我昨天提到了外心、垂心等特殊点的轨迹，其实特殊点并不是问题的关键。只要一个点在三条对称线所围成的三角形（我也改称其为△D′E′F′）中的相对位置保持不变，那么其轨迹就是一个圆，而且不管平移方向为何，旋转中心为何，它总与△ABC的外接圆交于一个定点，这个定点的位置是由所取点在△D′E′F′中的相对位置决定的。对此，我已给出了一个完美的结论，使问题得以最终解决。
不过这个结论在外人看来或许有些费解，未必能看出其深刻之处。但想必也一定有人能感受到它的价值：.

结论三    设P′是△ABC外接圆上任一点，过垂心H作P点的西摩松线的平行线，并在这条平行线上取两点P和Q（在H点的两侧），满足：│PH│×│HQ│＝2Rr，其中，R是△ABC外接圆半径，r是△DEF内切圆的半径。再过Q作任意直线L，记L关于△ABC三边的轴对称直线所围成三角形为△D′E′F′。那么，结论是：D′、E′、F′、P′四点一定与D、E、F、P四点反向相似！.

补注：在结论三中，2Rr也等于AH×HD（或BH×HE及CH×HF）。

有了结论三，就把轨迹圆所经过的那个神秘的不动点刻划清楚了。是不是呢？

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-17 08:50 编辑 ].

当P点取成△DEF的外心、垂心等特殊点时，就可分别得到已经讨论过的那两种特例。换句话说，不动点P′在外接圆上的位置取决于P相对于△DEF的位置，两者是通过西摩松线来沟通的。.

至于欧拉线所经过的定点，我也有了一个深入的结论：

结论四    △ABC的每边所在直线关于三边对称线（其中有一条不动）围成图中阴影的黄色三角形，共三个，其相应的欧拉线所围成的三角形记为△A′B′C′。任意直线L关于△ABC三边的对称直线所围成的三角形记为△D′E′F′。当L绕定点P旋转时，则△D′E′F′的欧拉线也必绕一个定点P′旋转，且P′、A′、B′、C′四点一定与P、A、B、C四点反向相似！

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-16 10:11 编辑 ].

我来揭示这个图形的意义
其实研究一条直线关于三边对称线这一课题是对西摩松线的斯坦纳定理之深化。
斯坦纳定理指出：“外接圆上任一点关于三边的轴对称点一定共线，所共直线还经过△ABC的垂心。”
斯坦纳定理的逆定理是：“一条直线关于△ABC的轴对称线共点的充要条件是它通过垂心H，而且所共点一定落在外接圆上！”（参见梁绍鸿《初等数学复习及研究》复习题三第39题）
上述结论二是对这一逆定理的加强，给出了不共线情况的定量描绘。也就是说，三条轴对称线围成的三角形的大小取决于垂心H离开直线L的距离。
注：三对称直线所围成的三角形总与△ABC的垂三角形反向相似。.

我正在写这题与三相似图形的内在联系，但刚刚来了客人，中断了。
网络又不好，忽断忽续，写了老半天，还没有整理成文呢.

但我上面为什么说这个图形和轴对称的关系不密切呢？

原因是，可以从另一角度来理解这个图形：设作△ABC每一个顶点关于对边的轴对称点A′、B′、C′，得到四个相似三角形——△A′BC∽△AB′C∽△ABC′∽△ABC，其实△ABC与前三个是否相似并非问题之关键，只要周围三个三角形按这样的方式相似，就可把它们理解成三张相似的“地图”，问题就变成三张图中的对应直线何时共点这一颇有意味的问题了。

所以说，本图中的△ABC的外接圆其实就是三相似图形的“布洛卡（Brocard）圆”，一旦三对应线共点，所共点就一定落在该圆上！.

对于更一般的三相似图形，也就是说：将任意三张顺相似的“地图”重叠在同一平面上，这时可以提出一连串有意思的问题。例如：何时三对应点共线？何时三对应线共点？所共点形成的轨迹是什么？等等。这些都是带有一般意义的基本问题，值得讨论。而这正是《近代欧氏几何学》最后一章的研究范围。
只要三相似图形不退化，就一定能从中找到满足：△A′BC∽△AB′C∽△ABC′的六个点。其中，
A是地图Ⅱ和地图Ⅲ的相似不动点，A′是这个不动点在地图Ⅰ中的相应点；
B是地图Ⅲ和地图Ⅰ的相似不动点，B′是这个不动点在地图Ⅱ中的相应点；
C是地图Ⅰ和地图Ⅱ的相似不动点，C′是这个不动点在地图Ⅲ中的相应点。
这三个相似三角形的形状称为该三相似图形的“特征三角形”。
关于这种一般情形，其实有不少结论还是可以跟上面的特殊情形进行类比的。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-16 14:29 编辑 ].

刚收到美国数学奥林匹克国家队教练冯祖鸣先生邮件，里面提到一个平面几何题：

Hi, any interested problem can be made from this:
Let $ABC$ be a triangle, with incenter $I$. Its incircle touching the sides $BC, CA, AB$ at $D, E, F$, respectively. Line $EF$ intersects lines $BI$ and $CI$ at $Q$ and $P$, respectively. Lines $BP$ and $CQ$ meet at $X$. Then $XI$ is perpendicular to $BC$.
Any new geo. problems?Best

其实，这道题恰好等价于我为江苏省第十届初中数学竞赛（1995年？）所供的平面几何题：
“已知三条线段AB，BC，CD都与圆O相切，且AB＝BC＝CD，联结AC，BD交于X点，T是BC上的切点。求证：XT⊥BC。”

有兴趣的同学不妨思考一下，并比较一下两者的异同。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-16 14:28 编辑 ].

在一般的三相似图形中，可以保证AA′、BB′、CC′这三条联线一定共点，所共点P称为该三相似图形的“广义Fermat点”。
不难证明，三对应直线所围成的三角形a′b′c′的形状是固定的，它总是反向相似于P关于△ABC的垂足三角形abc。而且在△a′b′c′中找出P关于△abc的相似对应点，记其为P′。那么P′一定位于△ABC的外接圆——三相似图形的布洛卡圆上！
这就是命题一在三相似图形中的推广形式。在特殊情形中，H是垂三角形的内心，因此P′也就取内心了。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-16 15:20 编辑 ].

