用这个程序，玩玩360的迭代过程：

360→810→1368→2532→3404→2980→3320→4240 →5804→4360→5540→6136→6464→6490→6470→5194→4040→5140→5696→5734→3194→1600→2337→1023→513→287→49→8→7→1.

引用:

原帖由 carrie813 于 2007-5-7 11:12 发表
看着你们对几何的这种执着，感动～～

谢谢鼓励

其实这不过是一种愉快的学习过程。


被逼迫着去学习是件痛苦的事情；可谁要是被剥夺思考的权力，那将是一件更为痛苦的事情！.

昨晚儿子对求真约数和的vb小程序又作了改进，使用效果好多了！

只要将一个初始值输入框中，就可不断迭代成串。大家不妨下载试试。

如像222，840这些数，都会发生爆长现象；6，66，666，6666，······这一串数表现也都非凡，真是奥妙无穷。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-9 12:58 编辑 ].

这是个生成醉鬼路线的画板,也是儿子作的:.

明晚又要公开课了！
忙于准备，没时间了。.

引用:

原帖由 黑发侠女 于 2007-5-10 16:47 发表
又要开公开课啦, 在哪里啊

明晚6点半，还是老地方。
www.jw-edu.cn/.

又有一位解题高手——安徽唐传发老师，他还没有登陆，仅仅只是浏览了网页。
他对△ABC每边向对边作轴对称点这一问题提出一个新思路：什么时候△A′B′C′的面积恰与△ABC相等？什么时候是两倍？四倍？最好把充要条件一一找出来。
注记：上面已提到，当△ABC是直角三角形时，△A′B′C′的面积是其三倍，其实这也是充要的；而极大值五倍是取不到的，只有当△ABC退化成线时才能趋近于它。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-6-1 11:33 编辑 ].

太好了!老殿,干得漂亮.
能否把画板文件发给我?.

承老殿指出，我上面说的“当△ABC是直角三角形时，△A′B′C′的面积是其三倍，其实这也是充要的”这句话有漏洞。
其实除了直角三角形外，当顶点A在另外两支曲线上运动时，仍能使△A′B′C′的面积是△ABC的三倍（见图）。
因此，使面积为三倍的A之轨迹就有：
（1）以BC为直径的圆；（2）过B、C所作的BC之垂线；以及（3）上述两支高次曲线。
情况真够复杂的！
不过，还可注意到细微的区别：当△ABC是直角三角形时，△A′B′C′的顶点是按逆时针排列的；而对应于上述曲线之情形，△A′B′C′的顶点就改以顺时针排列了。看来若改用有向面积，就能区别上述两种情形了。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-14 16:36 编辑 ].

本周末，老封的初二、初一班先后推出了。
据初二的同学说，内容过浅了一些。是的，这是第一节开场白，有些内容照顾到了在座的那些小同学。从第二节课开始，会及时调整节奏的。
希望班内同学涌跃与老封讨论！
需要几何画板软件的同学，下次可稍稍提早到校，在课前拷贝。.

看来这个问题已研究得够彻底的了。
数学中有些问题比外表看来的更为复杂，几何也不例外。
作三边的对称点，看似简单，没想到导出了这么一系列的问题。真佩服老殿穷追猛打的钻研精神啊！.

我的感觉是，当一个图形经过轴对称操作后，其复杂性会意外增加。
昨晚又在研究一个新的构形——任意直线关于△ABC三边作轴对称的直线，围成一个新的三角形，发觉这个图形意蕴非常丰富。现已将初步成果写下来了，见：
ww123.net/baby/thread-4419985-3-1.html.

引用:

原帖由 xiangying 于 2007-5-16 09:41 发表
请教封老师，儿子读初二，这几天学校在教平几（梯形、正方形等），儿子掌握得不好，怎么办？谢谢指导。

他对此感兴趣吗？.

只要孩子对平面几何是感兴趣的，那学好它就是有希望的。
我想学起来不适应，可能有多方面的原因。初二的平几是一道难关，从这里开始难题多起来了，思想方法也需要相应跟上。
如果在这一阶段一下子觉得难以适应了，可能是老师教法上的原因，或者是是教材本身的原因。
现在的教科书越编越平淡，值得动脑筋的好题目也越加罕见了。以这样的书要让孩子感兴趣，我看很难。
我建议的应对办法是：找个好老师适当点拨一下，也许他就会走上思维的正道了。.

上一页面中曾提到一个问题：给定垂三角形，如何确定原三角形？
我在解答中要求垂三角形必须是锐角三角形，这个要求是多余的。
其实情形一样，它的逆问题总有四组解。.

最近，结识了一位聪明的小朋友——实验学校的陆一平同学，他对几何十分喜爱，虽只有小学三年级，但通过自学几乎已掌握了初中几何大多数的知识点，而且还善于思考，做起题来真不让于初中的大同学。

前不久他还学会用几何画板自己来作图，兴趣更是提高了。

他告诉我说：目前他只对几何感兴趣，对代数还不太感兴趣。

这是最近他画过的一个图：

在△ABC的AB、AC两边外作正方形ABDE和ACFG，联结CD、CE分别交AB于P、S，联结BF、BG分别交AC于Q、T；然后联结ST和PQ。.

通过观察探索，可从图中归结出ST∥PQ的结论。

胡适说过“大胆假设，小心求证。”能发现结论是一回事，严格地论证它又是另一回事。

以下是我们之间的一段对话，记录下了对这个问题的讨论过程：





老封：该通过什么手段证实ST∥PQ？

陆一平：只要能证明AS∶SP＝AT∶TQ就可以了。

老封：那么如何去联系这两个比呢？
（我提醒考虑面积的手段。）

陆一平：可把AS∶SP和AT∶TQ分别转化为S△AEC∶S△PEC和S△ABG∶S△QBG。由于△AEC≌△ABG，所以只要能证明S△PEC＝S△QBG就行了！

老封：现在，你打算怎么来处理S△PEC？.

