这是一道100%的数学题。
解题的关键在于对于题目的理解。
“你能用另一种方式来叙述这个问题吗？“
其实，这道题的精髓在于数学中我们怎么来对一个概念下定义。.

hxy007是一个懂数学的好爸爸。我特别行赏你可以用孩子听的懂的语言来表述你的意思。

你之所以举船长岁数的例子，是因为你这个例子也涉及到在数学中如何对一个概念下定义。这一点确实比较抽象，但正是你举的聪明蛙和船长岁数的题目的关键所在。

“几天爬出10深的井口”是定义为”向上移动的距离初次达到10米的那一天是第几天“还是定义为”在第几天结束的时候向上移动的距离达到或超过10米“是关键。

其次，对这道题目还可以进行展开。为什么”初次达到“的定义表述在这到题目中会那么重要呢？因为青蛙向上移动的距离反复地增加和减少，不是单调递增的，所以某一个高度青蛙可能会经过几次，故而有区别“初次”“第2次”的必要。”单调递增"的概念比较抽象，可以通过画图让孩子理解，并且可以让孩子发现对于某一个高度，青蛙可能会经过1次，2次，3次，但绝不会经过4次。然后还能继续扩展。。。。.

不出所料，你之后的帖子也全都是围绕了“定义”这个解题技巧展开的。.

其实这个帖子也间接说明了好老师的重要性。
BBMM们也不用因为自己没有能力像那两位对于数学非常有感觉的BB一样辅导孩子而苦恼，替代的方法还是有的。我想大多数爸爸妈妈都达不到他们的数学辅导水平的，还是进名校，看好书吧。.

这是一道物理题。
每个孩子天生都喜欢做实验，BBMM要多多鼓励孩子通过实验来认识这个世界。.

这个帖子看到这里，终于发现原来两位都是得到过名师指点的。
呵呵，ＢＢＭＭ们知道怎么办了吧。.

孩子问你一个问题，既然老草每天都被牛爸爸吃掉６份，那么为什么每天长出来的新草还是一样多呢？

哈哈哈。.

我小时候也做过这道牛吃草的题目，不过我就是没做出来，答案我也看了，当时也没理解。为什么呢，因为我第一次读题目，就认为“草每天都在长”不是一个不变的量，而是随着草的不断减少而减少的量。
当然，这个假设也仅仅是一个假设而已。也可以假设草的增长量是定量。比如说，可以假设只要草的根还在，它就每天能长高一定的量，而牛不会把草的根也吃下去。但是这样一来爸爸的算术思路又会有一个新问题，那些牛妈妈，牛妹妹是只吃新草的，所以就得认为他们在每棵草上都咬固定长度的一段，这种吃法实在太累了。
后来我发现，按照这个思路来考虑应用题，就快接近语义分析了。
把数学用应用题来教实在不是一件容易的事情。.

其实如果要正面回答这个孩子的提问，就要涉及到数学模型的设计，以及模型复杂程度等问题了。假设每天长出的新草是一个定量，这也是一种“估算”。.

用一道类似的已知解法的问题来解决未知解法的题目，这也是重要的解题技巧之一。.

其实整数域里面的乘法是用加法定义的。代数中所谓的乘法在整数域中是不完备的，因为对于所有非零整数ｘ，１／ｘ并非也是整数。正因为如此，才需要把整数扩大。

上面的表述可能不太地道，因为我是学文科的。.

我说的解题技巧就是你说的重要的数学思想，只是你可能对我的用词不太满意。.

我说的名师，你也可以理解成是“好老师”，这和名校可以理解成“好学校”一样。.

你有今天离不开好老师的栽培教育之功，这一点从你的帖子里就完全可以证明。
通过你这个例子我想说明的是，教育这两个字无法脱离”师“，没有”师“，学不好，”师“具有决定性的作用。
我们把学东西称作”拜师“是很有道理的。.

社会是不断进步的，我敢肯定，就义务教育阶段的教材水平以及平均教师水平而言，现在绝对远远领先于20，30年前。BBMM真的不必太过担心。觉得学校里教的就全都是应试全都没用还全都会摧残孩子。
我就亲眼看到ww上不少父母对自己孩子的小学作业的目的所在根本不能正确领会。.

波利亚的《怎样解题》应该是你想找的书。.

你被书名误导了。.

实际上数学家希望证明某一个命题，也是一种解题，这本书中说的方法就是数学家的思想方法。对于孩子来说，在解每一道没有作过的数学题时，面临的工作和数学家是一样的。.

所以我给你推荐了这本不需要多少数学知识就能完全看懂，又能达到你的目的的书。
多说无益，有空可以到书店翻翻，我想你会改变现在的看法的。.

