感觉这题不包括A点和D点更有意思一些。.

引用:

原帖由 炫炫爸 于 2007-3-5 14:41 发表
感觉这题不包括A点和D点更有意思一些。

这个问题需要简单讨论一下，还是不难的。不含有A，D，折痕的取值范围就有可能是个开区间。.

刚刚我又新编了个几何题！奉献给大家思考。不过还不算是我说的那个征解题，这还要过两天才公布。
题目如下：

如图：ABE和CDF是夹在两条平行线之间的两个等腰直角三角形，而且线段EF也平行于这两条线。
求证：BD±AC=MN（即平行线之间的距离）。

注：其中+、－号根据图形不同而选取。

（刚才字母有点错，现已纠正）

[ 本帖最后由 老封 于 2007-3-5 16:03 编辑 ].

题目不难，但却很优雅，符合冯先生一贯的处世风格。.

看懂了。

[ 本帖最后由 春笋逢春雨 于 2007-3-5 17:03 编辑 ].

顶，不要让温度下降，要想大跃进那样火热。 .

是啊，而且要像大跃进那样——速度越快，功绩越大！ .

不好意思，新题还在改编中。不要期望过高，能够给大家带来快乐就好。
昨天与老姜在讨论这样一个题：

已知△ABC中，∠A＝120，在AB、AC两边上分别取点E、F，满足BE＝CF，设BF与CE相交于D点。再以BC为一边上下各作正三角形QBC、PBC。求证：AP∥QD。

虽是新鲜出炉的趣题，但恐怕用它作为征解题会太难一些。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-3-7 14:45 编辑 ].

昨晚在饭店里FB，冯先生坐在我的边上，眼睛定洋洋的，一直在考虑一道新出炉的平面几何问题，嘴里念念有词。

哎呀呀，冯先生对几何的痴迷，已到了废寝忘食的地步，赞一记！

补充一句：乘冯先生在几何王国里流连忘返、无法自拔之际，老姜张开血盆大口，风卷残云，把一个个菜盆吃成底朝天。.

不是冯先生买单，你当然要多吃一些，要不冯先生打包走了，你回家怎么跟LP报账

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2007-3-7 16:57 编辑 ].

奖，奖，奖，我也想要奖！.

单墫教授的一个题：
（录自新著《我怎样解题》）
可参见：
www.jw-edu.cn/Shownews.asp?ArticleID=25082.

如图：

AB=CD=a，BC=DE=b，∠ABC=∠CDE=90°
显然⊿ACE为等腰直角三角形（ 直角⊿ABC≌直角⊿CDE），即∠CAE=45°
∵⊿ABF∽⊿EDF  ∴DF/FB=DE/AB=b/a
∵DB=a-b         ∴FB=(a-b)a/(a+b)
∴FB/AB=(a-b)/(a+b)
即∠EAB=∠2 （∠1和∠2为原图所示）
∴∠1+∠2=∠BAC+∠EAB=∠CAE=45°
得证

[ 本帖最后由 秦博他爸秦革 于 2007-4-17 10:50 编辑 ].

这和前面春笋逢春雨的解法基本一样，但图形更简洁了些

[ 本帖最后由 老封 于 2007-4-17 14:30 编辑 ].

悬赏一道平面几何题（奖励最先给出有效证明者精美图书一套！）
“设D是△ABC内任一点，过动点P作AD、BD、CD的平行线，在△ABC相应两边所在直线之间截得三条线段，其长度分别记为x、y、z。求证：x/AD、y/BD、z/CD这三个比值中，一定有一个等于另外两个之和。”.

老封，大家都忙小升初去了，那里打得火爆，看来你悬赏签名书会有效一些。.

下午监考，晚上阅卷，一个字：累。

看到冯先生有书奖励，思考半小时，终有良策，还是一个字：爽。.

补充一句：如果DE//AC，x2/y2=1，结论是显然的（图四）。如果E与A重合，那就更显然了，这些话俺就不罗嗦了。.