他深思片刻，给出了如下绝妙的论证：
如图，S△PEC＝S△CDE－S△PDE
＝1/2×CI×DE－1/2×PJ×DE
＝1/2×（CH+AB）×AB－1/2×AB×AB
＝1/2×CH×AB＝S△ABC。
这样S△PEC和S△QBG就都等于S△ABC，于是整个问题就得以证明了

[ 本帖最后由 老封 于 2007-6-14 12:35 编辑 ].

引用:

原帖由 为隔壁 于 2007-6-14 09:15 发表
呵呵，真是厉害！

其实，在我看来兴趣还是最主要的！

对小孩子要以鼓励为主；一旦他们来劲了，其学习的积极性是难以估量的。.

我有一位同学，在金坛的数学文化节上写了一首哲理诗，请大家欣赏：


  
                        
平静如海，却暗流涌动，
舒卷如云，看气象万千，
玉洁如冰，实本性纯净
--谁能穷尽水的变化，
谁能把握思想的驰骋？
其实，数学的思想，
正是水的化身。
                 
用不着寻寻觅觅，
水，早已进入圣哲们的思想，
孔子说：
仁者乐山，智者乐水，
水，是流动不息的智慧；
老子说：
水善利万物而不争。

是啊，流动不息的水，
逝者如斯，不舍昼夜，
正如思想在流动中酝酿，
显出灵动的本相，
无形的容貌！

水，滋润着万物，
孕育着生命，
正如数学，是科学的皇后，
美丽芬芳，优雅动人，
引无数英雄竞折腰。

水，看似柔弱，
然而，江海纵横，水滴石穿，
正如坚定有力的数学思想，
洞穿万物的奥秘和本质，
使我们知道了家园的大小，
知道了九天揽月的远近。

水，明净纯洁，
一片冰心在玉壶，
正如数学的思想，
澄净智慧，驱除混沌，
涤尽我们有生以来的蒙昧与无知。
  
而，数学的思想，
有如大海一样博大深沉，
牛顿说：我只在海边捡了几个美丽的贝壳；
即使是一滴水，
也包含了一个大世界，
你看，
一个数字，一个方程，
刻画了万事万物的数量和关系。

数学的思想，
虽然如水一般变化无穷，
也并非不可捉摸。
你看，当数学的思想
用数学的语言展现，
凝聚成人类共同的财富，
就像那流动不定的水，
凝结成晶莹的冰雕，
凝结成美丽的六角雪花，
让我们一饱眼福！

当思如涌泉，
我们如饮甘霖，
享受数学思想的滋润；
当思如小溪，思海枯竭，
我们吸纳百川，积蓄力量，
一旦灵感突现，
就能开山辟地，
奔向广阔的大海，
甚至，化作飘逸的云彩，
翱翔于无穷的天空。
瞧！
那是多美的思想之水啊。.

只是有点太虚无缥缈了！

数学其实是很实在的、很朴素的东西，不应该把它神秘化。.

不过说真的，数学美是很值得提倡的。

大家可以参观一下如下网站：


http://www.shuxuetongxun.com/bbs/ShowPost.asp?ThreadID=908


有很多美好的东东：有文化节，有祥柏老，有数学美，还有一位真的美女！.

“江流天地外，山色有无中”一联意境悠远苍茫，是历来为人们所传诵的千古名句。

不过，据说王安石也同样登上汉江边的同一城郭楼阁，眺望远处，数座小山丘，一切清晰可辨。
于是，他讥评王维是位近视眼，心态虚幻的神秘论者。

王安石，这位实干家的眼光真是犀利啊，他有一种疾虚妄的批判精神！


同样，数学是否也如同远山般的隐隐约约、扑朔迷离、虚无飘渺？这也是仁者见仁，智者见智，不尽有唯一标准答案的。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-6-22 11:59 编辑 ].

今天去拜访了关四彤，是位物理特级老师。.

关老师是位老共，说最近在研究普列汉诺夫的著作。.

关大虾是做大事的人，我们是秘密会晤，也是谈大事的。.

老革命就是不一样！思考的问题是为全民谋福利。.

华南师范大学数学系吴康教授是位老资格的奥数教练，是位多才多艺的多面手，能歌善舞，且会谱曲、写诗，又是象棋高手。
去年吴兄曾赠余一诗：

妙题掷去响当当，
珍本淘回乐洋洋。
巧手加工点线面，
美神聘作绣花郎！
赠封君打油一首。吴康06．06．09

这是我的答和：

古调重弹唱，
几何好风光。
感兄鞭策意，
愿作拼命郎。老封

最近吴兄自编一谜语：

妙不在年少，
在乎桃花俏，
花树虽已凋，
日月共长照。
（猜两个字）.

引用:

原帖由 泥土 于 2007-7-13 09:25 发表
姚明?

呵呵，猜得不错。

吴兄还有一则妙谜，堪称其代表作：“子子孙孙不长进——卷帘格，打一数学用语”。谜底：高等代数（倒过去读，意为：数代等高）.

引用:

原帖由 老姜 于 2007-7-13 15:42 发表
我来改一下：三世同堂，不分上下……

这样可显得有些不伦不类啊.

吴学究是个豪爽的人，常见他与吴伟朝两位互相较劲，比老姜老封两人还要厉害呢。.

传说广东有三吴：

华南师大吴康，喜欢买新书；广州大学吴伟朝，喜欢购旧书；中山纪念中学吴新华，好象从未听说他买书。各有千秋不同啊

[ 本帖最后由 老封 于 2007-7-13 20:41 编辑 ].

刚从北京和杭州长征回来!又要和大家讨论平面几何了.

