求所有的正整数n，使得n4-4n3+22n2-36n+18是一个完全平方数。.

n=1.

当 n>1时， 若n=2k， 则原式可表达为4m+2；若n=2K+1，则原式可表达为4m+3。故不可能为完全平方数。.

汗
n=3的时候，多项式的值是81啊。

另外你这个结论肯定是错的，
因为“若n=2K+1，则原式可表达为4m+3。”与“n=1时候成立”是矛盾的。.

解: n^4 - 4n^3 + 22n^2 - 36n + 18
  = n^4 - 4n^3 + 4n^2 + 18n^2 -36n + 18
  = (n^2-2n)^2 + 18(n^2-2n) +18
  = (n^2-2n+9)^2 - 63
  = k^2 (k∈N)
∴(n^2-2n+9)^2 -k^2 =63
即(n^2-2n+9-k)(n^2-2n+9+k) = 63
∵△ = 4-4(9+k) = -32-4k < 0  ∴n^2-2n+9+k > 0  ∴n^2-2n+9-k > 0
(1) n^2-2n+9-k = 1, n^2-2n+9+k =63, 此时无正整数解
(2) n^2-2n+9-k = 3, n^2-2n+9+k =21, 解得 n =3
(3) n^2-2n+9-k = 7, n^2-2n+9+k =  9, 解得 n =1

所以满足条件的正整数解为: n=1和n=3

[ 本帖最后由 一叶轻舟 于 2009-5-6 08:23 编辑 ].

嘿嘿
干净利落。

除了没有说明为什么两个括号都是正的，虽然这是比较显然的。.

谢谢指正, 已经修改.

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