你说的固然不错，但你应该容许我避免在论坛上写论文吧。
我说的命题，你把它理解得包括猜想不就行了。
至于你说的表述问题，之前我提到的“定义”技巧也和这个有关。
最后你认为提出问题（命题也好猜想也好）很重要，这当然没错，但是提出问题的方法，老实说根本没人研究得清楚。
你是数学系的，应该知道拉马努金，你说他的那些不等式是怎么想出来的，天底下没人知道。
所以，能谈谈的只有解决问题的方法了。.

在解决数学问题时，有效准确地下定义确实是一种重要的技巧 。具体的分析我在青蛙爬井的例子中已经有比较详细的说明了。
我并没有说，所有的概念的定义，都是解决数学问题的某种技巧的体现，我想你误会我的意思了。
关于提出问题，首先我和你在之前帖子中谈的是数学研究范围内的“提出问题”，我们似乎并没有谈一般意义上的提出问题。其次即便就一般意义上的提出问题而言，我也不否认这是一种重要的能力，但是这里提出问题需要的不是技巧是想象力，所以我不准备谈什么提出问题的技巧。
至于对你通过客观世界来引导孩子学数学我不准备发表什么意见，但是就我所知，现代的数学特别是纯数学和客观世界确实没多大关系，不少著名的数学家都不是为了客观世界而进行思考的。如果是我的孩子的话，我可能会为他能够认识到“没有用”的数学的价值而欣慰。.

有些人对于数字的喜爱是不需要背后的意义的。
或者说再他们眼中的“意义”在其他人（甚至包括一部分其他数学家）眼中根本不是“意义”。
比如说奥数一定涉及的整除，余数，素数等知识吧，这些的全部意义就是数字上的意义，任何超出数字的解释都是画蛇添足。
你的孩子喜欢数字，可能每个数字在他眼中都是一个精灵，都是他的一个特别的朋友吧。
这没什么好奇怪的，有的孩子喜欢昆虫，每种昆虫都分得清清楚楚，津津乐道；有的喜欢恐龙，有的喜欢兵器，有的喜欢奥特曼，有的喜欢动漫游戏，有的喜欢。。。所以喜欢数字也一样。.

如果是我的话，我会这样来讲。
你需要理解，“数值”和“数值的表达形式”是2回事。
比如说0.3333.....和1/3的值相等，但是表达形式很不一样。
其实，小数这种表达形式是人们为了书写简便而创造的。
比如说一个小数0.123其实它在10进制下的值就是表示（1/10+2/100+3/1000）的和。
而0.999999.....的值就是（9/10+9/100+9/1000+9/1000+......）的和。这个和可以用你掌握的方法来计算，等于1。
所以说，1和0.9999....的值是一样的，但他们的表达形式不一样。以后你还会遇到很多表达形式不一样但是值一样的数，这一点都不奇怪，就像同一个人穿了不同的衣服一样。

再扩展一下，你可能会问，我知道0.3333....等于1/3是因为我会列触除法的算式，1除3算出来就是0.3333.....。可是，我用1除1，算式列不出0.99999......，这是怎么回事呢？
我告诉你，用1除1，算式也可以列出0.99999......。
诀窍就在于你的第一位不要马上写出1来，而是写一个零（现在我们的除法还没做完呢，只要最后没有余数，我们就除好了，不是吗？）。然后，被除数是1.0，除数是1，商现在是0.，接下来你试着写一个9（你未必知道10除以1等于10的，我们试一下，只要最后能够除尽，不就行了吗？）。继续下去，你发现什么了，你除出来了，1除1的商是0.99999........。

[ 本帖最后由 jyuntoku 于 2008-12-9 16:57 编辑 ].

按这样教无穷大的概念确实比较形象，但会有以下缺点。
因为老师可能教过，任何数乘以0等于零。
而除法是用乘法的逆运算来定义的，求一个数除另一个数的商，其实就是求除数乘以多少的结果等于被除数。
那么，如果1除0等于无穷大的话，就意味着无穷大乘以0等于1。这和老师教的任何数乘以零等于零就有矛盾了。

我认为有必要从一开始就告诉孩子，无穷大不是一个数。是为了能够让零做除数，我们才特别造出一个新的概念叫无穷大。它和其它的数很不一样。不一样在哪里呢？我们可以讲很多小故事。比如说有名的旅店排房间问题。

如果有BBMM认为没有必要给孩子讲得那么深，那么我建议，索性就和孩子说我们现在手头的数里找不到任何一个和零乘起来等于1的，所以我们写不出1除零等于几，我们现在手头的数并不完美，不够用。这样的困惑是符合人类认知数学探索数学的历史规律的。以后，让孩子带着这个“无法解决”的问题接触无穷大的概念，他会得到更多东西。.

