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[求助] 急需求助!!!!!!!

急需求助!!!!!!!

求证:在数列1、11、111、......、111......1111(1999个1)中必有一个是1999的倍数。.

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假定没有
那么其中必然有两个数除以1999余数相同。
那么拿这两个数相减,得到11...1100...00
最后的0对于1999的倍数是没有贡献的
于是存在这样的一个数111...111是1999的倍数。.

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啊~~~~楼主还多一个C~~~~.

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理解上还是有点困难——
1、“那么其中必然有两个数除以1999余数相同”
为啥不可能是3个或者更多个的余数相同?
2、“那么拿这两个数相减,得到11...1100...00”
没有问题。
2、“最后的0对于1999的倍数是没有贡献的”
能得出“得到的11...1100...00与那两个数余数相同”这个结论
矛盾点究竟在哪里?
11与1100除以1999的余数并不相同。.

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回复 3#红眉 的帖子

cechooooo是echooooo的c。.

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回复 4#echooooo 的帖子

1、除以1999的余数有1998个,而数字是有1999个,根据抽屉原理,必有二个除以1999的余数相同。
2、如果m>n,m个1和n个1除以1999的余数相同,则m个1减去n个1肯定是1999的倍数。那么就会存在(m-n)个1也是1999的倍数。(后面还有n个0,所以说后面的0没有贡献了).

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引用:
原帖由 echooooo 于 2007-11-4 08:05 发表 \"\"
理解上还是有点困难——
1、“那么其中必然有两个数除以1999余数相同”
为啥不可能是3个或者更多个的余数相同?
2、“那么拿这两个数相减,得到11...1100...00”
没有问题。
2、“最后的0对于1999的倍数是没有贡献的”
能得出“得到的11...1100...00与那两个数余数相同”这个结论
矛盾点究竟在哪里?
11与1100除以1999的余数并不相同。
1、两个就够了。
2a、没有问题最好。
2b、通常情况下,加不加0对余数是有影响的。但是当原本就是整除的时候,就没有什么影响了。.

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ok,IC.
1、若余数不为0,则1999个数除以1999至少有两个数的余数相同;
2、则任取余数相同的两个数,其差值必是1999的倍数;
3、设余数相同的两个数分别是1111...1111(m个1)、111...111(n个1),1<=n<m<=1999,
则其差值1111...1111000...000(m-n个1,n个0)必是1999的倍数;
4、除数1999,被除数末尾的0不影响其整除性质;
5、所以1111...1111(m-n个1)是1999的倍数;
6、1111...1111(m-n个1)在题目所述的数列中;
7、结论成立。.

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由于1999是质数,因此10^1998=1 (mod1999)
111....111(1998个1)=(10^1998-1)/9=0 (mod1999).

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费马小定理现在初中竞赛不考了。.

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回复 10#老猫 的帖子

搞大的啦?.

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不是我搞大的,是duyan.

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回复 12#老猫 的帖子

呵呵,什么是我搞大的了? .

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应用费马小定理啊。.

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回复 14#老猫 的帖子

不好意思,我还真不知道费马小定律呢。

算是瞎猫碰到死老鼠了吧! .

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回复 15#duyan 的帖子

不好意思,冤枉你了。
刚才看了一下,原来是xyq2100用的费马小定理。
.

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