一个阳光明媚的下午，笔者与叶中豪先生拜访了数学教育家、华东师范大学数学系教授张奠宙先生。茶香、书香四溢，不久我们就切入了正题。

张奠宙（以下简记为“张”）：近来我十分关注数学文化，一直在思索如何营造优秀的数学文化。

数学文化的形成需要相当长的过程。我国现代数学起步于20世纪初，到2002年有实力举办国际数学家大会，经历了近100年。

数学文化离不开社会文化的滋养。 举一个例子，20世纪30、40年代，中国的北京天津，传统文化的底蕴深厚，出了很多好的数学家；在南方的杭州、温州，受西方文化的影响，也出了不少好的数学家。但商业文化最发达的上海，却并未孕育出多少数学家。

沙国祥（以下简称“沙”）：西方文化中的数学，具有明显的理性特点。

张：这是古希腊的“奴隶主”民主的产物。由于奴隶主之间彼此平等，所以需要“证明”和说服。 于是，“对顶角相等”虽然看起来十分显然，但仍然用“等量减等量， 其差相等”的公理加以证明。中国古代有灿烂的数学成就。 主要典籍是《九章算术》。那是数学家向君王提出如何丈量田亩、征取税金、摊派徭役、计算土方”等实用数学问题的总结。在这样的君臣不对等的政治环境下， “对顶角相等”是没有用的。 所以说古希腊和古代中国政治文化决定了两种数学文化的走向。

沙：现在的义务教育数学课程标准中，对几何证明的要求降低了。

张：不同的人学习不同的数学。对多数学生，关于证明的要求不必过高，但对优秀学生，这方面应当加强。项武义教授指出，中国数学教育要强调理性精神。

沙：公理化重要吗？

张：公理化思想重要， 但不是数学的核心。1970年前后许多西方发达国家的“新数学”运动，将活生生的数学等同于逻辑、公理体系， 结果失败了。不能认为数学就是逻辑。那是把光彩照人的数学女王，在X光照射下变成了干巴巴的骷髅。数学还是要依靠猜想和想象，逻辑只是保持数学健康的卫生规则（大数学家H Weyl语）而已。

沙：有时，人们将猜想、探索过程看得太简单，如由22-12=3，32-22=5，42-32=7，······猜想一般的规律。

张：我指的是创造性的想象。例如由一次方程到二次方程的求解，自然会问三次、四次方程如何·， 五次方程是否有根式解，超越方程、微分方程…， 每一次扩展都是全新的数学视野， 需要新的概念和架构。

沙：怎样使数学变得有血有肉？

张：应该直面原初的现象或数学问题，从中引出数学的思想方法。如概率论起源于对赌金期望值的研究；控制论的产生，与实战中对火炮控制的需要有关，并且得益于神经系统反馈机制的启示；信息论肇始于通信技术中有效信息的研究，在研究过程中香农发现信息与概率有着密切的联系。 晚近的小波分析， 混沌理论， 分形数学，金融数学技术等等， 都起源于实际问题。 黎曼猜想、歌德巴赫猜想等也是原始问题。

沙：钱学森认为，数学不是个别人的技巧，而是一种眼光、一种看法。例如，比赛评分中去掉一个最高分、最低分，可以用统计的眼光去看。我们再谈谈数学教育改革。 教育上的事情也许“新”的不一定都好。

张：教育是文化现象的一部分。 外国的东西不宜照搬。我国有科举考试文化，严谨的考据文化， 熟能生巧的教育文化，善于计算的数学文化等等。我国数学教育有自己的优势，如重视数学“双基”，注重“启发式教学”、“变式教学”。这些传统需要继承， 也需要更新。不能妄自菲薄，也不可故步自封。如果说计划经济时代的思想， 必须转变到“社会主义市场经济”的轨道上来， 而在教育上，似乎无须“转变”观念， 学习国内外的先进经验，提高认识也就够了。因为原来的教育并不是错误的教育。

沙：的确，各国的数学文化、数学教育往往有自己的特点。

张：应倡导多元的民主的文化。例如俄罗斯数学教育强调基础性、理论性；而美国的数学教育更注重探索与创新，鼓励个性发展。基础与创新，是同一辆车的两个轮子，不能过分强调其中一个。台湾搞数学教育改革，热衷于学生自主建构，忽视了基础，曾导致学生计算能力大大下降，甚至连23×5这样的简单乘法也不会。台湾学者说：“我们要深思熟虑的”建构“， 不要盲目跟风的“贱购”！ 这也值得我们深思。

沙：课堂上如何体现数学文化呢？

张：数学文化往往狭义地理解为介绍历史上的数学家和数学事件。 其实应当结合课程内容展开。以文学为例。对称和对联， 就有共同之处。 “清风”对“明月”，上联变下联，正如对称图形， 变过去相互重合一样。都是变换后的不变性质。徐利治先生把“孤帆远影碧空尽”当作“极限”的意境。 陈子昂诗“前不见古人， 后不见来者，念天地之悠悠， 独怆然而涕下”， 这是一维时间和三维空间的结合“。人类的文化是相通的。

沙：我国有自己的国情。现在升学压力大，课时任务紧，怎样处理好“打基础”与“探索创新”之间的关系？

张：探索创新是复杂的过程，如果什么都退到原始去探索，既不可能，也无必要；同样，也不能什么都要求彻底理解，有些内容可以先接受，日后慢慢理解领悟。数学开放题是有利于创新的， 如果能够和基础相结合， 就更好了。在打好基础之上创新， 在创新指导下打基础， 这是未来大家探索的方向。

沙：谢谢张教授，我们从您的谈话中受益匪浅，以后我们杂志上要多多渗透数学文化内涵。.

