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[数学] 对称式和轮换对称式及其因式分解

1楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-11-20 11:28 只看此人

对称式和轮换对称式及其因式分解

如果把一个代数式中的任何两个字母对调，得到的式子和原来恒等，则这个代数式就是它所含的各个字母的对称式。
   比如x+y、xy、x^2+y^2，这几个是二元的对称式。x^3+y^3+z^3-3xyz、(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3，这几个就是三元的对称式。
   如果把一个代数式中的字母轮流的把x换成y，y换成z，z换成x，其式与原来的式子恒等。称为关于字母x、y、z的轮换对称式。
   比如x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)，如果交换其中两个字母，和原来是不相等的，但是如果将三个依次交换，就没有问题。
   显然对称式一定是轮换对称式，反之不一定。

   要解决轮换对称式的因式分解，要知道两个知识：
1、如果(a-b)是三元轮换对称式的因式，那么(b-c),(c-a)都是原多项式的因式。

2、如果将a-b=0代入原多项式，原多项式等于0，那么(a-b)就是原多项式的因式。这个是因式定理，在此不作解释了，有兴趣的同学可以查一下书，因式定理是余数定理的推论，而余数定理在教科书上就有。

   轮换对称式的过程：

1、猜：利用因式定理猜出一个因式；

2、轮：利用知识1，写出另外的因式；

3、补：补上系数和次数；（如果等式两边次数相等，那补系数k；如果等式两边次数差一次，那么补上k(a+b+c)；如果等式两边次数差二次，那么补上k(a^2+b^2+c^2)+m(ab+bc+ca)）

4、代：代若干组数进去；

5、解：利用方程（组）把k、m算出来；

6、答：写结论。

   下面用几个例子来说明上述过程：
例1、(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3

1、猜：将a+b=0代入 (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3，得到(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=(0+c)^3+b^3-b^3-c^3=0，于是可以知道原多项式有因式(a+b)

2、轮：可以知道另外有两个因式(b+c),(c+a)。

3、补：由于等式左边是(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3是三次式，等式右边是(a+b)(b+c)(c+a) 是三次式，次数相等，所以等式应为(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=k(a+b)(b+c)(c+a)。

4、代：将a=1,b=1,c=1代入上述等式，可以得到3^3-1^3-1^3-1^3=k(1+1)(1+1)(1+1)。

5、解：解上述方程，可以求出k=3

6、答：(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a)

例2、a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)

1、猜：将a-b=0代入a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)，得到a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)= b^3(b-c)+b^3(c-b)+c^3(b-b)=0，于是可以知道原多项式有因式(a-b)

2、轮：可以知道另外有两个因式(b-c),(c-a)。

3、补：由于等式左边是a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)是四次式，等式右边是(a-b)(b-c)(c-a) 是三次式，次数差一次，所以等式应为a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=k(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)。

4、代：将a=0,b=1,c=2代入上述等式，可以得到0^3(1-2)+1^3(2-0)+2^3(0-1)=k(0+1+2)(0-1)(1-2)(2-0)。

5、解：解上述方程，可以求出k=-1。

6、答：a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)= - (a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)

例3、(x+y+z)^5-(x+y-z)^5-(x-y+z)^5-(-x+y+z)^5

1、猜：将x=0代入(x+y+z)^5-(x+y-z)^5-(x-y+z)^5-(-x+y+z)^5，得到(x+y+z)^5-(x+y-z)^5-(x-y+z)^5-(-x+y+z)^5= (0+y+z)^5-(0+y-z)^5-(0-y+z)^5-(-0+y+z)^5=0，于是可以知道原多项式有因式x

2、轮：可以知道另外有两个因式y,z。

3、补：由于等式左边是(x+y+z)^5-(x+y-z)^5-(x-y+z)^5-(-x+y+z)^5是五次式，等式右边是xyz是三次式，次数差二次，所以等式应为(x+y+z)^5-(x+y-z)^5-(x-y+z)^5-(-x+y+z)^5 = (k(x^2+y^2+z^2)+m(xy+yz+zx))xyz。

4、代：将x=1,y=1,z=1和x=1,y=1,z=2分别代入上述等式，可以得到(1+1+1)^5-(1+1-1)^5-(1-1+1)^5-(-1+1+1)^5 = (k(1^2+1^2+1^2)+m(1×1+1×1+1×1))1×1×1和(1+1+2)^5-(1+1-2)^5-(1-1+2)^5-(-1+1+2)^5 = (k(1^2+1^2+2^2)+m(1×1+1×2+2×1))1×1×2。

5、解：解上述方程，可以求出k=80,m=0。

6、答：(x+y+z)^5-(x+y-z)^5-(x-y+z)^5-(-x+y+z)^5 = 80(x^2+y^2+z^2)xyz

   以上就是解答轮换对称式因式分解的标准过程，希望同学们能熟练掌握。

下面留两个习题：
1、(x+y+z)^3-(x+y)^3-(y+z)^3-(z+x)^3+x^3+y^3+z^3
2、(b-c)(b+c)^4+(c-a)(c+a)^4+(a-b)(a+b)^4

[ 本帖最后由老猫于 2010-8-3 13:44 编辑 ].

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2楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-11-20 11:30 只看此人

由于旺旺爸偷懒，没有给论坛设置上标功能，所以所有的次方都跟在字母后面了。
如果跟在字母后面也就算了，少量的跟在了数的后面，就可能会混淆，大家读的时候小心一点，谢谢。

今天心情大好，所以顺手把所有的次方都改写了，这样就不会搞错了。

[ 本帖最后由老猫于 2010-8-3 13:45 编辑 ].