下面我想写为什么我们需要有一个零，以及为什么任何数乘以零等于零。

我先有了自然数（从1开始，可以和我们看到的客观世界的物体的数量对应）。自然数是建立在“1”之上的。我有了1，意味着我们可以把某样东西认识为“一个”对象。然后我们会数几次“1”，就有了所有的自然数。每个自然数意味着我们数了若干次的“1”。

然后我们发明了加法。2加3，意味着我们数了二次”1“以后又继续数了三次”1“，我们发现这和我们从一开始数五次”1“的结果总是一样的。所以我们把数了二次'"1"写作2，数了三次”1“写作3，数了五次”1“写做5，而且我们用+来写加法的话，就有2+3等于5。我们惊讶地发现，我们总能找到任何两个数的和，因为只要我们数下去就能数到那个数。我们非常高兴，因为我们有一座数字组成的完美的宫殿。

我们有了加法还不满足，我们还想知道哪个数加上3等于5之类的问题的答案。我们把这个答案写作5-3，根据我们做加法的经验，我们知道5-3等于2。

但是我们很快就遇到麻烦了，我们找不到3-3，或者3-5的问题的答案。在我们已经有的数里找不到这些问题的答案。我们很犯愁，觉得之前的数字宫殿一下子就变成了一栋破屋。

我们绞尽脑汁想解决这些让我们束手无策的问题。我们开始尝试，我们假定我们找到了3-3的答案，我们把它叫做零，根据我们做加法的经验，零+3应该等于3。迄今为止似乎没什么可抱怨的，只是，难道我们要给之前的每个数（暂且称为“老数”）都配一个新的数来表示那个老数自己减去自己吗？那可太麻烦了。

让我们走得再远一点，我们知道2+3=5，你猜我们发现了什么，我们发现，既然零+3=3，那么零+3+2=零+（3+2）=零+5，同时零+3+2=（零+3）+2=3+2=5，啊哈，原来零+5=5。看来，任何一个我们之前用的数（暂且叫“老数”）-同样一个老数，也都等于零。我们不用找那么多个零了，我们只需要一个零，就能写出所有老数减自己的答案了！我们把零写作”0“。

今天暂时写到这里，我们把零给发明出来了。其余部分以后有时间，我会接着写的。.

我在列除式的时候没有用到你说的余数的概念。
我只是说，只要我们最后除法算式能减出零来，我们就除完了。

另外，余数的概念是基于整除的概念产生的，我们讨论商是小数的时候，根本不会有整除，所以也不会有余数。.

我又想了一下，提到余数反而更容易说明。

7/3=2余1。余数的概念是这个意思 ：
7/3=2余1=2*3+1。
同时，我们也可以写出这样的等式：（只不过这里加号后面不再是余数了，但不妨碍等式成立）
7/3=1*3+4=0*3+7

我们在做那个除式的时候就是想通过算式算出，1/1=0*1加几？
我们除出来，1/1=0*1+0.999.......。所以0.999......=1.

无穷大和无穷小在实际生活中没有对应的概念。
用聚沙成塔打比方，就算“懂了”，也是感觉上的“懂了”，其实没有懂。
特别是以下这段话，用来解释无穷小和无穷大是有误导性的。
每一粒沙子都还是沙子，可是当很多很多沙子汇集在一起，就发生了完全不同的变化，最后变成了塔。
而从一个塔上拿掉一粒沙子，塔还是塔，可是如果你不断地一粒粒地把沙子拿走，原来的塔总会变成沙子。.

赞同。.

所以，要让孩子真正领会数学的美必须要有一定的逻辑推理，让孩子从逻辑推理中享受数学的美。
文学性的类比可能有些勾起兴趣的作用，但它的害处也是显而易见的，就好比你拿糖来引诱孩子吃中药，无论你拿出的糖多甜，最后他吃到的中药总是苦的，即使他乐意吃药，但实际上他看中的还是吃糖。.

无限和有限有界限吗？如果有他们的界限在哪里？无限在我们的生活中真的不存在吗？

答：这两个概念之间没有界限，如果从语义上粗略来讲，无限是没有或找不到边界的一种状态，而有限是有边界的状态。而这里的“边界”并非是有限和无限“之间”的界限。
   而生活中实在的认识对象，其本身就是以它的“边界”来定义的，拿掉这个“边界”就没有了实在的认识对象。一个方框的里面部分是有边界的，但把边界去掉，方框本身就不存在了。
  所以我们找不到这样一个“界限”，一个有限的认识对象经过一种变换能越过这个”界限“变为无限的对象。
  无限这个概念只存在在我们的抽象思维之中，没有客观实在。比如你运用的”很多很多“”很小很小“”一粒又一粒“这些语言，就是在不自觉地从客观实在走进抽象思维。你再看一下你用的这些词，你会发现你用它们来表达的意思完全不在他们的字面意义里。
  不要小瞧孩子，我们每个人都天生具有抽象思维的能力，在我们自己的思维世界里，我们每个人都是那个世界的上帝。.

