新的教科书跟我们原来20年前的教科书相比，有一个很大的不同，那就是引进了情景教学，多了小明、小亚、小胖等角色。数学是抽象的，但这个抽象是基于具像的。一开始学习数学的时候，数字6，童鞋是无法想象和运算的，如果你告诉他，这是指6颗糖或者6个苹果，他就可以想象和运算了。

又比如，童鞋问，在计算“1+6+9”的时候，能不能把前面的“1”和“9”先加起来呢？这时，老师和家长都不应该简单的回答“可以”或者“不可以”，而是引导童鞋自己去思考并得出结论。这时，就要用到“小熊分糖”的故事了：

小熊妈妈给了小熊1颗糖，小熊爸爸给了小熊6颗糖，小熊奶奶给了小熊9颗糖、、、

讲完故事，童鞋自己就得出结论了。

在小学低年级，可能主要是老师和爸爸妈妈讲数学故事，到了小学高年级，鼓励孩子自己编故事。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-1-9 11:36 编辑 ].

所以，问题出在老师是为了赶进度。换句话说，家长要关注老师的教学质量，而不是催促孩子或者老师的进度。.

儿子:38.5!  那不对,77比76对1, 为什么77的一半38.5只比76的一半38多0.5, 为什么不多1呀?
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这是个问题，也是个猜想。如果我们把它作为猜想，可以采用“破”的方法。前提是孩子已经有了正确的理解。所谓先立而后破也。
程嘟嘟妈妈 用的是“立”的方法，即引导孩子，告诉孩子什么是正确的。
不过，作为一个完整的探究，这是不够的。因为数学需要质疑，要养成孩子质疑的习惯和素质。

首先，要允许孩子提出类似这样的疑问。不能直接说孩子是错的，还不讲错在哪里。最好是根本就不要说孩子是错的。
其次，孩子不说，家长就要说。例如，还是这个问题，儿子说，76的一半是38，问77的一半是多少？家长就回答，39呗。

提出猜想或质疑了以后，应该怎么办呢？验证啊。猜想，验证，发现错误，这样，永远正确的康庄大道走过，错误的岔道也看到过了，这样对问题的探究也就更加全面和完整了。.

我最多只能说：“我们试试看39对不对。”
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是的。重点在于，我们要让孩子在“试试看”的过程中，自己去发现自己的谬误，从而建立正确的概念。由质疑而认同，避免被灌输或被注入。清楚一点，“灌输”正确的知识也是“灌输”。这样做的缺点在于，一旦他习惯了“灌输”，那些不正确的东西也很容易“灌输”进去。而通过自己的质疑而认同，那就不一样了。.

昨日，闲来无事，在网上溜达。突然，QQ发出了敲门声。点开一看，表弟发来了紧急求助：
表弟：哥，救救我，这道题怎么做啊？
我：别急，慢慢说。
表弟：爷爷的年龄是小明的年龄的7倍。过了几年，爷爷的年龄是小明的年龄的6倍。再过了若干年，分别是5倍、4倍、3倍、2倍。
我：哦，这道题蛮难的。几年级的？
表弟：我儿子的，H，小学五年级。
我：那开语音吧。我把 Alex 也叫来，大家一起做。

于是，我们三人，通过QQ聊了起来。H说，他先用了方程式，发现不行。问 Alex，也两手一摊，没有办法。那怎么办啊？我也没办法啊。急了。于是我说，猜吧，这就是被办法的办法了。
我：那从哪儿猜起呢？爷爷一般多大。
H：总要50多吧。
Alex：那就从56猜起吧。
我：为什么是56，不是51、52、53呢？
H笑了：爷爷的年龄是小明的年龄的7倍。你说的数不是7的倍数，所以不能用。
我：为什么一定要是7的倍数呢？
Alex：年龄必须是整数。如果爷爷的年龄不是7的倍数，小明的年龄就算不出来了。
我：我明白了。那就56开始吧。

H一边做，一边念叨：
爷爷56岁，小明8岁，7倍。
爷爷57岁，小明9岁，不行。
爷爷58岁，小明10岁，不行。
爷爷59岁，小明11岁，不行。
爷爷60岁，小明12岁，5倍。

我：停。5倍了啊。
Alex：不对啊，没有6倍。
H：是啊。
我：再检查下呢？
H：确实没有6倍。猜下一个数吧。
我：哦，那，说不定过一会儿会出现6倍呢。
H：不可能。
我：为什么不可能呢？
Alex：倍数只会越来越小啊。
H：对的。
Alex：做下一个数，70，怎么样？
H：我觉得，还是按顺序做吧。
我：我也觉得，应该按顺序做，否则，万一错过了，容易忘了，找不回来。