久违了！最近有些忙碌。
今收到一位外地朋友的信：

“老封：你好！久未联系，一切都还好吧！
近日发现如下事实：三角形的内心为I，四个三角形ABC,ABI,BCI,CAI的欧拉线交于一点。我苦思多日，毫无方向。
若将内心换为费马点，也对，这个很好证明。
于是想到又一个问题：三角形内怎样的点，可以使四个三角形的欧拉线交于一点？
特向你请教！
祝
      好！
杨先义                                       2008.8.23”

这个问题我三年前与老殿作过讨论，当时我和田兄得到过一个充要条件，答案是外接圆加上一条三次曲线。老殿利用Mathematica还写出了其方程。

我把当时的邮件记录找出来了，摘录片断供大家参考：

【To: dianlinchen@yahoo.com.cn  Re: 你在作什么？  2004年9月27日 11:07】
陈兄：你好。
今天我和小田讨论，发现了两个极为重要的结果。第一个结果是：“P是△ABC所在平面上的一点。△ABP，△BCP，△CAP的Euler线共点的充要条件是：（1）P在△ABC的外接圆上；或者（2）P和其等角共轭点Q的联线平行于Euler线。”（注：任意四点所构成的四个三角形，若有三条Euler线共点，则第四条也一定共点。所以上述所共点一定也在△ABC的Euler线上。）
第二个结果是：“若点P满足上述性质，则P对其垂足三角形也满足这一性质。”目前尚为猜想，还没给出证明。
满足性质的特殊点P有很多，如外心、垂心、内心、三个旁心、等力点、Fermat点（还有Tarry点，上述两个条件皆满足）。（注：Fermat点满足性质见于梁绍鸿的书复习题三第62题；而等力点满足性质是我们昨天刚发现的。）
所有P点构成外接圆及另一高次曲线（共有两个分支），我已用描点法画出（见附图），比较光滑，估计仅是三次曲线。这样，以前所说的“等力点与Fermat点平行于Euler线”的这一结论就被现在的一般结论所包罗了。
不知你能否收到我的附件？老封04-09-27
附件：04092701．gsp
【From: dianlinchen@yahoo.com.cn  祝贺  2004年9月27日 12:07】
老封：附件能收到，向你祝贺。结论确实很棒。我也很感兴趣。这两天又仔细探讨你以前给我复印的《评述》，其中有关于纽堡圆的性质，纽堡圆有两组，另一组性质如何？还有，两组纽堡圆的根心可有什么特殊性质？我还没有结论。本来也想给你发个附件看看你能否收到，但添加不上，只好作罢。 弟：殿林04-09-27
【To: dianlinchen@yahoo.com.cn  Re: 祝贺  2004年9月28日 14:07】
陈兄：你好。什么叫两组纽堡圆，我不懂你的意思？
当△ABC为正三角形时，Euler线退化，它可取任何方向，任何一点也都可看成Euler线上的点（田兄把这说成“佛法无边”“无法无天”）。相应地，正三角形平面上的任意P点都满足性质。针对这一特殊情况，我今天上午刚利用三角的办法给出证明，好像也并不容易。不知你以前看到过这一结论否？
另外，我还考虑了一下完全四边形的四条Euler线（指四个基本三角形的），发觉它们总不会共点——即使其中三条共了，第四条也不经过该点。可见完全四边形和四点形属性上有很大的差别。不过，对完全四边形而言，也有值得注重的情形，即我以前证明的“若一条直线平行于另三条直线所围成三角形的Euler线，则每条线都具有这一性质。”昨天也获得进一步的结论：这时四条Euler线构成的图形与原完全四边形是中心对称的，且对称中心对于每一个基本三角形而言，位于三边（直线）加上其Euler线后所形成的完全四边形的Newton线上！这真是美妙无比的结论，且与五圆定理中的结论相仿佛。（回忆一下：完全四边形的广义垂心，正是完全四边形加上其垂心线后所形成的完全五边形的Newton点！）老封04-09-28
【From: dianlinchen@yahoo.com.cn  Re: 祝贺  2004年9月29日 11:43】
老封：你好。两组纽堡圆：一组是我们通常所说的，与三角形在一边同侧的纽堡圆；另一组是前一组纽堡圆关于对应边对称的一组圆。正是这组纽堡圆的圆心与三角形的透视中心，是我引入的新的泰利点，（相应的，我把原来的泰利点称做第二泰利点）它的等角共轭点是布洛卡圆的圆心。两个泰利点是参数角互为相反数的一对点。
上次信中你提到的结论很重要，只是证明太难。我利用Mathematica推导了连线与欧拉线平行一对等角共轭点的轨迹如下，曲线方程不能因式分解，因此确实是一条三次曲线。（我对重心坐标还不熟，仍然采用直角坐标，好在利用Mathematica，可以轻松推导复杂公式，并验证公式的可分解性等等）
(a+b)abc2+(a2b2-a2c2-3abc2-b2c2)x+(a+b)c2x2+(ab-c2)x3+(-a2b-ab2+a2c+b2c+ac2+bc2+c3)xy+(a+b)cx2y+(ab-c2)xy2-(a+b)c3y -(a2b+ab2+a2c+abc+b2c)y2+(a+b)cy3=0
对这类尺规作图不能问题，实在不太好处理，你提到的描点法是什么意思？图象是如何做出的？是不是类似PC点和CP点作图方法？
另外，对于布洛卡轴（OK线）、内心质心奈格尔点(IMN)连线也有类似性质吗？
老封，在你以前给我复印的《评述》中，提到关于一个纽堡圆对称点确定的两组相似等腰三角形顶点与原来三角形的透视中心，关于等轴圆锥曲线中心对称，它们的等角共轭点关于外接圆反演的结论，我都用几何画板验证了。现在的问题是，纽堡圆有两组，另一组纽堡圆也有这样的性质吗？我没找到，为什么看来地位相同的两组圆性质相差这么大？
再有就是在以前寄给你的信中，我提到平行共轭点链（六次连续做一点的平行或反平行共轭点，构成一个封闭六边形，它具有许多共点性质和圆锥曲线轨迹），使用重心坐标好证明吗？记得你曾经说过平行共轭变换相当于一次“旋转”。
这两天我都在仔细品味你的《新思索》，仍然感到内容丰富多彩，希望能得到更多的启迪。
快到国庆节了，我们可能休息7天，不能和你通信了。在此祝愿老封节日愉快。
弟：殿林 04-09-29
【From: dianlinchen@yahoo.com.cn  小进展  2004年10月9日 11:41】
老封：你好。十一长假可好。我只得一点进展，随附件寄上。弟：殿林 二○○四年十月九日
附件：041008．doc（31.0KB）
【To: dianlinchen@yahoo.com.cn  Re: 小进展  2004年10月9日 15:41】
陈兄：你好。十一假期过得较充实，基本上没在上海。有个好消息：我的E-mail信箱已修复，可以收附件了，而且以前读不出的现在也能重新读出了。几何方面只做了一件事：作出了过四点的抛物线（有两解），工具见附件——也有些不太稳定，四点尽量不要取成凹的。下一步我想作：过四点且和一条直线相切的二次曲线；过三点且和两条直线相切的二次曲线……这些问题牛顿都已讨论过。为此，这两天我就在啃《自然哲学数学原理》一书。不过牛顿的工作也不易看懂。不知能否利用Pascal定理直接解决？“过四点的抛物线”称为牛顿问题，但我在《原理》一书中没能找到。而我的作法用到了一些技巧性。
你的来信我还没细想，前面部分好像和我“新思索”中的结论是重复的。类似垂心和欧拉线的推广意思也不大，用位似观点看几乎是显然的。至于重心坐标，最近没接触，有些生疏。你引进的那些概念都较代数化，我想首先应该将表达式用重心坐标写出来。老封04-10-09
附件：圆锥曲线．gsp（224KB）
【From: dianlinchen@yahoo.com.cn  小进展  2004年10月10日 11:42】
老封：你好。信箱已修复，太好了。你的问题，我思考思考再答复你。弟：殿林04-10-10
【From: dianlinchen@yahoo.com.cn  作图问题  2004年10月11日 11:42】
老封：你好。我在163申请了一个新邮箱，可以离线编辑信件。今天试着给你发出同样的信，如果你能收到，可往163信箱回信。
关于过四点的抛物线工具，我不知道你的作图依据，故稳定性无法评价。我这里有个稳定的作图方法，随附件寄上。“作过任意四点且与一条直线相切的圆锥曲线”问题，似乎条件不足，需要同时确定曲线以及与已知直线的切点，有待仔细考虑考虑。但如果加强条件：作过三点且与一条直线切于第四点点的圆锥曲线是可以实现的。见附件。弟：殿林 04-10-11
附件：04101002．doc（24.2KB）
【To: dianlinchen@yahoo.com.cn  Re: 作图问题  2004年10月11日 16:35】
陈兄：你好。163邮箱的信，没有收到。过五点的圆锥曲线，我是用Pascal定理，只需以P点为心任作一圆，就可使所共线PQR均匀选取，作出的曲线光滑性并无问题，见附件。至于与五条直线相切的圆锥曲线，我的作法较复杂，一言难尽，有些细节我自己也忘了，等回忆起来再细述。“过四点且和一条直线相切的圆锥曲线”条件是正好的，作法牛顿也已给出，只是我还没读通。只要“点”和“线”的总数恰是五，一般说来就能确定二次曲线。牛顿作过五点的圆锥曲线，并没有采用Pascal定理，其中有一步骤用到了比例，倒与Apollonius的思想吻合。作过四点的抛物线，在H·德里的《一百个著名初等数学问题——历史和解》书中有叙，但此书不在手边，我没去查阅。我的方法用到“新思索”中的结果：过四点的抛物线的主轴，平行于该四点所确定的“九点二次曲线”的一条渐近线（注：当四点呈凸四边形时，“九点二次曲线”必是双曲线）。正因为作双曲线的渐近线不稳定，造成了我的作法不稳定。你的作法我还需细加体会。
查我9月27日信，其中有一处错误：我说“Tarry点，上述两个条件皆满足”，这是不对的——我图中同时画出的是Euler线的等角共轭像，而不是Kiepert双曲线。至于描点法，就是用列表的办法，多找出一些符合要求的点，然后把它们连接起来——这是一种比较勉强的办法。几何画板没有逐点扫描的功能，因此在探索问题时感到有些缺陷。你用Mathematica求出了轨迹所满足的三次方程，我很高兴；事先我还吃不准它是否三次。从现在到年底，我有几本稿件拖欠着尚未处理完，可能会成为一个很忙的阶段，不一定能天天看邮箱了，抱歉。老封04-10-11