在一般三相似图形中，命题二也有其推广形式：
广义Fermat点关于△ABC的等角共轭点称为“广义等力点”，记其为Q，则Q关于△ABC的垂足三角形一定反向相似于特征三角形。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-16 15:40 编辑 ].

有意思的是：在特征三角形△A′BC、△AB′C、△ABC′中，与Q点对于其垂足三角形位置相应点Q1、Q2、Q3就是联线与AA′、BB′、CC′与布洛卡圆各自的交点！
与命题二相应的结论是：“三对应直线当且仅当各自经过Q1、Q2、Q3时共点，所共点也一定落在布洛卡圆上！”
而且，当三对应线并不共线时，它们所围成的三角形之大小，也与对应直线离开Q点的距离成正比。只是像命题二那样完美的定量结论对于一般的三相似图形目前还暂没有找到，有待高手们努力！.

结论五    当直线L绕着定点T旋转时，三条对称线所围成的三角形D′E′F′中的固定点P′的轨迹是圆，其半径r′等于
                                                             （PH×TQ）/2r，
其中P是垂三角形DEF中相应于P′的点，Q就是结论三中所构造的那个点，r是△DEF内切圆的半径。


结论三其实是结论五的特例，当r′退化为0时的情形。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-17 09:56 编辑 ].

关于三相似图形研究，有两项小进展：
（1）当三相似直线（在各自的地图中）绕某定点旋转时，所围成的三角形a′b′c′中的定点D′之轨迹总是圆；而且，不管旋转中心怎么移动，轨迹圆总与布洛卡圆交于一个固定的点X，这个X在布洛卡圆上的位置由D′在三角形a′b′c′中的位置所决定。设D′点在广义Fermat点的垂足三角形中的相应位置为D，则固定点X可如下刻划——它关于△ABC的西摩松线恰平行于直线PD！
这使结论三有了延续，但定量方面的结论还未最终找到。然而线索已经发现：像结论五那样，轨迹圆的大小仍取决于旋转中心离开特征三角形中一个神秘点的距离，这个神秘点相当于结论三中费了九牛二虎之力构造出来的那个Q点。不过在一般三相似图形中如何刻划它？这是个绕有趣味的问题。
（2）当三相似直线绕各自特征三角形的外接圆上某定点旋转时，所围成的三角形a′b′c′的外接圆必经过布洛卡圆上的一个定点。这两个定点间的联系亦尚未刻划成功。.

“如图，设任意点关于△ABC三边的对称点分别为D、E、F。△ABC的外心和垂心分别为O、H。
求证： S△DEH∶S△DFH＝S△ABO：S△ACO。”.

不要小看这题，它在三相似图形中具有较深的涵义。.

谁能给出这题的好的证法？
老封又将送出一本书作为悬赏。.

这两天一直在思考这道涉及面积的命题，其实这个结论是我一个朋友于1999年前后就提出了，但我好像总没找到简单的证明。为了给出有效证明，近日我产生了一个推广斯坦纳（Steiner）定理的有趣思路：
当P点在△ABC的外接圆上时，由斯坦纳定理知：P关于AC、AB的对称点E、F与H三点共线。
当P点不在外接圆上时，发现△HEF的面积取决于P离开外心O的距离。我已推导了定量的表达式：.

有了这个公式，那么前面那道涉及面积比的题目就不难证了，大家不妨试试。
而且，还可将垂足三角形面积的欧拉公式作为其推论：.

斯坦纳，一位伟大的平面几何专家，他总是不倦地在思考一些问题。.

这个问题已由安徽唐传发老师给出巧妙的证法!
今天早上他打电话来告诉了我他的绝妙构思，这样做来本题就并不是很难了，现暂且将此题撤去。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-25 11:00 编辑 ].

前天晚上，数学奥林匹克今年国家队的副领队、广州大学计算机软件研究所所长朱华伟教授来电告诉说，他上周曾专赴加拿大，与台湾九章图书公司老板孙文先先生一起，代表中方接受了前美国数学会主席Klamkin先生遗赠给我国的2500余册数学原版书，并将这些图书运回到广州，整整摆放了两间房间！听说其中还包括不少珍贵的平面几何书呢。
Murray Seymour Klamkin，一位卓有成绩的数学家，1921年出生于纽约，2004年去世。他本人对几何十分专长，曾提出过著名的“Klamkin中线对偶原理”，揭示了由三角形的三条中线所围成的三角形与原三角形的一种内在联系，不仅它们的面积有一种明确的比例关系——3比4，而且，再取由第二个三角形的三条中线，所围成的三角形一定与原先的三角形相似，相似比也是3比4。这一原理可有效应用于几何不等式中。
这里留一个题给初中同学思考一下：
“已知一个三角形的三边之长与三条中线之长成比例，问这个三角形必须满足什么条件？”
除了正三角形这一平凡情形外，还有另外一种有趣情形。因为题中并未明确某条中线必需和哪一边成比例，于是出现了其它可能性。大家不妨一试。
注：本题取自毛鸿翔等《直线形》（江苏人民出版社，1980年版）一书的总复习题第35题。.

下面这篇是华裔数学家Andy Liu所写的纪念Klamkin教授一文：

Memorial Celebration of the Life of Murray Seymour Klamkin   by Andy Liu


Let me first make it clear that this is not a eulogy. By my definition, a eulogy is an attempt to make the life of the departed sound much better than it was. In the present case, it is not only unnecessary, it is actually impossible. Murray Seymour Klamkin had a most productive and fulfilling life, divided between industry and academia.

Of the early part of his life, I knew little except that he was born in 1921 in Brooklyn, New York, where his father owned a bakery. This apparently induced in him his life-long fondness for bread. I read in his curriculum vita that his undergraduate degree in Chemical Engineering was obtained in 1942 from Cooper Union’s School of Engineering. During the war, he was attached to a chemical warfare unit stationed in Maryland, as his younger sister Mrs. Judith Horn informed me.

In 1947, Murray obtained a Master of Science degree from the Polytechnic Institute of New York, and taught there until 1957 when he joined AVCO’s Research and Advanced Development Division.

In 1962, Murray returned briefly to academia as a professor at SUNY, Buffalo, and then became a visiting professor at the University of Minnesota. In 1965, he felt again the lure of industry and joined Ford Motor Company as the Principal Research Scientist, staying there until 1976.