悟到了并非真正懂了，完全有可能根本没懂但觉得自己懂了，这种情况比知道自己不懂还要糟糕。.

文学开发智力的作用一点都不比数学差，并且很多方面还超过数学。.

师傅说：”色即是空“。
小和尚悟到：”女人是老虎“。
这也是悟到。
第二天，师傅说我悟到的其实也是”女人是老虎“。
原来，师傅也悟到了。.

请问矛盾在哪里？.

我不知道你是否真正学习过数学上有关无穷大的概念，还是说你关于无穷大的概念是自己”悟到“的。
如果是前者，我觉得你要么别教孩子否则也不要把误导性的知识教给他；如果是后者，我只能说可能你”悟到“的无穷大不是数学上的无穷大。当然，我不是说数学上的”无穷大“一定要写出来而悟不出来，只是似乎和你和你孩子“悟到”的有本质的区别。

[ 本帖最后由 jyuntoku 于 2008-12-11 19:20 编辑 ].

就事论事而言吧，（反正这也是所有搞数学的人的脾气）。
确实在球面“上”是无几何边界的。
但是，首先球面不存在实际生活中。
其次，我回答中用的边界这个词不是指的几何边界，而是指我们的感官认识能把一个实体和另一个实体区别开来的感觉上的差异。.

你儿子能回答出圆，不是因为你给了他一个无穷大的概念，而是他的基因里面，或者说我们人类的基因里面有这样的抽象思维能力在内。
并且，这种基因带来的与生的抽象思维给出的回答并不是基于无穷或者极限的概念，而是基于形状的相似。你的儿子只不过觉得得你描述的那个形状很“像”圆而已。
但我们的基因不是万能的，人类的基因不会让我们“悟出”怎么解微分方程，至少目前不会。.

你要排除“无限”，你必须先知道你排除的是什么，换句话说你比需先有一个”无限“的概念。
而你不可能通过全部都是有限的客观世界的感官认识而不经过抽象思维在脑子里面形成一个”无限“的概念。.

我觉得回上面的这些帖子于我有意义。否则我也不会打那么多字了。
而且，我想我的绝大部分帖子应该是围绕“畅谈亲子数学，兼谈数学的乐趣”的主题展开的。
既然是畅谈，我个人理解应该是欢迎不同的意见的。
当然这个不同意见并不是要辩论，而是陈述，因为网上的帖子本来就是给不特定多数人看的，他们才是真正的目标受众。.

我是赞成存疑的。
亲子教育中，父母未必一定要处于引导和解释或者点化的地位，而是可以肯定孩子的疑虑，和问题，帮助他归纳和正确地表述问题，鼓励他自己思考，并且对他思考的弱点进行攻击，以促进他进一步的思考。
思考的过程中得到乐趣，才是真正的乐趣，哪怕没有思考出满意的答案。.

对于你这篇评论，其实我在发帖时早有心理准备会接受这样的批评。
如果在10年前，我想我会毫不犹豫地赞同你的观点。
但是，现在，哪怕冒着被你砸的风险，我还是会选择码那么多字。
我其实是学文科的，数学完全只是个人兴趣而已。这一事实不知道是否能拂拭你的一些“应试”“教条”的印象。.

讨论班在国外是很传统的了，其实中国早几十年前也有的。
你老师知道选外文的教材，那么决定用这样的讲课方式也不为怪了。
猜一下，是不是用的哈密尔顿的书啊。

好老师和好学生加在一起那还有什么是不可能的。
所以我一直劝父母要让孩子上好学校的。.

死亡诗社里面的中学就是美国典型的私立名校，很贵的。
和成长的烦恼里面麦克念的中学自然不能同日而语。.

我真的没有对你恨应试训练不满啊。再说你好像也没怎么写自己的恨嘛。
只是就事论事而已，干嘛动肝火。
孔子曰：人不知而不愠不亦君子乎。.

据我所知上外附中早有这样上课的。
当然不是节节课这样，因为有些课不适宜用这种方法。.

我说的就是十几年前的事情。.

上外附中在虹口区。.

既然是大三的课，那么应该是统计系或数学系了。
汉密尔顿的书一般是研究生用的，我猜错了。我以为你说的是研究生的讨论班，因为人数的关系。.

帖子是大家看的，我回你的帖子也是给大家看的。
所以我才不在乎你个人的态度。.