[ 本帖最后由 老封 于 2007-8-24 16:10 编辑 ].

我在东方热线上发表了两条平面几何的猜想：

http://forum.cnool.net/topic_sho ... 494&flag=topic1
http://forum.cnool.net/topic_sho ... =494&flag=file1

大家不妨去瞧瞧！.

"我是一名数学爱好者。我现在宝山区统计局工作，不过目前暂时借调在区政府纪委下面。您以后直接称我小陆好了。

手里有一个有关几何作图的问题，这是我在南开大学求学期间一次在做家教闲暇时考虑的。问题如下：

已给一圆O以及圆内三定点P,Q,R，求作一圆内接三角形ABC,使得BC过P，CA过Q，AB过R。

可以知道此题有可能无解，因为当P,Q,R中有一点与圆心重合时，此题即第1届匈牙利数学竞赛题，而由那题知是有可能无解的。于是现在的问题便是：如果有解，是否可用尺规作图作出（怎样作）？我曾在两个数学论坛上提出过，但未见解答。

您推荐的这一数学论坛我已加入了收藏夹，我想有时间会去看看的。不过现在随着年龄的增加，对数学竞赛方面的兴趣已渐渐消退了，好多书籍被我放在了孔夫子旧书网。不过我对淘旧书还是比较感兴趣的，也读过叶老师您写的那篇与书的文章,看来这又是我们的一个共同爱好。孔夫子旧书网（www.kongfz.com）是一个不错的淘书地方，叶老师如果尚未涉猎，建议可以去看一下。”



“陆先生好！你提到的这个题，称为Castillon问题，见于梁绍鸿《初等数学复习及研究》总复习题第149题。记得在严济慈《几何证题法》一书中，有较详细的解法。

祝中秋快乐！老封2007-09-25”.