During all this time, Murray had been extremely active in the field of mathematics problem solving. His main contribution was serving as the editor of the problem section of SIAM Review. He had a close working relation with the Mathematical Association of America, partly arising from his involvement with the William Lowell Putnam Mathematics Competition.

In 1972, the MAA started the USA Mathematical Olympiad, paving the way for the country’s entry into the International Mathematical Olympiad in 1974, hosted by what was still East Germany.

Murray was unable to obtain from Ford release time to coach the team. Disappointed, he began to look elsewhere for an alternative career. This was what brought him to Canada, at first as a Professor of Applied Mathematics at the University of Waterloo.

However, it was not until the offer came from the University of Alberta that made up his mind to leave Ford. I did not know if Murray had been to Banff before, but he must have visited this tourist spot during the negotiation period, fell in love with the place and closed the deal.

As Chair, Murray brought with him a management style from the private sector. Apparently not everyone was happy with that, but he did light some fires under several pairs of pants, and rekindled the research programs of the wearers.

Murray had always been interested in Euclidean Geometry. He often told me about his high school years when he and a friend would challenge each other to perform various Euclidean constructions. Although the Chair had no teaching duties at the time, Murray took on a geometry class himself.

At the same time, Murray began editing the Olympiad Corner in Crux Mathematicorum, a magazine then published privately by Professor Leo Sauve of Ottawa. It is now an official journal of the Canadian Mathematical Society. Murray also introduced the Freshmen and Undergraduate Mathematics Competitions in the Department.

Geometry, mathematics competitions and Crux Mathematicorum were what brought me to Murray’s attention. At the time, I was a post-doctoral fellow seeking employment, having just graduated from his Department. Thus I was ready to do anything, and it happened that my interests coincided with those of Murray. I was holding office hours for his geometry class, helping to run the Department’s competitions and assisting him in his editorial duty.

I remember being called into his office one day. He had just received a problem proposal for Crux Mathematicorum. “Here is a nice problem,” he said, “but the proposer’s solution is crappy. Come up with a nice solution, and I need it by Friday afternoon!”

As much as I liked problem-solving, I was not sure that I could produce results by an industrial schedule. Nevertheless, I found that I did respond to challenges, and although I was not able to satisfy him every time, I managed to do much better than if I was left on my own, especially after I had got over the initial culture shock.

The late seventies were hard times for academics, with few openings in post-secondary institutions. I was short-listed for every position offered by the Department, but always came just short. Eventually, I went elsewhere for a year as sabbatical replacement. Murray came over to interview me for a new position, pushed my appointment through the Hiring Committee and brought me back in 1980.

Murray had been the Deputy Leader for the USA National Team in the IMO since 1975. In 1981, USA became the host of the event, held outside Europe for the first time. Sam Greitzer, the usual Leader, became the chief organizer. Murray took over as the Leader, and secured my appointment as his Deputy Leader.

I stayed in that position for four year, and in 1982, made my first trip to Europe because the IMO was in Budapest. This was followed by IMO 1983 in Paris, and IMO 1984 in Prague. I was overawed by the international assembly, but found that they in turn were overawed by Murray’s presence. He was arguably the most well-known mathematics problem-solver in the whole world.

We both retired from the IMO after 1984, even though I would later return to it. His term as Chair also expired in 1981. Thus our relationship became collegial and personal. He and his wife Irene had no children, but they were very fond of company. I found myself a guest at their place at regular interval, and they visited my humble abode a few times.

It was during this period that I saw a different side of Murray. Before, I found him very businesslike, his immense talent shining through his incisive insight and clinical efficiency.

Now I found him a warm person with many diverse interest, including classical music, ballroom dancing, adventure novels, kung-fu movies and sports, in particular basketball.

Although Murray had been highly successful in everything he attempted, he will probably be remembered the most for his involvement in mathematics problem-solving and competitions. He had authored or edited four problem books, and had left his mark in every major journal which had a problem section. He had received an Honorary Doctorate from the University of Waterloo and was a Fellow of the Royal Society of Belgium. He had won numerous prizes, and had some named after him.

Murray had enjoyed remarkably good health during his long life. It began to deteriorate in September 2000 when he underwent a by-pass operation. After his release from the hospital, he continued to exert himself, walking up to his office on the sixth floor, and skating in the West Edmonton Mall.

His heart valve gave in November, fortunately while he was already in the hospital for physiotherapy. He was in coma for some time. One day, when I visited him, he was bleeding profusely from his aorta. The doctor indicated to me that he did not expect Murray to last through the day.

Somehow, the inner strength of Murray came through, and on my next visit, he was fully conscious. He told me to make arrangement for his eightieth birthday party, stating simply that he would be out of the hospital by that time. It was a good thing that I took his words seriously, for he was out of the hospital by that time, ready to celebrate.

One of the last mathematical commitment he made was to edit the problem section in the MAA’s new journal Math Horizons. During this difficult time, he asked me to serve with him as joint-editors. Later, he passed the column onto me, but his finger-prints were still all over the pages.

Now I have to try to fill in his shoes without the benefit of his wisdom. His passing marks the end of an era in the world of mathematics competition and problem-solving. He will be deeply missed..

“如图，A、B、C是平面上任意三点。在两圆⊙O1、⊙O2上分别有四个点A1、A2、A3、A4；B1、B2、B3、B4，满足四边形A1A2A3A4与B1B2B3B4顺相似。然后作△C1AB∽△CA1B1，△C2AB∽△CA2B2，△C3AB∽△CA3B3，△C4AB∽△CA4B4。求证：C1、C2、C3、C4四点共圆！”

注：这也是我在1999年时与一位朋友合作的一项研究成果，可惜那位似乎已对数学不感兴趣了。.

这个题目我思考过，有一定心得。下次慢慢细谈.

呵呵，电脑在作怪啊。有时电脑还不如人脑好使呢.

这是一道较常见的几何习题，例如较早时就见于《数学题解》（吉林人民出版社1980年3月版，孙诲正 王得福 于永泉编）一书的（下册）第338页第1题。
如运用初三的知识，可直接证D、E、B、F四点共圆，极为方便；如只运用初二全等三角形的知识，则需如图添一条辅助线EG，然后证△DGE≌△EBF。.