经过约半小时的试算，我们终于找到了正确答案。其间，H差点放弃，赶紧叫H爸来帮忙。一个人算，一个人检查+鼓励，多不容易啊。
看看时间差不多了，暂时封盘吧。于是，我让他们，把正确答案做一张列表，把其中的每一个数字都分成因子，然后再好好想想，看看能发现什么。

等大家散开，我看到QQ上表弟的留言：“他们刚学了公因数和公倍数，是不是跟这个有关啊？”当然有关系啦，这道题就是麦特罗尔写的丢番图的“墓志铭”的变种：
    过路的人！
    这儿埋葬着丢番图。
    请计算下列数目，
    便可知他一生经过了多少个寒暑。
    他一生的六分之一是幸福的童年，
    十二分之一是无忧无虑的少年。
    再过去七分之一的生命旅程，
    他建立了幸福的家庭。
    五年后儿子出生，
    不料儿子竟先于父亲四年而终，
    年龄不过父亲享年的一半，
    晚年丧子老人真可怜，
    悲痛之中度过了风烛残年。

表弟：那你为什么不直接告诉他们呢？
我：如果我告诉他们了，他们就不用动脑筋了。
表弟：哦，原来如此。儿子的老师就说过，这个孩子蛮聪明的就是不动脑筋。
我：是啊。原来的题目简单，你都讲给他听，他怎么动脑筋呢？
表弟：现在不行了。五年级就这么难了，我也不会做了。
我：好。那就对了。以后碰到难题QQ吧，让他跟Alex一起研究。
表弟：那就拜托了。
我：没事儿。这题还没做完，等他们再想想。过几天再来讨论。.

引用:

原帖由 aochuanhui 于 2012-3-1 17:00 发表
我觉得你儿子困惑于4的一半是几的时候, 你应该简化问题, 问他: 2的一半是几. 得不出结论的话就先搁置下来, 把问题留给他. 最好的情况是在白天没事时他自己能思考一下这个问题, 晚上你再用饼干等实物和他试验一下, 或 ...

对的。不告诉他正确的答案是什么。而是告诉他一种可以找到答案的方法。例如用糖果饼干棋子试试看。久而久之，当他脑子里边出现了疑问时，就不是在第一时间问家长或者老师了，而是自己一个人寻找答案。这就是自主学习啊。.

不好意思，是我的错。现在已经纠正了。.

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/8190110.html

也许这并不是一个适合听的资料。不过这本书对于理性的建立非常重要。适合初中生看。.

能详细评价一下，3739#，我记录的过程吗？.

是的。如果我们直接把规律交给他们，让他们知道，我们几乎就不会发现他们的问题，而他们也不能自知。更谈不上对缺点有所补益。

更重要的时，短短的30分钟，他们不知不觉做了多少计算，猜想、做、检查、反思的探究环节齐备，还有乐趣。

实际上，这还仅仅是（一），让他们先飞起来，飞一会儿。.

是啊，我也期待着呢。尽管我早就想好要怎么做了。为什么没让童鞋们做呢？等他们先想想，先飞一会儿，而且还要等一个合适的足够的时间、他们又有兴致的时候。就像是妈妈辛苦烧好红烧肉了，端在孩子嘴巴边上，他吃起来，其实不香。要他刚运动过，饿了，哭着喊着要吃了，那吃什么都是好吃的。

挺浪费时间，是吧？对了，教育是奢侈的，教育就是浪费时间。关键是让孩子在一次探究中能真正得到东西，重要的东西，而不是公式啊知识点啊这些神马浮云。忘了，再加一个－－“乐趣”。我又贪心了。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-3-6 16:39 编辑 ].

引用:

原帖由 hxy007 于 2009-2-17 12:16 发表

　　这个老师，是在教孩子走数学的正道。探究的过程，既让孩子因体验到成功的快乐，喜欢数学且充满自信，也让孩子在寻找正确答案的过程中学习和体会数学的思维与方法。
　　我大学一位老师，当年教导我们：

　　知识固然重要
　　比知识更重要的是方法
　　比方法还重要是世界观、人生观、价值观

　　诚哉，斯言！

　 ...

中夜推枕，重读老帖。对于小升初中的家长和孩子，这三句话振聋发聩。.