老封向老姜奖励科普名家谈祥柏先生所译的《稳操胜券》（上、下）一套！.

鉴于市北初级中学邓博文同学给出了新的证法：
http://ww123.net/baby/thread-4419802-8-1.html
他也获得了老封的赠品：
“通俗数学名著译丛”中的《奇妙而有趣的几何》一册！
上面两位可到指定地点领取奖品：http://www.jw-edu.cn/.

引用:

原帖由 老封 于 2007-4-29 10:33 发表
鉴于市北初级中学邓博文同学给出了新的证法：
http://ww123.net/baby/thread-4419802-8-1.html
他也获得了老封的赠品：
“通俗数学名著译丛”中的《奇妙而有趣的几何》一册！
上面两位可到指定地点领取奖品 ...

邓的书我带给他，可以吗？5月5日我会遇到他的，我先把我的那本给他（我好像有两本哦，一本你以前给你，还有一本数学学校发的），然后5月11日你给我。请指示。.

引用:

原帖由 老姜 于 2007-4-29 13:19 发表

邓的书我带给他，可以吗？5月5日我会遇到他的，我先把我的那本给他（我好像有两本哦，一本你以前给你，还有一本数学学校发的），然后5月11日你给我。请指示。

那最好不过。其实我身边已经没有这本书了，上次的已全被抢购一空。.

老姜上次在另一帖子（http://ww123.net/baby/thread-4419808-1-1.html）中提到：
“下图中，求证：EI=FJ。”
我也对同一图形作了探索，没想到获得了一个意外的结论：
同一图中还成立“BK平方+CL平方=2×EI平方！”
不知道其难度如何？你有兴趣想一想吗
看来老封又要继续设奖了：）.

.

说穿了，并不难。

首先要想清楚里面的两个正方形是怎么作出来的，很多解题者应该卡在这里，连图也画不出。
其实只要以M点为旋转中心，将底边BC旋转90度。交FG分别于L、P两点。这两点一定是里面两个正方形的上面的两个顶点。（假如这步都没有理解，那么赶紧向封老师学习几何作图。我水平不够，解释不清楚。）
一不小心B、C两点就转到了B‘和C’。于是有BJ＝B‘L，CN＝C'P。由于旋转所得，FQB’R和GTC‘S都是正方形。剩下就是计算了。
FL^2+PG^2=FQ^2+QL^2+GS^2+PS^2=B'L^2+QL^2+C'S^2+PS^2=B'L^2+2B'L*QL+QL^2+C'S^2-2C'S*PS+PS^2=(B'L+QL)^2+(C'S-SP)^2=B'L^2+C'P^2=BJ^2+CP^2
得证。

奖品到手咯。.

引用:

原帖由 老封 于 2007-4-29 16:44 发表

哇哇哇。梯形的刚解决，又来新的了。继续。.

不高兴重新画图了，借用原来的那张图。
前面的全部照旧，唯一的问题是由于不是梯形，所以画出来的两个不是正方形了。
容易证明△FQB’全等于△C‘SG。剩下的就是一样的计算了吧。.

严重同意：
发现一个问题远远比解决一个问题来的重要。

这种简单的题目，姜老师就让让我们小字辈的出出风头嘛。
等到出来一些需要本事才能解决的题目，自然就是你们出风头了。.

LS太谦虚了，84姜老头高姿态，24姜老头手脚慢，郁闷啊，书没了。

忽报老猫已伏虎，泪飞顿作倾盆雨。  

给一个更强的结论：2(a^2-d^2)=2(b^2-c^2)=e^-f^2。.

引用:

原帖由 老姜 于 2007-4-30 07:00 发表

给一个更强的结论：2(a^2-d^2)=2(b^2-c^2)=e^-f^2。

个人认为这个结论写成：(a^2+b^2)-(c^2+d^2)=e^-f^2是不是更好看。.