还有一个类似的题，如见于《初中几何妙题巧解》（上海科技教育出版社1989年10月版，蒋声编）第50页：
“在正三角形ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于E，那么△ADE是什么三角形？证明你的结论。”.

证法也类似，有共圆及全等两种手法，所以蒋声先生为这节所取的标题是“初三容易初二难”。

这两题的共同背景是：
设O是定直线L1外一个定点。在L1上任取动点P，作形状固定的三角形OPQ，则Q点的轨迹是图中所示的直线L2（相当于以O为中心的相似变换，将L1变换为L2）。.

反过来，由其逆过程就可得到一个命题：


“命题  设直线L1与L2相交于A，O是平面上一个定点，作∠OPQ＝∠OAQ交L2于Q，则比值OP∶PQ必是定值。”


注：线段OP与OQ的长度之比即为O点至直线L1和L2的距离之比，故定值可在△OPQ中推算而得。
特别是，当∠1＝∠2时，比值恰是1，即此时始终有OP＝PQ的结论。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-31 11:31 编辑 ].

我曾将此命题改编为2003年的均瑶杯的决赛题：.

与王均瑶兄就这一面之缘，可惜他英年早逝了！

[ 本帖最后由 老封 于 2007-6-1 11:12 编辑 ].

我请我大学同学常文武博士将纪念Klamkin一文译成了中文，请大家欣赏。

从文中我们可以得知Klamkin主席既是一位解题大师，然而却对欧氏几何情有独衷。

真正大师级的人物都不会轻视几何的价值。

有人甚至说过这样一段话：

“谁看不起欧氏几何，谁就好比是从国外回来看不起自己的家乡！”

[ 本帖最后由 老封 于 2007-6-7 15:04 编辑 ].

追忆Murray Seymour Klamkin先生   [加拿大籍华裔]刘江枫

    首先声明此文并非歌功颂德的悼辞。我定义那是一种企图让亡者的一生听起来比实际好些的粉饰之词。而当下，这不但是无此必要，还实际上并不可能。Murray Seymour Klamkin先生一生著述颇丰，经历丰富，他的一生可分为工业和学术两部分。
关于其早年生活，我仅知道他生于1921纽约的Brooklyn，那儿他的父亲开着一家面包房，这是他一生喜好吃面包的明显原因。我从他的求学简历得知他的化工学士是1942年从Cooper Union工程学院拿的。他的妹妹Judith Horn女士告诉我，二战期间他曾在马里兰化学武器部队服役。
1947年，Murray获得纽约多技术大学科学硕士学位并在那儿任教至1957年。此后加入了AVCO的研究与高级开发部。
1962年，Murray短暂回归学术界，在SUNY，Buffalo当教授，后又成为Minnesota大学的客座教授。1965年，他挡不住工业界的诱惑参加福特汽车公司充当首席科学家直至1976年。
在所有这些经历中，Murray渐渐成为数学问题解决的活跃分子。他的主要贡献是为SIAM（工业与应用数学学会）评论充当问题部分的编辑。因其介入了William Lowell Putnam数学竞赛，故工作上与美国数学联合会关系密切。
1972年MAA为组建参加1974年的国际数学奥林匹克参赛队做准备举办了美国数学奥林匹克竞赛，那届赛事东道主是当时的东德。
Murray无暇从福特公司获得空闲时间来训练队员，因此失望之余他另谋转换门庭。结果他来到加拿大，先是任滑铁卢大学应用数学系的教授。但是不等Alberta大学的聘书寄到，他已决意离开。我不清楚Murray是否来过Banff，但想必他在谈判期间参观过这个旅游景点，爱上这个地方因此结束了谈判。
作为主席，Murray从私人工作环境中带来一种管理风格。显然并非每个人都愉快地接受它。但是他的确点燃了几把火，让一些人开始了研究的计划。
Murray始终对欧几里得几何感兴趣。他常向我提起他的高中时代，那时他和朋友常常互相挑战几何尺规作图的各种问题。虽然当主席并没有教学职责，但Murray亲自上一个班的几何课。
在此同时，Murray开始在Crux Mathematicorum上编辑奥林匹克角，这本杂志那时是由Ottawa大学的Leo Sauve私人出版。它现在成了加拿大数学会的官方杂志了。Murray还引入了本系的新生与大学生数学比赛。
几何，数学竞赛和Crux Mathematicorum是引起我注意Murray的直接原因。当时我是刚从他的系毕业的博士后，等着雇主的聘书。我肯干任何事情，而且凑巧我的兴趣和Murray一致。我参加他的几何班，帮助他做些组织系内竞赛的杂事和编辑工作。
我记得有一天我被叫进他的办公室。他刚接到一个作者为Crux Mathematicorum写的问题。“这儿有个好问题，”他说，“但是创编者的解答一点都不好。你来给一个好的解答吧，我周五下午就需要它！”
虽然我喜欢解决问题，可我不确信我能通过勤奋和用功找到答案。不管怎样，我发觉自己总是回应了挑战，我不能每次都让他满意，我努力做得比过去更好些，特别是当我已经过了初期的文化震荡。
70年代后期是学术的艰难时期少有为博士后的职位开放。有的职位列出来了但是供短期聘用，最终，我去别处待了一年作为带薪休假。Murray来为我的一个新职位面试我，促使我的任命通过了人力聘用委员会在1980回到他身边工作。
Murray一直是美国IMO1975年以来的副领队。1981，美国成为这项赛事的主办者，第一次在欧洲以外的地区召开。通常的领导人Sam Greitzer，成为了主要组织者。Murray接替了这个领导职位，并且将我任命为他的副手。
我在那个岗位上待了四年，1982年我第一次去了欧洲，因为那年的IMO在布达佩斯举行。后来的一届1983后在巴黎，1984届在布拉格。我因参加这一个个的盛会而深感受宠若惊，也发现与会者因Murray的出席也深感荣幸。他是一个全世界有争议的最知名的数学问题解决家。
1984以后，我和他都退休下来，当然后来我又重返了这个职位。他的主席的头衔也在1981年到期。这样我们的关系成为纯学术和私人的。他和他的妻子Irene没有孩子，他们很好客。我成了定期造访他们住所的客人，而他们也来过我的简陋蜗居几次。
也正是这个时期，我看到了Murray的不同侧面。以前，我觉得他是个商业气息很浓的人，他的天赋闪耀在他真知灼见的观点和手到擒开的高效上。现在我更发现他是一个有多方面的兴趣的人，包括古典音乐，跳舞，传奇故事，功夫电影和运动，特别是篮球。
尽管Murray在每样他尝试做过的事情上都成功了，但他最终可能会被记住的最重要的事是他参与了数学问题解决和竞赛。他创作或主编了四本问题书，在每一个有问题求解的核心的数学刊物是留下了印记。他接受过滑铁卢大学的荣誉博士学位又是瑞士皇家学会的会员。他荣膺无数的奖，某些奖的名称也以他的名字命名。
Murray的漫长的一生健康状况良好。直到2000年才有了些不太妙的情况，那年九月，他接受一次搭桥的手术。当他出院后他继续努力步行上班，登六楼台阶到办公室。还在西Edmonton购物中心滑冰。
他的心脏病在十一月间发作，所幸当时他在医院接受肌肉僵硬治疗。他重度昏迷了些时候。有一天，当我访问他时，他心脏主动脉大出血。医生暗示我他不期待Murray能捱过那一天。
就这样，Murray的内在动力在驱使着他，当我再一次看望他时，他完全清醒了。他要我为他安排八十大寿晚会，说他届时一定会出院。我认真对待了他的话真是做对了，因为他在那时真的出院了，准备好了庆祝。
他的最后一项工作之一是编辑MAA的新杂志数学地平线的问题部分。在如此困难的时候，他请我与他一同工作联合编辑这一期。后来他把这一专栏交给我的时候，他的手写的印记还遍布每一页面。
现在我在试图以不及他的智慧走他未走完的道路。他的逝世也许会是数学竞赛和问题解决的时代的结束的标志，人们会深深怀念他。.

