如凑的有趣，还快，
昨天俺凑没花几分钟，
基本都是6的倍数，
打电脑倒是费时不少，吼吼.

这个方法真是不错，完整，简单明了。这次是真不错。

你4楼凑的方法，（还整出个“4个以上约数”的条件），看的人一不留神就顺着走沟里去了。也许你用起来还顺手，但一些限制条件你又没给出，用的人不察，可不就掉沟里了！
正如你说的，虽然穷举法慢也无趣，但它完备严密。（好比家里的领导）
凑虽有趣，看着快，但不完备，也不严密，总觉得结果来路不正。（好比外面的野花）
这个比喻贴切否.......

嘿嘿。。。一般解题已臻化境的同学都喜欢玩举重若轻的把戏。。。.

你的这个说法，让我想起我读高中一年级的时候，我们一个清华毕业的数学老师（现在看来有这样的老师太奢侈了），他给我们的一个“显然”，我们要忙半天,累一身汗才看明白......

是滴是滴。。。记得读书时班里一个数学特强的，遇到讨论某题某个关节，口头禅就是“极易证。。。”，于是我们一帮木鱼脑袋就眼睛吧瞪吧瞪朝他看。。。。.

凑凑的完整性是很成问题的
漏解几乎是必然的

不过
在凑凑的过程中
倒是往往可以得到完整解的思路的

对你的比喻俺不做公开评价
要不家里的领导，嘿嘿
还是以正餐和零食喻之吧

说起清华毕业的数学老师
当初俺的语文老师还是正牌北大中文的呢
炫一把嚯嚯
可惜俺的语文从来就不咋地
愧对老师呀.