瑞士几何学家斯坦纳（Jakob Steiner，1796～1863）曾提出一条涉及Simson线的重要定理。它有如下两种叙述形式：

“圆上任一点对于内接三角形的Simson线，必平分该点至此三角形的垂心的联线，且分点在三角形的九点圆上。”（图1）

“三角形的外接圆上任一点关于三边的对称点共线，这线通过三角形的垂心。”（图2）

（见于梁绍鸿《初等数学复习及研究（平面几何）》复习题三№37，№38。）

《近代欧氏几何学》§327提到：
“这个重要定理似乎没有简单的证明。”
该书中介绍的是Casey之证法，思路大致如下：

如图3，延长高CH交外接圆于H′，联PH′交AB于K、交Simson线DEF于M；再联HK。

先由P、B、F、D共圆得∠1＝∠2；而∠2＝∠3，∠3＝∠4。于是∠1＝∠4，这表明M点是Rt△PFK斜边上的中点。

又由HL＝LH′知，∠5＝∠6＝∠7＝∠8，得HK∥EF。由此可知MN是△PHK的中位线，于是得N是HP的中点。

Ross Honsberger，《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》（MAA，1995）一书p.44介绍的John Rigby之证法与此大同小异。

[日]矢野健太郎《几何的有名定理》（陈永明译，上海科技出版社1986年）p.69给出的证法与此稍有不同，它基本上是集中在一条狭长的“带形”内操作的：

如图4，延长高AH交外接圆于H′，延长PP1交外接圆于P′，联AP′、HP1和PH′。

由于AP′PH′及HP1 PH′都是等腰梯形，得AP′∥HP1。

而另一方面，不难证明AP′是平行于Simson线的。因此HP1与Simson线也平行。

同理HP2、HP3与Simson线的方向都一致。这就表明H、P1、P2、P3四点共线。


尚强《初等数学复习及研究（平面几何题解）》（中国展望出版社1985年）一书p.229中所给的方法与此类似。

去年，我给出了另一种便捷的证法，与上面两种有所不同：


如图5，设P点关于△ABC三边的对称点P1、P2、P3所共直线与AB边上的高交于H点。
因CH和PP3同垂直于AB边，由平行线同位角相等，知∠1＝∠2。
又因B到P、P1、P3三点等距（注：对称！）知B是△PP1P3的外心，因此∠2＝∠3（注：圆周角等于圆心角之半）。
于是∠1＝∠3，得B、C、H、P1四点共圆。
由此∠4＝∠5；而同样，C是△PP1P2的外心，因此∠5＝∠6。
于是∠4＝∠6，得BH∥PP2。
这就表明BH也是高，即H是△ABC的垂心。证毕

这个证法的特点是“来也共圆，去也共圆”，一来一回，构成绝杀！.

[转帖]金牌教练、平几名家尚强：人生几何奉献为歌越洋捷报

1997年7月29日夜晚，在深圳中学学生宿舍1栋504室里，一个年轻人在焦急地踱来踱去。
“铃铃铃、铃铃铃……”电话炒豆般响起，年轻人一步奔到电话机旁，紧张地拿起话筒。
“老师，我是韩嘉睿。报告您一个好消息，我拿到了金牌，中国队获得了总分第一……”
年轻人喜出望外，多年来的心血和汗水此时化成了两串热泪在脸上流淌。
这位青年就是我国数学奥林匹克高级教练、深圳中学的高级教师尚强。电话是他的高三学生从大西洋西岸的阿根廷东部——第38届国际数学奥林匹克比赛所在地马德普拉塔打来的。说实话，像这样的消息，在他三十又五的人生历程中已经不是首次了。然而，在他踏足深圳这片热土后的两年苦耕苦作中却还是第一回。在早些年被人视为“文化沙漠”的深圳亲自培育出一个世界级的数学新星，尚强他怎能不热泪盈眶呢？
炎热的七月，暑假中的校园已一片宁静，但尚强此时的心却像深圳湾的海潮一样澎湃……

几何一绝

1962年，尚强在安徽省当涂县黄池的一个农家小屋中呱呱坠地。祖祖辈辈面朝黄土背朝天的父母为他准备的是家徙四壁。由于家穷，尚强直到10岁才开始上学。在破陋的乡村教室里，尚强凝神静听着老师讲述的华罗庚故事，心里暗暗立下大志——长大后我也要做个华罗庚式的数学家。
在读初中时，尚强对数学便发生了浓厚兴趣，表现出了卓越的才华，学校的每一次数学比赛他总是得奖。数学老师因此常为他开“小灶”，并给他推荐了一本当年由我国著名数学家、北京师范大学教授梁绍鸿编著的《初等数学复习及研究》。尚强如获至宝，从此钻进了数学的深山。师范毕业后，他站在了中学的讲台上。由于教学成绩突出，两年后他被送去安徽芜湖教育学院脱产进修，毕业后分配到了省重点中学——马鞍山市二中任教。仅两年，这个只有大专文凭的尚强就被调到市教委教研室担任数学教研员。但尚强并不就此满足，他自强不息，拼搏不止，一面潜心研究中小学数学，一面就读中国科技大学的数学研究生。
在那火红的青春年代，尚强扇动着志气和智慧的双翅在数学王国里邀游。他一边读书，一边教书，一边写书，从16岁开始历经7年的处女作《梁绍鸿平面几何研究》，在他生日的蜡烛刚添到23支时便问世了。随后他一发不可收，《华罗庚数学学校高中数学竞赛教程》、《初中数学奥林匹克教程》、《立体几何教程》等7部170多万字著作先后由国家和省级出版社出版。缘于此，他被北京华罗庚数学学校聘为终身教练，被中国大百科全书、北京大学、北京科技和上海教育等出版社聘为丛书学科编委，被《数学通讯》、《数学研究》等国内数学权威杂志聘为特约评论员，被当代著名数学家、南京师范大学数学系主任、中国数学奥林匹克竞赛组组长单壿教授赞为“几何一绝”。
尚强名扬数学奥林匹克始于1992年，那是他首次参加国家组竞赛辅导。赛前半年，中国数学奥林匹克委员会为了选拔好参加国际赛的中国队员，公开向全国数学家、数学教师征求数学试题。根据国际数奥赛的惯例，数学试题只有6道，而尚强编撰的一道几何题从众多的题目中脱颖而出，经独具慧眼的单壿教授推荐，中国数学奥林匹克委员会一纸聘书将他从安徽聘到北京。年方30的尚强自此担任了中国数学奥林匹克的几何主讲教练。
我国那次参赛大获全胜，6个队员全获金牌，其中一个得了满分，团体总分也高居榜首。这个中国数学界爆出的“原子弹”，不但使12亿对黑眼睛大开眼界，而且令全世界40多亿双蓝眼睛、棕眼睛也大为瞠目。中国队的全胜是全国数学老师的功劳，但其中有尚强一大功——他在集训时为队员讲练的几何题目的难度、方向与这次大赛基本对路。当世界和各国选手还在为几何难题愁眉搔首时，我国的选手已喜笑颜开地解答出来了。
鉴于尚强的突出贡献，国家教委和科协联袂表彰了他，并破格晋升他为国家数学奥林匹克高级教练。马鞍山市和安徽省先后授予他“十大杰出青年”、“十佳人物”、“精神文明建设先进个人”等荣誉称号，还破格提升他5级工资和奖励他一套住房。
在鲜花和掌声中，在金钱和荣誉面前，尚强只是淡淡一笑。他知道：在“平面几何”、“立体几何”领域中，他已取得了些许成就，然而在“人生几何”中他却刚刚开始演练。作为一个党员，自己要成为“人生几何一绝”还差得远哩！基于此，在此后的第34届IMO的再度夺冠中，他更竭尽全力地为党为人民奉献出自己的聪明才智。
“人生几何，奉献为歌。”这是尚强的青春之歌，也是尚强的人生座右铭。