处在小升初，回头看去，滋味又不一样咯。
一二三年级，发挥家长的作用，减少对学校和老师的依赖，四五年级，家长则要往自主学习上引导，使同学进入初中后，能够靠自己。

相信自学的可能，逐渐具备自学的能力，名校和名师就不那么重要了。.

引用:

原帖由 hxy007 于 2012-4-12 08:40 发表

嗯，这个楼里的帖子适合慢慢地读，细细地品。
有想法时，请不要吝啬，请写在这里，与当年的发帖者交流，会相互启发，引出更多有意思有意义的发言。

好像启蒙这一段讲的不多，小学三年级以前。数学本身可讲的也许不多，但误区比较多。.

one feet跟它的英文原意“一脚”有没有关系呢？

记得我们小时候，做游戏需要测量长度时经常找不到尺子，就便使用了两个计量单位，（手）“大卡”和“脚”。体育课上，老师喜欢用“拳”“肘”“臂”作为计量单位。.

那么，问题就来了。用脚来量长度，这是很自然很简单的事情啊，有什么可争吵的呢？

不妨找个空闲的时间，大家穿越到那个没有尺子的时代，看看究竟会发生什么事情？.

在探究问题时：
鼓励孩子提出自己的想法。肯定孩子的想法，不管这个想法，在你看来是多么无聊。如果是错误的想法，也不要直接指出来。
顺着孩子的思路走。如果是不正确的想法，就让错误在探究的过程中自然呈现出来，让孩子自己去纠正。.

这个帖子里边，好像说到过两种启发方式。
第一种是孔子式的，等孩子来问问题。
第二种是苏格拉底式的，主动向孩子发问。

你试过的是哪一种呢？.

懒的父母或老师，才能带出勤奋的孩子或学生。
笨的父母或老师，才能养成智慧的孩子或学生。

有时也可以这么说，如果孩子不够勤奋不够智慧，很可能是父母或老师在懒和笨上做的不够。在教育上，越位了，喧宾夺主了。对十几岁的孩子来说，已经被教育了若干年，要再把懒和笨的结果归因于天赋，缺乏说服力。

要当父母或老师教育孩子，首先要能够自我教育。而要自我教育，就要直面自己的问题，绝不能找借口推卸。.

《天哪！数学原来可以这样学》、《原来数学这么有趣》，这两本书跟小学数学教学配合的比较好。“可怕的科学－经典数学”可以反复看。
另外，一些游戏活动，例如下棋、玩扑克、折纸、乐高，也有利于数学学习。.

一年级嘛，玩是天性。作为家长，不是跟这种天性作对，而是适当地引导和妥协。既让孩子玩了，顺应了他的天性，也学到一些东西。
在大学里边，数学系的人基本上都会桥牌、围棋、中国象棋、国际象棋中的一样。.

《原来数学这么有趣》，是美国人写的。
《哈哈，数学原来超有趣》，是韩国人写的。.

引用:

原帖由 jiangying 于 2012-8-31 10:09 发表

我取了两个好听的名字

孔子的方式：充大爷。
老苏的方式：装孙子。

不完全对。反过来也许要贴切些。

善待问，老师可以不全懂，但掌握基本的方法，可以跟孩子一起探究，教学相长。
善提问，对老师的要求很高，因为要把你想对学生说的话，以提问的方式表达出来，又要应付学生出乎意料的回答。实际操作中，老师必须做充分的准备，要全面，要善于抓住回答中的闪光点 ...

007前面说，孔老师“懒”，苏老师“累”，不无道理。以个人经验看，对待小学生，要多学孔子，跟着孩子一起出发去探究。.

我只看过《哈哈，数学原来超有趣》，这本书是韩国人写的。.

引用:

原帖由 hxy007 于 2012-9-12 20:50 发表

有空时就看一看。此帖不适合一口气看完。慢慢看。

遇到一道难题，尝试了下。要做苏格拉底，必需对问题有仔细的研究，然后设计出由浅入深地设计一系列问题，比较累，比较难。.

有助于建立空间想象力和逻辑。.

引用:

原帖由 hxy007 于 2013-1-13 10:56 发表
呵呵，前面也有旺友提议，自己也动过这个的念头。可总是找不到时间，希望今年能够了此心愿。

需要做秘书类的工作，录入啊，整理啊，配图啊，吱一声。鼎力相助。.