http://ww123.net/baby/thread-4419802-9-1.html.

不久前我曾悄悄地隐藏起一个题目，原因是唐传发先生给出了一种绝妙证法！我们两人商量后，打算择日联手将此题提供给某数学竞赛用。但没想到好景不长，没隔几天，突然见到老姜和他的高足们在帖子中给出了新的证法：http://ww123.net/baby/thread-4419775-19-2.html

呜呼把这藏为竞赛题的梦想泡汤了 ，只得另外再想办法了


现将原题连同唐老师的证法一同公布，与老姜们的证法以兹对照；孰优孰劣，也不敢妄下论断，我想也许是各有千秋，平分秋色的吧。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-6-14 15:46 编辑 ].

“如图，A、B、C是平面上任意三点。过两圆⊙O1、⊙O2的交点P任作三条割线A1B1、A2B2、A3B3，然后作△C1AB∽△CA1B1，△C2AB∽△CA2B2，△C3AB∽△CA3B3。求证：C1、C2、C3共线。”.

如图，设两圆的另一交点为Q，联结QC、QA1、QA2、QA3、QB1、QB2、QB3。易知△QA1B1∽△QA2B2∽△QA3C3。作△Q′AB∽△QAiBi，并联结Q′C1、Q′C2、Q′C3。
为了证明三点C1、C2、C3共线，只要证明如下面积关系成立即可：
S△Q′C1C2＋S△Q′C2C3＝S△Q′C1C3。
由于四边形C1AQ′B、C2AQ′B分别相似于CA1QB1、CA2QB2，易证明∠C1Q′C2＝∠A1QA2（记其为α），∠C2Q′C3＝∠A2QA3（记其为β）。且QC1/AB＝QC/A1B1，即
Q′C1＝（QC·AB）/A1B1，①
同理：                          Q′C2＝（QC·AB）/A2B2，②
Q′C3＝（QC·AB）/A3B3。③
在⊙O1中，由P’tolemy定理得 A2Q sin（α＋β）＝A1Q sinβ＋A3Q sinα。④
又由A2Q/A2B2＝A1Q/A1B1＝A3Q/A3B3，代入④，得
A2B2 sin（α＋β）＝A1B1 sinβ＋A3B3 sinα。⑤
然后把①②③代入⑤，可得到
Q′C1·Q′C3 sin（α＋β）＝Q′C2·Q′C3 sinβ＋Q′C1·Q′C2 sinα，
而这正是我们所需要的面积关系！

[ 本帖最后由 老封 于 2007-6-14 11:27 编辑 ].

为了嘉奖老姜的两位高足徐文浩，罗涛同学，特向他们奖励图书各一册！上面还盖有著名篆刻家李大元先生所刻的一枚精美印章！！！

同样，为了表彰唐传发先生的杰出工作，也向他奖励精美图书一套——《稳操胜券》（上、下册），对于老封来说，这可是所能拿出的最大的奖了。.

不久前，收到春笋逢春雨的一封短信：

老封老师:
    你好,我是春笋逢春雨的女儿,现初二.上次解出了一道有奖题,给你发了短消息,但没回音,好失望哦.  

今天看到154楼的题目,证法如下:

先证明三角形ABO相似三角形DOC,得到角ABD=角ACD.

由D点向AB和AC做垂直线,垂足分别为E和F.DE=DF.

证明RT三角形DEB全等RT三角形DFC,那么DB=DC.

请老师指教,这次有奖品吗?



可恨老封非大款，又自恨不像炫爸那般浑身绑满仙贝 ，一到关键时刻就显得捉襟见肘了。
真希望有哪位大企业家、大富豪、大慈善家突然慈心发现，能为几何爱好者们提供滚滚奖品，大庇天下爱好者俱欢颜……呜呼，吾庐独破受冻死亦足！
不过这样的好心人暂时还没有出现，看来雨后春笋们已没有等待的耐心了。没办法啊，老封只得自己兑现承诺：也向笋逢春雨女儿授以精美图书《奇妙而有趣的几何学》一册——这书可是由名师余应龙先生（特级教师）亲自翻译的，内容真很不错啊！

（以上获奖者请到长久大厦15楼领取奖品。）

[ 本帖最后由 老封 于 2007-6-14 15:48 编辑 ].

不是老赖，是老忘。

现在年纪大了，记性不好了

抱歉啊！

老姜再这么错误地理解我，不是老姜，是老僵啊！.