以下内容载入安徽省当涂县县志：

原薛津中学教师尚强，发奋自学，拼搏6年，于1988年将数学专家梁绍鸿编的平面几何1300道难题攻下1000多道，被数学界称为国内几何一绝。.

作图高手hejoseph提出如下新构形：

“给定一个凸四边形，在其内部求作四个正方形，使这些正方形的两个顶点在四边形相邻的两边上而其余两顶点与分别其它两个相邻正方形的一个顶点重合。”

解法见

http://forum.cnool.net/topic_sho ... 494&flag=topic1.

对于爱好数学的人：

苦在其中＝乐在其中。

一个让外人不可理解的方程.

正所谓:  

书生无事空追求，
不等相等自寻愁。
一生经营近极限，
既知为零不甘休。 (戏改大罕井冈诗)

[ 本帖最后由 老封 于 2008-2-15 12:24 编辑 ].

下面几幅美妙绝伦的几何图形，出自一位工程师之手。虽已不再专业从事数学了，但仍保持着对数学的一份痴迷，可谓是几何作图的发烧友。

他说：

“我叫qjchen，是建筑行业中做结构分析的（也就是做楼房力学计算那部分的），在华南理工大学建筑设计研究院，算是工程师吧，有时候也带带本科生的课。
纯粹的数学和几何确实离我都比较远了，但是出于一直以来对数学的爱好，以前也参加一些数学竞赛，所以现在业余有时间也会做点感兴趣的几何作图题。虽然不与纯数学挂钩，但是数学思想和逻辑仍然对我们的工作起着非常大的影响。个人网址:  qjchen.yo2.cn”

又说：

“曾立志做完所有能尺规做出的作图题，不过在实际做题和看书的过程中不断发现自己的短见，最近更是杂事烦身，无法有较充足的时间作图、出题，每天只能抽抽半个小时看看想想与专业无关的事情，各位见谅。争取半年后有比较多时间。”

孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。” 是矣乎。.

上海教育出版社老资历的数学编辑宋淑持女士于3月3日早晨去世了。她是小学数学方面的专家，长期主持“松子评课”专栏。

记得20年前，我刚进社时，她笑着与我聊起：她的年龄刚好是我的三倍。还告诉我说：文革前，她与林彪夫人叶群共过事，两人关系甚洽。

原来，五十年代后期，林彪曾经在上海养病。叶群时任上海市教育局副局长。

王光美曾在回忆录中说：

“我同班的同学中有黄甘英同志。建国后她曾任全国妇联副主席。还有叶群，也和我同班，当时叫叶宜敬，曾到我们家一起做作业。叶群的母亲是后妈，她就老跟我讲后妈如何如何欺负她，她又如何如何故意气后妈。后来叶群转学到汉口去了，我和她就再没见面。一直到我在军调部当翻译时，才听说她已经和林彪结婚了，在哈尔滨。解放后林彪从苏联养病回国，叶群陪他专门来中南海万字廊看望少奇同志，送了一本很精美的苏联画册。我还对林彪说：‘原以为你是个很威武的军人，没想到你像个文弱书生。’”

据网上资料，叶静宜早年就读于北京师大附中，是个大家闺秀。下面就是林彪一家子的照片：.

宋淑持，1920年生。浙江大学教育系毕业
曾任中小学教员；上海市教育局小学数学学科教研员、普教视导员；上海教育出版社编辑、副编审，《小学数学教师》期刊特邀编审。主要编著有：参加编写、编辑上海市小学数学课本、教学参考书；与同事合作编著《小学数学练习设计》、《小学数学应用题教学研究与实践》；在《小学数学教师》中提倡用系统论思想指导教改工作，参加组织了关于形象思维的研究，并发表论文多篇；别外辟有《松子评课》专栏。.

上周，在国家集训队首脑奔赴苏州前，举行了一次小规模的聚会。

到场的有：今年中国队的正副领队熊老师、冯老师，去年中国队的领队冷老师，美国国家队领队冯祖鸣，数论和组合高手周晓东，今年国家队培训承办方上海中学周建新老师。.