孩子学数学，如果以吃饭来比拟，那么老师教就是“喂饭”。要引导孩子自己吃饭就很难。当时的心情，饱饿的程度，饭菜的口味，适合用筷子还是勺子等等，都有影响。大人还要忍受各种拖沓，混乱。
要想高效简单，毫无疑问的选择，喂他吃。这是教育中很有诱惑力的想法。但是于孩子的将来是不利的，喂饭的人也累，且不符合孩子自我发展的要求，必将陷入冲突不断的困境。.

引用:

原帖由 不不园 于 2013-2-15 00:44 发表
老7，我家也是自己琢磨的，18*6=（10+8）*6。据说课本里目前还没有出现这种方法，小朋友的思路，貌似来自最基本的10的拆分，这个是在一年级反复强调的。

深感搞清楚基础概念的重要。

如你所说，数学的基础概念确是小学的重点。小学数学对应的是萌芽期的数学。那时的数学尚未成形，各种知识，还有非数学的，都混为一坛。而数学之所以为数学，自定义、公设、公理开始。其中定义便是这所说的概念。
基本概念的重要性说清楚了，下一步就是怎么学习的问题了。个人以为，小学中起始的数学概念一定要基于生活的经验，创造环境，促使孩子自己去体验和感悟。因为这一阶段的孩子，语言能力还不足以支撑通过语言学习数学概念的方式。反复的用语言去强调，反而不见效果，弄得家长孩子都无所适从。
如这里举例的计算问题，我从来不讲，而是拿出围棋盘、围棋子，跟儿子先是混成一团的数，然后是排列成序，再组合成方阵。从一年级玩棋子到三年级，各种巧算也就烂熟于胸了。
除了棋子之外，007介绍的儿童算珠也可以。大一些的孩子玩扑克，21点、凑24、杀关，都可以给数学的学习提供必要的基础。不仅仅基本概念，基本技能、基本方法，也都学习齐全了。

最后，我想说的是，家庭数学启蒙的重点不是教学，而是根据家长和孩子的喜好，营造学习的环境，使孩子在游戏和生活中自然地体验和感悟数学。教学还是让老师去做吧，作业还是让老师去安排吧，家长把一个自然的孩子送进学校就可以了。非常可以！.

采用这种方式学习数学，自然是自然了，孩子学起来也轻松愉快，而且我甚至能预见到孩子经过数年缓慢的积累而在初中进入加速学习的状态。
不过，这显然不能实现在小学前几年就领跑的计划。如果家长确需要如此，那就顾不得孩儿的自然发展了。少不得要见天的耳提面命，为了家长要孩子做额外的数学练习孩子却不愿意，搞的咆哮之声常闻，鸡飞狗跳之时常现，大人小孩不得安宁了。好吧，就刻苦训练着吧！抢跑一定成功。.

确实需要坚强的神经。别的孩子表现更好些，家长当然会有所反思，有时会有压力，甚至焦虑。这并不完全是坏事儿。

从小学高年级老师的角度看，有些孩子现在很好但已经倾尽全力了处于最佳的状态，继续提高的空间已经不大了。碰到这种情况，在小学的时间不多了，老师也木有太多办法。毕竟好的学习是积累出来的，底子不够广阔，上升的空间就小。

家长的处境则不同，毕竟还要把孩子带到初中、高中。如果发现积累的不够，应该放缓脚步，付出暂时的代价，反过身把积累做足。

我那时之所以没有让 Alex 去挑战小学高难度的数学题，就是因为他的语文的积累不够。现在进了初中，回头再看，实是明智之举。而小学的数学难题，在初中而言都不过是些小菜。

养成好的生活习惯、学习习惯，按照相应的程度循序渐进的作广泛的阅读，将兴趣爱好与学习结合起来，Alex 如今已能轻松地在初中学习，自我管理空暇的时间，自己看书学习。家长实在是轻松很多了。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-2-18 12:28 编辑 ].

哎呀，这也是 Alex 跟我常玩的“游戏”。讲相声的常说，“说学逗唱”是学相声的四门功课。那么，发现问题、提出问题、解决问题、检查反思，也可算是学习数学的四门功课。.