晚上不能上网，痛苦。
上午登录一看，惊喜！老猫真是高手啊，抽刀断水功夫非凡。老姜的新结论也让人欣喜。说明这个图形奥妙非凡，还有待发掘。
老猫指出了一条正确的思路：把一侧的图形旋转过去！只有这样，才能建立图形的内在联系。
不过说实话，老猫的证法我还没有完全消化，有些细节还未想通：在一般情形中，为什么旋转后，线段C′E和D′F必相等？——这是保证全等的基础。.

昨晚我还考虑了一种推广：
当M不是中点，而是AB联线上的任意一点，结论也有效，只不过前面需要加权的系数。
具体说来，就是：两者平方差之比，与P点分线段AB的比的平方相等！
（这一情形还没给予证明呢。有待大家努力！）

[ 本帖最后由 老封 于 2007-4-30 10:52 编辑 ].

但是我试过另外两种推广思路，却失败了：
推广至正三角形不行；推广至普通的直角三角形也不行；只有等腰直角三角形才行。
说明其中肯定还有奥秘没被完全搞清楚。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-4-30 10:48 编辑 ].

为了奖励老猫昨晚出色的工作，现向你赠送最新出炉的新书——单教授刚修订出版的《解题研究》一册！
凡是对这题讨论有贡献者，还可继续获取老封提供的新奖励：）

[ 本帖最后由 老封 于 2007-4-30 10:50 编辑 ].

老姜的结论好像也不容易推广至加权的情形，我正在伤脑筋呢。
谁有锦囊妙计没有？.

我又发现了证明细节的一些新的线索：
图中EC′＝FD′＝AB/根号2，
两条垂线EP、FQ的长度分别为x＋y、x－y，其中x、y是图中所构造的水平和垂直距离（以CD方向为准）。
也就是说，老猫所构造的这对全等的直角三角形的三边长度，仅跟线段AB的长度和方向有关！
这些细节也许对证明有至关的作用，供大家参考。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-4-30 13:40 编辑 ].

引用:

原帖由 老封 于 2007-4-30 10:23 发表
为什么旋转后，线段C′E和D′F必相等？——这是保证全等的基础。

忽然发现此处的证明证不出来了，是不是当时没有仔细推敲这个地方的证明？.

引用:

原帖由 老猫 于 2007-4-30 17:04 发表


忽然发现此处的证明证不出来了，是不是当时没有仔细推敲这个地方的证明？

证明的确是有点过不去，我晚上也会再想想。.

老猫：昨晚想过了，你的证法好像是有问题。线段EC′和线段FD′的相等不成问题，我已给出了证明，而且还证明了这对全等的直角三角形：Rt△PEC′和Rt△QFD′的两条直角边确实分别为x＋y和x－y。
但接下去的论证却走不下去，不能得到平方和成立的有效结论，只能得到如下的关系：.

已彻底弄明白了！
老猫的证明是有效的。
而且用老猫所添的辅助线，还可以对梯形的情形得到额外的结论：
“BK+CL=AD。”
而这也并非是平凡的。.

设P、Q是线段AB上的任意两点，图中四个正方形共有三组顶点各四点共线，那么六条线段a，b，c，d，e，f的长度成立如下关系：.

现在的问题是，不知正方形是否还能推广为其它的图形？.

（不过结论不如正方形强，只能写出一个等式。）
设P、Q是线段AB上的任意两点，图中四个形状相似的矩形共有三组顶点共线，那么六条线段a，b，c，d，e，f的长度成立如下关系：.

http://ww123.net/baby/thread-4419808-2-1.html.

http://ww123.net/baby/thread-4419808-2-1.html.

设ABCD和A′B′C′D′是平面上任意两个顺相似四边形，则一定成立如下关系：.

刚才犯了点错误，请见

http://ww123.net/baby/thread-4419808-2-1.html

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-7 16:22 编辑 ].

设ABCD和A′B′C′D′是平面上任意两个顺相似的圆内接四边形，则一定成立如下关系：.

如果去掉圆内接的条件,结论就比较繁,这里就不写出来了.
如果两个四边形不相似,那我想什么关系也都没有了.谁能找出来,我服了他!.

：）.