最小值时，这三个根号里的东西应该相等。列几个方程算算就行了。
简单点的做法，第三个根号里面4y^2-16y+20=(2y-4)^2+4，和第一个根号里相等，得 3x=2y-4或者3x=-2y+4，代入上面某个方程。
最后再算算。

[ 本帖最后由 童爸0928 于 2009-8-18 09:45 编辑 ].

最小值是5，原来在二楼解的有问题。
中间根式为0时最小，其中一组解是x=0.5,y=1.25时,原式=5
简单的证明方法没想出来

[ 本帖最后由 童爸0928 于 2009-8-18 13:21 编辑 ].

我也还没想通为什么(1)是最小值的条件，(2)(3)(4)我也象一叶轻舟画了类似的图，找了对称点。第二个根式不为0时，第一个和第三个可能还会有更小值。除非用高等数学的方法，对x,y分别偏微分。

还有个作图方法，就是先把原式变换一下，用x1代替原来的3x，用x2代替原来的2y，原题变成求根号(x1^2+4)+根号((x1-x2)^2-1)+根号((x2-4)^2+4)
第一个部分就是点(x1,0)到点(0,2)的距离，第三个部分就是点(x2,0)到点(4,2)的距离，而x1,x2都在x轴上，并且x2-x1>=1，然后找到中点(2,0)，左边x1是(1.5,0)，右边x2是(2.5,0)，这两点距离是1，接下来，就要证明左边的点或右边的点左右移动一个量，原式会比原来的大。不过我证来证去，初等数学方法证不出。

[ 本帖最后由 童爸0928 于 2009-8-18 16:33 编辑 ].

这里书写错了很多，详见29楼

按照我上面的第二个作图法，可证明出，今天没时间了，简单说说。
只要证明取其它点都比这样取大就行了，这里x1=1.5,x2=2.5时最小
在(1.5,0)之间有个点，设为(x3,0)，则有根号(x3^2+4)+根号((x2-x3)^2-1)+根号((x2-4)^2+4)>=根号(x3^2+4)+((x2-x3)-1)+根号((x2-4)^2+4)=根号(x3^2+4)+(2.5-x3-1)+根号((x2-4)^2+4=根号(x3^2+4)+(1.5-x3)+根号((x2-4)^2+4
而根号(x3^2+4)+(1.5-x3)>=(1.5^2+4)+根号((2.5-1.5)^2-1)  三角形两边和大于第三边
这里关键用到根号(x^2-1)>=x-1，其中x>=1

[ 本帖最后由 童爸0928 于 2009-8-19 10:43 编辑 ].

昨天时间太急，书写有些错误，今天稍详细点写写，作图参见13楼的第二种作图方法，作图思路是把二元变成一元
只是我做替换时现在先讨论x,y都大于零，其它情况讨论类似。
原根式现在变为根号(x1^2+4)+根号((x2-x1)^2-1)+根号((x2-4)^2+4)
第一个根式是点(x1,0)到点(0,2)的距离
第三个根式是点(x2,0)到点(4,2)的距离
第二个根式最重要的是 >= (x2-x1) -1  稍后证明要用到

(x2,0)和(x1,0)这两个点之间的距离必须大于1
只要证明取其它点都比这样取大就行了，这里x1=1.5,x2=2.5时最小

在(1.5,0)之间先取个点，设为(x3,0)，（另外，(2.5,4)之间的点方法和(1.5,0)的点证明方法相同），
现在需要证明
   根号(x3^2+4)+根号((x2-x3)^2-1)+根号((x2-4)^2+4)
>=根号(x2^2+4)+根号((x2-x1)^2-1)+根号((x2-4)^2+4)

证明如下：
根号(x3^2+4)+根号((x2-x3)^2-1)+根号((x2-4)^2+4)
>=根号(x3^2+4)+((x2-x3)-1)+根号((x2-4)^2+4)   这里根号((x2-x3)^2-1)>=(x2-x3)-1
=根号(x3^2+4)+(2.5-x3-1)+根号((x2-4)^2+4)
=根号(x3^2+4)+(1.5-x3)+根号((x2-4)^2+4)
=根号(x3^2+4)+(x1-x3)+根号((x2-4)^2+4)

其中根号(x3^2+4)为(x3,0)到(0,2)的距离； 1.5-x3=x1-x3，即为(x1,0)和(x3,0)之间的距离;
而根号(x3^2+4)+(x1-x3)>=根号(x1^2+4) 即(x3,0)到(0,2)的距离加(x3,0)和(x1,0)的距离 大于 (x1,0)到(0,2)的距离 （ 三角形两边和大于第三边）
即 根号(x3^2+4)+(x1-x3)>=根号(x1^2+4)+0=根号(x1^2+4)+根号((x2-x1)^2-1)

所以有
根号(x3^2+4)+根号((x2-x3)^2-1)+根号((x2-4)^2+4)
>=根号(x2^2+4)+根号((x2-x1)^2-1)+根号((x2-4)^2+4)

在其它地方取点证明方法相同。所以x1=1.5,x2=2.5时最小，最小值是5

[ 本帖最后由 童爸0928 于 2009-8-19 12:39 编辑 ].

我还想了个别的方法，比上面这个方法更加复杂，等猫老师的简单方法吧。.