一问一答，其乐融融，堪称亲子范吧？！哎，我的孩子已经大了，粗声粗气，我对这种感觉已经是久违了。

巧从何来？《易经》曰：“穷则变，变则通，通则久。”

“如何学会巧算？如何举一反三？”小学四五年级以上的家长如果问这些个问题，可能已经晚了。孩子不会巧算，很可能是因为他们遇到方法穷尽的情况太少了。“我不会做。”孩子这么一吼然后双手一摊，家长或老师就忙不迭地教他，把自己的技能和知识“吐”出来“灌”给孩子，孩子轻易地就得到了解决问题之法，如何思变，又怎么可能通达呢？没有真正掌握，不能持久，岂不是理所当然？

把适合其程度的问题抛出来扔给孩子，家长就很可以做个旁观者，让其利用已有的知识、技能去解决。这样，孩子的思想才能活跃起来，由穷而变，由变而通，从而产生出新的知识和技能。也只有经历这样的过程，才能让孩子学到知识而有不会被已有的知识和技能（特别是家长和老师的）限制，孩子才最终有可能超越家长和老师。

这样的亲子数学学习看似费力费时为“效率女王”所不容，其实，这才是真正的学习之道。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-3-1 12:45 编辑 ].

期待下文。多希望能有更多的机会重温过去的亲子时光啊？我未老，孩子却大了。.

晚上LG说,可惜时间不够了,否则要继续跟他讲几次数的数字是否互质,对最终结果的影响. 汗, 这才一年级呢.能做出3*7+2=23,我都非常满意了.
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相当可以了。把类似的题做探究，007、11 和我、Alex 是在孩子们五年级的时候搞的。而且我们还是从笨办法开始的，从1开始数，看看符合条件的第一个数是什么，再慢慢找规律。这是系统的探究方法。时间比较长，过程比较繁琐，所幸最后的结果还可以－－孩子们给他们的老师出了一道类似的怪题。像我们这样探究，小一的孩子恐怕在体力上就吃不消，难以胜任这么长时间的高度专注。

随其自然的好，不必预设效果和结果。亲子数学首先是亲子，一家人其乐融融地渡过一段闲暇时光是孩子最想要的。我问小学四年级孩子，他们都还是这么说。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-3-4 00:11 编辑 ].

能详细说说吗？是什么样的瓶颈？.

好吧。先不说为什么，给你几个继续学习的选择：
1、进入数学的系统自学阶段。代数和几何都可以《数理化丛书》为范本。
2、以构建的方式重新学习小学数学的基本概念，把基础夯实。
3、暂停数学的课外拓展，把校内的学习搞好（当然包括习惯等），把更多的精力放在语言文字的学习上。.

个人体会，数学的知识体系是三维的，加上时间轴，那就是四维，像一个不断生长的山脉。这个山脉的基础则是生活实践。

我同意您的发现。数学知识中的有些部分内部的联系十分紧密。如果是一对一或者是一对几个学生开展教学，应该使用您所说的网络状的教法。学生在这种教法下，可以很好地掌握数学知识之间的联系，体验感悟其中的发展变化。若再结合数学史，参差一些趣闻轶事，效果也不错。

遗憾的是这种教法不能运用于30人左右的学校课堂。因为学生在小学阶段，个体之间的差别很大。我认为，这是由于每个学生生活实践的场景所不同造成的。有些偏重于数，有些偏重于形。有些偏重于长度测量，有些偏重于空间变化，有些则喜欢棋类策略等等。不同的生活实践场景使每个学生对不同的数学知识的敏感度不同。所以，学校的数学老师只能讲大家共同有体验的部分，程度还不能太深。所幸的是随年龄的增长，平衡是自然发展的规律之一，学生个体的差异趋于减小。那时，又可以上大课了。

师法自然，顺势而为，也是我带孩子学数学的基本原则。孩子的发展顺其自然，数学本身的发展也是顺其自然的，所以，我相信自然会引领孩子登堂入室，进入数学的殿堂。话是这么说，但顾虑到歧路的存在，到底还是不敢彻底地任其自然。大概这也就是法无定论的含义吧。干预就干预吧，心存对自然的敬畏。不知者不为，从孩子的自然行为中找到下一步的方向。知道的，则小心施为，不求有功但求无过。

数学启蒙的内容是十分丰富的，现代数学的大多数分支都可以在启蒙阶段找到源头。但粗略地仍然可以分为形与数，动态与静态，方法与思想。世人往往重数轻形，易静难动，巧于法而拙于思。其实于孩子来说各方面都是可以萌芽的，只不过教育的偏颇造成了孩子后天的偏颇。先读张景中先生的《感受小学数学思想的力量》一文，颇受震动。后在实践中细细揣摩，均衡发展确有其功。

以您前面所说孙子点兵为例，同学为什么会兴奋，原因之一大概是于看似无序中触摸到规律吧。而形有时甚至更容易让同学体会到这一点。对小一的孩子来说，试试画正方形，您可以示范，让孩子观察然后自己学着画，也许可以让孩子体会到几何秩序的力量。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-3-5 06:58 编辑 ].