一、        几何世界引人入胜种种

二、        探讨天赋的培养及“一家式”教育新模式

三、        几何画板的安装及使用

几何画板使用要点
1．下载、安装与启动

2．几何画板的特点
动态、高效、精确

3．几何画板工具箱
选择工具
画点工具
画圆工具
画线工具
文本工具
记录工具

4．几何画板菜单功能
文件菜单——新建文件、打开文件、保存、另存为、关闭、文档选项、页面设置、打印预览、打印、退出
编辑菜单——撤消、重复、剪切、复制、粘贴、清除、操作类按钮、选择各种对象、拆分与合并、参数设置
显示菜单——线型、颜色、字型、隐藏、显示、显示标签、追踪、清除踪迹、动画、文本工具栏、运动控制台
作图菜单——对象上取点、中点、交点、直线、平行线、垂线、角平分线、以圆心和圆上一点画圆、以圆心和半径画圆、圆上的弧、过三点的弧、多边形内部、轨迹
变换菜单——标记中心、标记轴、标记角、标记比、标记向量、标记距离、平移、旋转、缩放、反射
度量菜单——长度、距离、周长、圆周长、角度、面积、弧度、弧长、半径、比、计算、坐标、斜率、方程
图表菜单——建立坐标系、隐藏坐标系、绘制点、制表格、添加和删除表格数据、绘制函数图像
窗口菜单
帮助菜单

5．自定义工具
Tool Folder

6．常用快捷键
Ctrl + N —— 打开一块新画板
Ctrl + O —— 打开已经存在的文件
Ctrl + S —— 存盘
Ctrl + Tab —— 切换文件
Ctrl + W —— 关闭当前窗口
Alt  + Q —— 退出几何画板
Ctrl + Z —— 撤消一步
Ctrl + Alt + Z —— 撤消所有操作
Ctrl + R —— 重复一步
Ctrl + Alt + R —— 重复所有操作
Ctrl + X —— 把选择的对象剪切到剪贴板上
Ctrl + C —— 把选择的对象复制到剪贴板上
Ctrl + A —— 选择所有对象
Ctrl + H —— 隐藏所选择的对象
Ctrl + T —— 追踪对象
Ctrl + B —— 清除对象踪迹
Ctrl + I —— 作出交点
Ctrl + M —— 作中点
Ctrl + L —— 作线段
Ctrl + P —— 填充多边形内部
Ctrl + G —— 画函数图像
Ctrl + Shift + P —— 建立参数
Ctrl + Shift + F —— 标记中心
Alt  + = —— 打开计算器
Alt + ＞ —— 增大文本字号
Alt + ＜ —— 减小文本字号
Alt + ] —— 加快动画速度
Alt + [ —— 减慢动画速度

7．使用gif.gif.gif软件使图画动起来！

[ 本帖最后由 老封 于 2008-3-20 14:56 编辑 ].

（内容正撰写中）.

《文汇报》开办的文汇讲堂近期演讲嘉宾是中科院外籍院士、“菲尔兹”奖获得者、美国哈佛大学丘成桐教授。

讲座举办时间定为5月28日（周三）14时30分至17时，地点为上海市威海路755号文新大厦二楼报告厅。

演讲题目为“数学与物理学的交汇：过去、现在和未来”。

丘将介绍当前数学领域数学猜想的最新进程、这些猜想与其他科学发展的关系、最新猜想对当今世界的现实影响意义等。


据说为更好地加强讲座的互动性和听众的参与性，《文汇报》特向社会招募现场提问者，并从中选举一名小学生或初中生及一名数学专业的在校大学生，作为嘉宾与丘同台共话对数学的感悟。

应征者可于即日起将个人信息发至whjt@wxjt.com.cn“文汇讲堂”项目组邮箱。普通读者也可通过此邮箱咨询、索票，或在讲座当天登录新民网www.xinmin.cn观看现场视频直播。

老封介时也许会赶去看望丘老。自从前年他为《现代世界中的数学》一书题辞后，还未获机会将这书的样本当面交送给他。

《现代世界中的数学》由美国M•克莱因主编，齐民友、史树中等译，作为“世纪人文”中的一本，已于2007年9月出版。

当时，丘教授为这书的题辞是：

[ 本帖最后由 老封 于 2008-6-3 11:45 编辑 ].

热爱思考，热爱数学的中学生将有机会站在世界大数学家面前答辩，并获得由国际数学大师签名的奖牌。日前举行的世界华人数学家大会，宣布正式以华人顶尖数学家丘成桐为名成立“丘成桐数学奖”，旨在鼓励中学生的创新思考能力。
   
    邀顶尖数学家任评委
   
    在启动仪式上，丘成桐坦言，希望此举对传统的教育方式有所突破，并由此激发和鼓励华人学生创新和勇于探究科学的精神。他还希望把该奖项办成中国的“西屋科技奖”。该奖项将邀请全球顶尖数学家担任评委，保证评奖的公正。他还将邀请美国哈佛大学等常春藤名校和香港著名高校的招生负责人关注该奖项的评选，从中寻找优秀生源。
   
    “丘成桐数学奖”由哈佛大学数学系教授、浙江大学数学中心名誉主任、国际著名数学家丘成桐和泰康人寿董事长陈东升共同发起。形式参照美国著名的“西屋科技奖”(Siemens Westinghouse Science and Technology Competition)，该奖不同于考试形式的竞赛，注重创新与实践，鼓励团队精神，大大促进了美国高中生、大学生的科研热情，许多获奖者后来都成为著名的科学家。得主中有5位后来成为诺贝尔科学奖获得者，27人当选为美国科学院院士。
   
    首届评奖今年3月启动
   
    有意参加“丘成桐数学奖”的学生可自行组队，由指导教师或所在中学推荐，向评奖委员会递交数学专题研究报告全文。比赛将在全球设立几个分赛区，选手经过分赛区初选后将进一步由数学家对研究报告进行复审，最后在北京进行答辩。第一届评奖将于2008年3月正式启动。
   
    (茅建兴).

老封与丘大师.