第一个根号和最后一个根号值都是2.5，中间一个是0.

引用:

原帖由 greenjyz 于 2009-8-18 16:03 发表
令a=3x, b=4-2y, 原式为sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + sqrt( (a+b-4)^2-1);
因为对称性，也因为前两式均为单调递增函数，可知a=b=1.5时，原式取最小值5。

顺着你这个思路继续证明，可证明的出。
为完成这个证明，先证明同底，登高的三角形中，等腰三角形的边长最小。（证明方法略）    （1）

原式=sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + sqrt( (a+b-4)^2-1)      （2）
   >=sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + (4-(a+b)-1)
    =sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + (3-(a+b))               （3）
  这里先假设a>=0,b>=0, 4-(a+b)>=1即a+b<=3 ，可证明 sqrt( (a+b-4)^2-1)>= (4-(a+b)-1)
（a,b取其它符号时都可证明出结果比a,b同为正数时大）

接下来做个平面几何图，
做个三角形ABC，底边BC=3，高AD=2，BD=a,DC=b，则第一个根号就是（1）中AB的长度，第二个根号就是（1）中AC的长度，
前面（1）中说了同底等高的三角形中，等腰三角形的边长最小，也即a=1.5,b=1.5

接下来做个平面几何图，
做个三角形ABC，底边BC=3，高AD=2，BD=a,DC=b，则（2）中第一个根号就是AB的长度，（2）中第二个根号就是AC的长度，
前面（1）中说了同底等高的三角形中，等腰三角形的边长最小，也即a=1.5,b=1.5时，AB+AC最小，此时（2）中第3个根号为0
当a,b不等，a+b=3，三角形不等腰时，（2）中得到的值都比等腰时大

现在做个高为2的三角形A'BC，DC上取一点C'，可以证明的出A'B+AC'+C'C >= A'B+A'C >= AB+AC   （4）
  （4）的左边和（3）一样的，3-(a+b)就是C'C
从（3）继续证明下去
原式 >= sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + (3-(a+b))  
      >= sqrt(1.5^2+4) + sqrt(1.5^2+4) + (3-3)
       =5
最后还原x,y得，x=0.5,y=1.25时最小，最小值为5

其它情况，比如a>0,b>0, a+b-4>1时，结果必定比 a>0,b>0, 4-(a+b)>1要大
    而a,b异号和a<0,b<0时，从上面过程也能看出结果必定比a,b同号时大

[ 本帖最后由 童爸0928 于 2009-8-20 11:22 编辑 ].

初二的孩子做这样的题真的不容易，弄得我又死了无数脑细胞，一起期待.........

现在接着39楼完成其它情况的证明
1. a<0,b<0时，（2）中的第三部分就是sqrt((|a|+|b|+4)^2-1)=sqrt((|a|+|b|+5)(|a|+|b|+3))>=3
   而（2）的第一部分和第二部分都>=2, （2）>=2+2+3 >=7，肯定比找到的最小值5大了
2. a>0,b>0, a+b-4>1时，a+b>3，这时构造的三角形底 BC>3，
   要是以这个大于3的底构造高为2的等腰三角形，肯定比等于3的底构造的等腰三角形的AB+AC要大，显然结果大于5
3. a,b异号，不妨设a<0,b>0,（2）的第三部分=sqrt((-|a|+b-4)^2-1)
   当-|a|+b-4>0时，有-|a|+b-4>1, 得b-|a|>5,得b>5+|a|>5，因此，原式必定大于5
   当-|a|+b-4>0时，有4+|a|-b>1，得b<3+|a|由（2）继续推倒，
     原式=sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + sqrt( (a+b-4)^2-1)     （2）
        >=sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + ((4+|a|-b)-1)
         =sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + (3+|a|-b)              （5）
    此时再构造三角形ABC'，使高AD=2，BD=|a|, DC'=3,
    若此时C落在DC'的延长线上，则底已经大于3了，结果必定大于5
    若此时C落在DC'上，（5）的第三部分(3+|a|-b)就是CC'，AC+CC'>AC'
      （5）= AB+AC+CC'>= AB + AC'
       AB+AC'的底大于3，因此AB + AC'> 5 ，所以原式 >5.

按照greenjyz在10楼的变换（greenjyz老兄这个变换不错）还有种相对简单的方法

原式=sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + sqrt( (a+b-4)^2-1)           （2）

还是先假设a>=0,b>=0, 4-(a+b)>=1即a+b<=3，其它情况证明和50楼类似，这里不再证明
先作三角形ABC，AD=2为BC边上的高，BD=a,DC=b,  延长BC至E，使BE=4，
  则有CE>=1,CE=4-a-b， 做直角三角形CEF，使EF=1，CF就是（2）中的第3部分
再作CE边上的高FG，
则有   原式=AB+AC+CF >= AB+ (AC+CG)   >= AB+AG
现在EF=1，则GE <= 1，得 BG >= 3
     AB+AG >= 以BG为底，高为2的等腰三角形的两个斜边之和 >= 以3为底，高为2的等腰三角形两个斜边之和 = 5
所以原式 >=5 得证.

方法不错，两元变一元，并且在T最小时，能保证S的中间项也是最小值.