余老师的译著，也是珍贵礼品啊！

这书只剩最后这几本了，一下子都给我买了。现在用作奖品，更显得可贵啊

余应龙老师


毕业于上海师范学院数学系，中学高级教师。长期担任上海市杨浦区教育学院数学教研员，现任杨浦区中小学学科竞赛指导学校校长。1990年被评为数学特级教师。
余应龙老师热爱数学教育事业，对初等数学和中学数学的教材和教法有深入的研究，教学能力强。既能胜任对各类学生的教学，也善于做好对教师的培训工作。在教学中十分注意发挥学员的积极性，培养学员的逻辑思维能力和创造能力，深受学员的欢迎，教学效果显著。
　　在担任数学教研员期间，余应龙老师努力贯彻上海市教育局提出的"加强基础，发展智力，培养能力"的十二字方针，积极组织各项教研活动，开展数学教学改革，培训了一大批教师，使该区的数学教学质量有明显的提高。
在组织和培养数学尖子学生方面，他从教学内容，数学思想方法的培养和调动学生积极思维方面做了大量的工作，近20年来，他所教的学生在各级各类数学竞赛中频频得奖，在上海市有较大的影响，为上海市的数学竞赛工作作出了贡献。
　　余应龙老师在"数学通报"、"数学教学"、"初等数学论文选"、"初等数学前沿"等书刊上发表了多篇有一定质量的论文。此外，他还参加了上海市新教材，中学教师继续教育丛书及多本数学竞赛培训教材的编写工作。
　　余应龙老师于1989年被授于中国数学奥林匹克高级教练员，1990年被评为上海市特级教师。1990年和1993年两次被评为杨浦区专业技术拔尖人才，1994年获第二届苏步青数学教育奖。.

我拥有一间半属于自己的书房，其中半间是将卫生间改装所成的；并拥有两墙壁联体书架，上下总共有十排，前后可重叠三层。书架还将不断扩张，到客厅，到走廊……
书房中已积有数以万计的自己所喜爱的书籍，其中包括超过一千册各式评论和探讨鲁迅及周作人的专著，有近千本各种《红楼梦》的研究著作，各种旧小说的汇评本、辑较本，有古典诗词、文学评论、外国小说，还有整套影印的《小说月报》，大量外文原版书……
当然也有自己专业上的珍宝：欧几里得《原本》的英文版，出版于一百年前的好几部近世几何原著，各种版本的老式教材，如《霍尔-奈特大代数》、《龙氏解几》之类的原版，此外，还有搜集了很多年的数学竞赛资料。
这在与我同龄的人中间大概算是值得羡慕的了。但对于我自己而言并没有感到自得，反而夹杂着些许遗憾和惆怅。
每个星期，随着逛街归来，一大摞一大摞新的品种又会增添到这一行列中来，总数以惊人的速度在增长，它们已开始堆放到墙根，到窗台，到床底……
这一切都是为了实现我童年时曾经有过的一个梦想。
我是上个世纪×十年代出生的人，从很小的时候起，我就在做美梦了。那时候，我有一颗好奇的心。一到晚上，端个小板凳，坐到凉台上，听舅舅和邻居海阔天空地谈一些稀奇古怪的事情，独自观察天上的星星，在那静悄悄的晚上，我幼小的心仿佛有一种飞似的感觉，世间竟然有那么多新奇而值得神往的东西。每当父辈朋友来作客，议论一些当世的趣闻，我则总是在一旁不作声地听着；有时杂志上登出一二个智力游戏，他们总是兴致勃勃地试图寻找解答，偶尔他们冲着我问道：“这你会不会解啊？”每逢这样的时候我总感到尤其的兴奋，虽说一时我并不会解，但我总想长大后也要像他们一样的有趣。
那时候，可说真像一只刚出世的小鸟，第一次看见这新鲜的一切，禁不住会叫起来：“噢，世界真大！”（安徒生童话《丑小鸭》中语）  对于我来说外面的世界何其神秘，而我则对什么都感到好奇，周围每一件事物都同样地吸引着我，脑袋里满是问号，现在想起来，倒真算得是一个活泼天真的小孩子哩。那时的我对于未来有着美丽的向往，既想当一个科学家，又想当一个探险家，大侦探，甚至像拿破仑那样的英雄，或者做一个巴尔扎克似的小说家，用笔尖来征服整个世界！
有一年，小学快毕业时，学校里大扫除，要我们这些高年级的学生去出点力。一扇贴着封条的门被打开了，露出了几只尘封的书架，以及上面整捆整捆纸质泛黄的文学书籍。要知道，那是主席刚刚去世的年代，像我这样年龄的人除了能看到政治书外，还很少有机会见到其它的书。第一次瞥见这许多新鲜的书名，一下子被那些陌生的封面震慑住了，我的心顿觉有一股荡气回肠的骚动。忘记了当时确切的心情是如何的，只记得那时候已顾不得扑鼻而来的霉味，而是一屁股坐到了满是积灰的书捆上；没顾上听老师要我们打扫房间的调遣，而是见到一本就拿起一本，恣意地翻阅了起来，久久而不愿离去……当时，真想一下子将这整个空间拥为己有！
从此我便省吃俭用，把零花钱积攥起来，开始学着逛旧书店，逐渐营筑起了自己的书窝。
记得第一次掏钱买书是在1977年的1月，是一本关于周恩来的书。当时交钱时还有些紧张，毕竟这笔钱对我来说已不是小数目。但一旦跨出了第一步，就会让人变得义无反顾。整个中学阶段，我就常利用放学途中步行的间隙，逛入福州路上的那家上海书店，买到了许多课外读物和科学家传记。
直到工作以后，狂爱买书的陋习一直没有改变过，反倒愈演愈烈，几乎将大半的收入都融入其中了。但是，那时我家不可能有书房，连书架也仅只有有限的五个，那是结婚时母亲特地为我订做的，虽说算得上顶天立地，但总量远远不够。家中渐渐演变成一个小杂铺，到处都堆起五花八门而又分门别类的品种，还贴上了各式的标记，不许家人随便挪动。此时家中连正常的起居都变得相当困难了，真可谓是“书满为患”。幸好我太太很少埋怨我。
直到2000年以后，在市郊购买了一套住房，才圆了我的书房梦。将书一捆捆包扎整齐后，从旧居分批搬送到新居，逐捆解开，慢慢撕去变得破旧的包书纸，然后按类别上架……在这一段难忘的日子里，我可谓沉浸于无比的幸福和喜悦中。
我现在常常看着我的藏书。成天能与鲁迅、安徒生、奥斯丁这些高尚的“友人”谈心，觉得自己心灵变得更为充实。但又在想，我什么时候才能读完这些书呢？曾经有过发奋阅读的一系列计划，曾经有过通宵达旦的旺盛冲动——但那好像已是十多年前的状态了。随着工作的日益繁忙，坐定看书的好日月变得越来越珍稀。一鼓作气读完一部小说对我而言也已算是久违的壮举了。而书越积越多，逐渐堆成一座座“小山丘”，已顾不上按类别让它们安居了。目前，只有铁打的初衷仍没改变：真渴望在有生之年读尽这么多的好书！
工作越变越繁杂，头绪越来越众多，步入中年的我开始处在一种穷于应付的感觉中。头上始添几茎白发，身体也不如从前般壮实，稍稍一多运动，就会流一身的虚汗……
而今我的心态已经平了很多。当拖着疲惫的倦体，步入这一方属于自己的小天地，摩挲起那些从旧书店一本本淘来的心爱宝贝时，心中已觉得相当地满足了。壮志豪情离我渐行渐远，我变得实际了。
但与此同时，又发现了一个令人伤心的事实：记忆力在无情地减退。尽管有一本记录本，密密麻麻记上许多书名，但仍不时会发觉买回了重复的书。以往这是绝对不会发生的，我曾相当自信拥有过好的记性，哪本书放在哪个特定的部位，这在以前是一目了然之事，而现在我就不敢这么自夸了。
在《我要去桂林》那首歌的歌词中包含有这样的意思：当我想拥有的时候没有这个实力，现在稍有一些实力了，精力却又开始不济。真是好无奈的现实呵。
如今，新的遗憾接踵而来，连再多做几个书架这一并不过高的奢想，也因抽不出完整的时间而一搁再搁。不知又要拖到猴年马月，才能实现这下一步的目标。到那时，头上又会多出几许白发，记忆力又会变得何其糟糕……我不敢多想下去了。
真想大声怒吼一声：“安得书房千万间，让天下尚未白发的读书人早些厕身其间！”
我现在最希望的事是：让我的儿子，或者其他一些年轻的朋友，也能像我过去那样地喜欢书。我真诚地愿意把自己这多年的积聚与他们一起分享。
愿天下更多的人能意识到书中所存在的快乐，而不要像我那样再等到明天。.