能否办个针对低年级的数学思维启蒙班?
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这个问题我在儿子大班的时候就想过，当时是考虑是否要送到外面去思维启蒙。后来我想明白了，低年级的数学启蒙班开不得的。为什么呢？这个时候的孩子不定性，还不能做到某日的几点到几点就进入一个数学时间。当时儿子上了一个幼儿园里边的思维班，为了上好这个思维班，我先要计划好，使他上课时有旺盛的精力，上课之前还要给他余热。一个不注意，他就在课堂上出问题了，要不打瞌睡心不在焉，要不精力过于旺盛作出过激的举动。

这个年龄的孩子从心理上对父母是相当依赖的，对他们来说，跟父母在一起玩的快乐是最最重要、无可替代的。清楚了这一点，我宁愿带他去公园玩数学也不要他去上数学启蒙课了。

关于形，从您说的情况看，可以暂时先不画正方形。先完折纸吧，折纸飞机。我儿子玩折纸一直到小学五年级，这是他主要的课间活动内容。.

可能还是个人对数学里数/形/空间/逻辑,或其他方面的敏感性不同. 同样的事件,个人领悟不同. 而这种敏感性会一直持续到成年.
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所谓敏感度不同，不过是孩子还小接触到的东西有限。美国的小学数学教师用书上曾经这样说，一个孩子如果没有测量过，他是不可能真正理解长度的概念。同样的，如果孩子没有负重，也不可能理解重量，没有疯跑，也不可能理解速度。据说，很多男孩子都对速度着迷，“更快一点会是什么感觉呢？”

随其自然的生长，孩子探索未知的欲望就会让他接触到越来越多的东西，所以，如果不是特别的干预随其自然的话，对不同事物的敏感性会发生变化，不同孩子之间的差异也会越来越小。当然，差异不会消失。人上一百，形形色色，有差异也是正常的。无所谓啦，又不是培养超人。

我也产生过这样的想法，如果知道孩子将来有数学特长，那么，从小培养他，他的成就会更高。其实，这是事后诸葛亮。孩子小，我们根本不可能知道这个孩子是否有数学特长。基因技术也还没有找到数学因子吧？有没有都还是未知数。而且还有一个大麻烦，已有的教孩子数学的方法和理论都是基于学龄儿童的，就算要培养，也是一个试验，风险很大哦。

在学科特长的培养上，个人比较欣赏犹太人的做法，在小学阶段任其自由发展，把重点放在语言文字上。等到了初中，孩子的特长显现出来再予以系统的培养。当然，家长的兴趣爱好发乎自然应另当别论，带着孩子玩总是可以的。

数学等理科类学科的系统建立在人类文明发展史上是比较晚的。在个人的发展而言也要稍晚一些。质疑是理科的基本习惯，但认真的质疑最好是有了一定的解决问题的手段和能力之后。否则，只是问却不能凭自己的能力找到解答，则可能被灌输，可能失去继续质疑的自信，反而不美。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-3-6 22:21 编辑 ].

正方形方阵么，a*a
一列走出来，还剩下 a - 1 列
添到行上，行多1
呀，还有一人孤悬阵外

如此可知，(a+1)*(a-1)+1=a*a。

可见，教习数学之道唯在于激发孩子的想象力。一道题目，他惦记着想上一天，所得自然是只思考1分钟做完题了事所不能比的。.

一直想写这个部分，但是总有许多疑问，自觉说不清楚，也就不敢写。众多的疑惑中，“方程”便在其中。什么是“方程”？这个词从哪里来的？它的字面意思是什么？我问过不少人，都说不清楚。在网络上，我能搜索到的“方程”见于《九章算术》。

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九章算術卷第八 方程
　　〔一〕今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？
　　荅曰：
　　上禾一秉，九斗、四分斗之一，
　　中禾一秉，四斗、四分斗之一，
　　下禾一秉，二斗、四分斗之三。　　方程術曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。餘如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。餘如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。
======================================

