钱展望、朱华伟《奥林匹克数学训练题集 初二分册》中有一题：

“在凸四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC。求证：BD^2＝AB^2＋BC^2。”


它可推广为：

形式1：
设P是△ABC外一点，且∠BPC与∠A互余，则a^2• PA^2＝b^2• PB^2＋c^2• PC^2。

[ 本帖最后由 老封 于 2008-9-10 21:57 编辑 ].

形式2：
作平行四边形ABDC，以D点为圆心，作一个与△ABC的外接圆正交的圆（即从D点向△ABC的外接圆作切线，并以切线长为半径作圆），则当动点P在该圆上运动时，始终成立PA^2＝PB^2＋PC^2。.

如当∠A≥90°时，此圆退化消失；故这时对于平面上任一点P，总成立PB^2＋PC^2≥PA^2。


更一般情况是：

“设D是△ABC的外接圆外的任意一点。联结AD交BC边于E，取D关于AD的第四调和点（即：使得A，E，K，D形成调和点列）。再以D点为圆心，作一个与△ABC正交的圆，则当动点P沿着该圆运动时，始终成立：

S△KBC• PA^2＝S△KCA• PB^2＋S△KAB• PC^2。”.

这组结论的实质与“最小二乘法”原理相关：

对于平面上的动点P，为使至三个定点A、B、C距离的表达式μ1• PA^2＋μ2• PB^2＋μ3• PC^2取定值（其中μ1、μ2、μ3为三个固定系数），只需使得P点离开△ABC中重心坐标为μ1∶μ2∶μ3的D点距离保持不变即可。

如上述形式1，就是当K取类似重心而D取旁类似重心之情形，此时D的重心坐标为－a^2∶b^2∶c^2； 而形式2则是当D取旁重心之情形，其重心坐标为－1∶1∶1。.

老封又要举办公开课了.
公开课时间：2009年3月13日（周五）18：00－20：00

公开课地点：黄河路355号1号楼7楼711室（近新闸路，地铁一号线新闸路站5号出口）

预约报名、咨询电话：63298698、63299930 菁英教育（每天9：00—20：00）

详情请见
http://ww123.net/baby/forumdispl ... cle&cycleid=714.

好久冷落这条帖了！.

大家好

我一直在的