补：这是几年前写的。现在的头发已是一大半白的了！.

今天随着对一个题目的深入研究，得到一系列有趣的进展。
我先来叙述其中第一个有意思的结果：

命题  设⊙O1和⊙O2相切于P点。一条任意的直线顺次交两圆于A、B、C、D四点。则△PAB、△PAC、△PBD、△PCD的外心一定四点共圆！
所共圆还经过一个定点Q，在连心线上，满足PQ^2＝PO1×PO2。.

第二项进展是把这个结论推广到任意四边形中了，结论越加漂亮了。不过由于涉及到等角共轭点，知音也许更加寥寥，所以暂时不公布了.

只公布共线时的一种特例：

命题  设A、B、C、D是共线四点。则△PAB、△PAC、△PBD、△PCD的外心共圆的充要条件是：∠APB＝∠CPD！

这时所共圆的圆心O之轨迹是如图所示的两条优美曲线。.

引用:

原帖由 echooooo 于 2007-6-21 16:59 发表
曲高者和寡，收藏了，慢慢看。

老殿来邮件说最近很忙。
否则他会和我讨论的。.

经常，我们会欣赏到一个个优美的数学命题；其实，通向最终果实的道路往往是曲折而多坎坷的，在这些智慧结晶品的背后，都蕴藏着一段真实的故事；虽说有没那么完美，但相对说来却比最终的成品更为激动人心！

让我们就来看一看昨天那些新结论背后的故事。它其实正是我和几位好友互相切磋的结果。

这就是我和田君的MSN交流的全程记录，爱好者也许能借此一窥草创的艰辛，不过同样也能分享到其中的一分欣喜：


【07-06-21】
老封 说:
我编了个新题:
老封 说:
设两圆内切于P点
老封 说:
一直线顺次交两圆于A、B、C、D四点。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
然后呢？
老封 说:
求证：三角形PAB和PCD的外接圆半径乘积是定值。
老封 说:
能否推广？
老封 说:
我试了一下，不能推广到极限点。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
好象可以
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
用几何画板
老封 说:
你见过这种题型么？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
没有，有点调和点的味道
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
外切为何不可
老封 说:
外切的情况是类似的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
您要朝何方向推广？
老封 说:
任意两圆的情形
老封 说:
还发现一个有趣现象：
老封 说:
四个三角形PAB、PAC、PBD、PCD的外心共圆。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
您先发过来，我跑开几分钟
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
很漂亮
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
原来的题目意思就是PA、PD之积与PB、PC之积的比是常数吧
老封 说:
第二个结论的推广方向是什么？
老封 说:
有意思的是，所共圆还经过一个定点！
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
反过来任给A、B、C、D在一直线上，P的轨迹是？
老封 说:
满足什么性质的轨迹？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
就是保持乘积之比是常数，或四个外心共圆
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
这个题没意思，解析几何告诉我们，一定是四次曲线
老封 说:
那个定点有什么性质？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
乘积之比是常数，就与四外心共圆等价？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
乘积之比还有好几种，是不是都对应于不同的外心共圆？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
比如PAD的外心
老封 说:
我想要两个圆搭配
老封 说:
A、D集中的同一圆上是不允许的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我是把圆去除后问的
老封 说:
四个外心共圆可推广到极限点！
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
看来还有点复杂
老封 说:
但刚才检验过，乘积相等却不能推广到极限点
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
到底等价吗？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
还是添加条件？
老封 说:
我不明白你的意思
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
对对，我搞错了。我主要是问，如果有A、B、C、D，那么P有何限制，有没有比四外心共圆更简洁的判定
老封 说:
上述现象，表明这两个结论不等价
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
前面我乱说的，刚才有人跟我说其他事情，干扰了一下。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
P的轨迹也未必是四次曲线，因为我这里圆的大小在改变
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
如果是二次曲线就好了
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
求出来了，当A、B、C、D固定时，P在一圆上，看来这个圆很重要
老封 说:
你指的是共圆？
老封 说:
还是比值？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
也许是
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不是比值
老封 说:
能把问题说得更具体点么？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
就是当A、B、C、D依次在一条直线上，求P轨迹，使PAD的外接圆和PBC的外接圆内切
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
PAD的外接圆大
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
太好了，对于每一组A、B、C、D，都有这样的一个圆存在
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
其实是一很平凡的结论，但是几何就是一堆平凡结论拼出不平凡
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
您看看这个圆与您的四外心所共之圆有何关系？
老封 说:
那是Apollinius圆
老封 说:
相切与角相等是明显等价的
老封 说:
与外心所共的圆好象没关系
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不过四个点决定了这个圆的圆心和大小。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
应该有点关系吧。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
您说得也在理。我说的圆是固定的，外心圆则是变化的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
外心圆的圆心轨迹是？
老封 发送:

传输“1.GIF”完成。

tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
您到到什么结论吗？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
G 的轨迹是什么？
老封 说:
是不是这个意思？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
是
老封 说:
标错了，G应是O
老封 说:
看样子是高次的
老封 说:
不是二次的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
O的轨迹是？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
但这两个圆真地毫无关系吗？还有一开始的两个圆
老封 说:
你能否把问题整理一下，我已经不明白互相间的意思了
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我没多少想法，我只是觉得阿氏圆和外心圆以及A、B、C、D之间或多或少会有点关系
老封 说:
我最关心的还是一开始外接圆半径乘积是定值的推广
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
您的意思是：两个不处在特殊位置的圆，一条直线截出四个点，这些条件还是要的
老封 说:
这是原问题的出发点，如能打破这个限制当然更好
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
根轴与连心线的交点没用？
老封 说:
我的思路已经彻底乱了
老封 说:
发现一个新现象：两圆的极限点为P，直线顺次交四点于ABCD，则PAB与PCD的外接圆半径积，恰好等于PAC与PBD的外接圆半径积！
老封 说:
这与你说的比值是否有联系？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我觉得有点意思。不过与我的比值可能没关系吧。
老封 说:
这些结论能否整理出一条线索？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我得来您这里看看您的演示，比较好
老封 说:
我的立足点是定圆，你和魏磊的立足点是共线四点，观察角度有点不同
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
蛮好
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
其实还是得来看您的演示，效果好
老封 说:
你装一下几何画板就好了
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
是的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我要装的
老封 说:
重大突破！
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:

老封 说:
任意两圆，P是任意点
老封 说:
则外接圆半径乘积总是相等的！！！
老封 说:
好象太夸张了吧
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
奇怪
老封 说:
但已经验证了
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
还需要圆吗？
老封 说:
你想想吧
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不错
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我记下
老封 说:
这本质究竟是什么？
老封 说:
肯定不需要圆了吧
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我还是不完全清楚您的结果
老封 说:
可能是平凡的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
如果是PAB、PCD外接圆半径之积等于PAC、PBD外接圆半径之积，那就是正弦定理加乘法交换律。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
这大概是陈题
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
至于角APB与角CPD相等，能否推出四外心共圆，是不是新的发现，难度大不大？
老封 说:
我不知道
老封 说:
结论肯定正确的，刚才那幅图就是验证这个的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
是的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
一道好的竞赛题
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
相信不会太难
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
难的是发现
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
已经解决，一句话
老封 说:
怎么一句话解决？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
连几条线，分别与PA、PB、PC、PD垂直，立即得到一些角相等
老封 说:
你的意思是：四外心共圆和两角相等的充要关系？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
确实是充要的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我在想圆心有什么性质
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
这可能难一点
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
尽管其轨迹是高次曲线
老封 说:
还有，四点不共线情况呢？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
对，不共线不影响，只要有角相等
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
强的
老封 说:
那就和等角共轭是等价的？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
是
老封 说:
四点不需要附加条件？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不需要
老封 说:
我以前只知道等角共轭和四个垂足共圆是等价的，现在难道又多了一个充要条件？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
什么垂足？
老封 说:
太漂亮了！
老封 说:
我在几何画板中已经验证
老封 说:
P在四边形ABCD四边上的垂足共圆，与PAB、PBC、PCD、PDA的外心共圆互相充要！
老封 说:
直接证难不难？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
这么说，与等角共轭三个条件等价？
老封 说:
是的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不会难做的
老封 说:
你试试
老封 说:
绕过角
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
对的，我已经想明白了。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
P在外是角相等，在内就变成互补了
老封 说:
可以做竞赛题么？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不能
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
简单了一些
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
除非是一个复杂结论要用到的中间步骤
老封 说:
放在完全四边形的背景中，应该是更多外心共圆吧？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我一下子没图，倒不好说
老封 说:
因为垂足总有四个
老封 说:
对节却有六对，十二个！
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
那也不一定在一个圆上
老封 说:
是的，是三个圆，好象形成共轴圆系！
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
那真是很好的
老封 说:
太妙了！而且P点就是极限点之一
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
算是今天一大发现？
老封 说:
另一个极限点好象就是密克点！
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
太棒了
老封 说:
下一步打算调查根轴，看看它是否经过定点？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
美丽的东西上帝也无法隐蔽掉
老封 说:
我有办法在几何画板中画出连续变化，不过需要一点时间
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:

老封 说:
已经精确验证了！
老封 说:
刚才两个结论完全正确
老封 说:
但根轴并不经过定点
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
真地很好，您能否画个图，再加上说明文字呢？
老封 说:
这个图难度太大了，只有我还能看得清
老封 说:
旁人肯定看不清楚了
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
还有件事，冯志刚建议我们这套书叫“数学竞赛研究系列丛书”，他表示要花力气好好写，您的书一定也很精彩，他说可能出英文版。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
如果出版社认为值得的话
老封 发送:

传输“2.GIF”完成。

tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不说还真看不明白
老封 说:
P是具有等角共轭的点，红圆是垂足圆
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
是
老封 说:
M是密克点，三个绿圆是外心所共之圆
老封 说:
还有一条是根轴
老封 说:
曲线是P的轨迹
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:

老封 说:
轨迹经过六个顶点和密克点。轨迹上的另一点就是P的等角共轭点
老封 说:
你看还有什么思路可以发掘？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我马上要去一个人家里，晚上再论吧.