学过初等代数的人见到这段文字觉得很惊奇。三个三元一次的等式求唯一解，老祖宗多厉害啊。为了彰显中国萌芽期数学的成就，于是牵强附会地“方程”引入初等代数。

可是，同样是这段文字，不懂代数的孩童会如何看待呢？那不就是一种巧算的“方”法（或者“程”式）吗？！一部分孩子错误地以为“数学”就是学一些技巧，然后在同学中显摆。“哼，你们傻眼了吧？还在冥思苦想，我三下两下就做出来而且还是对的。”一旦孩子坠入这样的迷途，就可能将学数学变异成向老师讨教方法然后熟练之，没有疑问，没有思考，没有山重水尽疑无路柳暗花明又一村的惊喜，真正的数学思想和真正的数学方法与之无缘。也许成绩并不会立刻下滑，因为他们可以凭借自己的刻苦和老师的勤奋（搜集各种技巧在几分钟內讲给孩子听，搜集各种题目让孩子练，那可是非常累人的事儿哦）取得较好的帐面成绩，但是他们学习数学的方法却停留在萌芽期，他们的数学思想也停留在萌芽期，却试图去解决古典数学的问题，自然会越来越累越来越难堪其负，最后（一般是初二左右）成绩一落千丈。那时，他们就如一个古代人穿越到现代，根本听不懂老师在讲什么，更解决不了那些需要古典数学才能解决的问题。

从代数启蒙的角度说，我们应该抛弃“方程”忘掉“方程”，学代数就用代数的概念，不可再为了彰显所谓祖先的光辉再妄用这些概念。以数学的眼光看，《九章算术》不过一习题集，体现的不过是“民使由之，不使知之”的陈腐理念，中国的古代算术也没有发展出真正的数学，如此返祖于学生何宜？.

酱香烤黄豆
http://blog.sina.com.cn/s/blog_5f5c1dbc01015wl7.html
咩头脑和兔高兴

准备材料:干黄豆约100克,盐5克,棉白糖25克,鸡精3克,蚝油25克.
所需工具:光波炉或烤箱.                                                                          
制作过程:
1.准备材料
2.黄豆用清水浸泡一晚
3.涨大的黄豆滤去水分,倒入盐,糖,鸡精和蚝油
4.搅拌均匀后平铺入烤盘（由于锡纸或油纸较易粘连，所以建议直接使用烤盘）
5.光波或烤箱预热
6.烤箱：将烤盘放入烤箱中层，180度45分钟左右
光波炉：将烤盘放置在低架上,光波175度40分钟左右(外层微酥脆)

函数与变量
初等数学以函数最难以理解。函数的英文是Function，又译为"功能"。光波炉的功能之一便是于难将息的春夜烤个酱香黄豆。把泡好的黄豆入炉,在火力和时间这两个主要变量的影响下，进行动态变化的过程，这就是函数，酱香烤黄豆的函数。
不同的变量值导致不同的函数结果。
F烤黄豆(火力，时间)
用数学表示就是
F(x,y)，x 代表火力，y 代表时间。

F(0,0) 是这个样子的（图最右）：

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F(180度, 45分钟)是这个样子的（以烤箱为例）：

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如何启蒙
这个问题很难回答。本来这是一个自然的过程。动态变化的过程，孩子每天都能观察到的。可是，经过长期刻苦训练后的小五生、预初生，也许已经习惯于具体数字的计算了，甚至完全脱离了生活，那他们就比较难于理解了。我观察到有些初中生一直到了高中都还在试图用算术的思想和方法去解题，也许是因为他们在小学算术中的表现太好了，总想着重温过期的辉煌。但从数学的发展看，萌芽期数学根本不可能有机会超越古典数学，否则大家就只能听到“算术”这门学科而不是数学了。张景中老师在写给小学数学老师的信中特别强调动态函数，或换言之以动态过程的眼光去研究数学，我猜想，大概就是这个道理吧。

当然，启蒙并不是那么简单。就照我上面的讲法讲给孩子听，他们未必能明白。但其实也不必去“教”，理解函数的概念是一个长期的体验和悟的过程，看看人类完成这个过程用了多少时间就知道了。我们所要做也不复杂，引导孩子多关注自然界中时时刻刻发生的各种变化，尝试做探究其中的规律，足矣。到了初中，体验和感悟的差不多了，老师再“升华”一下，孩子自然就恍然大悟了。如果有例外，那就很可能是人之“教育”社会之“教育”扭曲了孩子，使孩子与自然之“教育”脱离了，没有受到自然之“教育”的光辉照耀。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-4-17 14:43 编辑 ].

引用:

原帖由 aochuanhui 于 2013-4-2 12:29 发表
怎么知道1ml是20滴？是问医生的还是自己假设的？

这是个好问题。.

引用:

原帖由 aochuanhui 于 2013-4-2 17:21 发表
我们大概算一下吧, 娱乐娱乐。一毫升=1立方厘米。 假设每滴是直径3毫米球型，体积=3/4 * 3.14 * 0.15 * 0.15 * 0.15= 0.014. 那么 1/0.014=70滴.

有的孩子会这么想，1毫升有多少滴呢？也许他们会采用实验的方法。做个1毫升的纸盒子也可以用来做实验的，当然是在家里用自来水啦。
也有的孩子会运用比例的方法来计算，昨天是每滴多少分钟多长时间挂完，今天是每滴多少分钟，估计多少时间挂完。其实，用比例来解决问题已经是中国在萌芽期数学中的最高成就了。因为它在某些时候可以突破人力的极限，例如测量太阳跟我们之间的距离，可惜的是计算结果不准确，因为古人不知道地球是圆的。

小学生学习数学的特点就是如此。大人看起来，他们既不系统又没有章法还莫衷一是。但不用担心，学数学的好处便在于它内在自恰，规律自在，正确的东西会自己冒出来的。所谓殊途同归是也。

不妨接纳孩子的想法，顺其自然跟着他走。大不了碰壁再回头反思。反正这也是学习数学的重要环节之一。

说起吊盐水，从大班开始，我就让孩子背一个小包，带上他的玩具、手帕、水。等他大些了，就带上书。如果我陪他，就会准备一些故事或者数学游戏。记得，有几次我们玩的是有关八进制数数的游戏。“在很久很久以前，在离我们很远很远的地方，有一个小人国，那里的人每只手只有四个手指。他们数数的时候只能数到7，然后就是10 ...”然后儿子扮演小人国的商人，跟我做生意，买卖饼或者苹果。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-4-17 14:46 编辑 ].

五年级的时候，曾经挂了15天盐水（其实不是大事儿，癣疥之患而已。但也正因为如此，药物要进入毛细血管发挥作用就特别慢），每天要坐3个小时左右的地铁往返，吊水要4-6个小时。要准备故事就没那么简单了。幸好孩子大了，可以自己看书，阅读或者学习数学。而我也只要陪着聊聊天在迷瞪一会儿就行了。.

滴管－－是个好东西。小时候，我特别喜欢收集这些有趣的玩意儿。针头、滴管，各种盒子瓶子。带刻度的，往往是我的收集品中的高级货。有些是没法收集的，例如秤，就照了样子自己做。

儿子也有这个习惯。只是我不再像我的父母，而是鼓励他去做。.

所谓“方程”会了，其实就已经具备初等代数的能力了。那时，当然视小学奥数如草芥。小学奥数再难都脱离不了萌芽期数学的那些东西。

让孩子在小学阶段就具备初等代数的能力，这是很吸引人的想法。但这并不意味着孩子的思维发展可以跳过萌芽期。前面说，函数是对动态过程的规律的描述。如果孩子不是积累了足够的静态值的计算知识，怎么可能有足够的能力掌握动态过程呢？让孩子在小学这个阶段积累足够的体验和感悟，这是一种顺孩子思维自然发展规律的选择。

同时，不跳过萌芽期并不意味着放弃代数的启蒙。事实上可能恰好相反，在教学中要特别着力于代数启蒙。因为代数也是从萌芽期数学中走出来的一个分支。这个代数启蒙当然不是单指“方程”，方程究其原意不过是“方法和程式”。代数启蒙的重点是思想的启蒙。吸引孩子关注自然界发生的各种动态过程，积累体验，感悟其规律。

要研究代数启蒙（更正下，说的大一些，要研究大学以前的数学教育），余以为，一定要看两本书，笛卡尔的《方法》与牛顿的《自然哲学之数学原理》。

另外，萌芽期数学的特点是混乱，但是包罗万象、内容丰富。除了代数以外，其它的数学分支也有在萌芽期的印迹。例如，概率，统计优化，加密解密等。当然，还有几何。初中学习几何的目的是体验和感悟数学的公理体系。要感悟这一点，几何是最古老也是相对容易介入、容易被接受、容易理解的公理体系。

所以，数学启蒙很可能是一个人一生中最重要的数学学习阶段。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2013-4-7 13:50 编辑 ].

引用:

原帖由 aochuanhui 于 2013-4-7 14:08 发表
“方程”会了，根本不能视小学奥数如草芥。 方程对盈亏问题，行程问题有效，但对数论，排列组合，几何等无效。

现在的小学奥数已经是走的太远了 ... 用正常的教学方法不使孩子变态的话，已经遥不可及。非常即妖。妖，也是非常的尽头了。.

那么，换句话说，我们在孩子学习数学的初期把数字限制在10以内20以内，是不是为了解决孩子实验的问题呢？.