发新话题
打印【有0个人次参与评价】

[数学] 2007-11-21

2007-11-21

已知实数a、b、c满足|a|≥|b+c|,|b|≥|c+a|,|c|≥|a+b|,求a+b+c。.

TOP

a,b,c可以都为么?.

TOP

a,b,c都是0的话,和也为0。.

TOP

试了半天,发现必有一负两正。并且负数的绝对值是两正数的和。.

TOP

能否这样解:|a|≥|b+c|             1
                        |b|≥|c+a|             2
                        |c|≥|a+b|             3
1+2+3=|a+b+c|≥|2(a+b+c)|
a+b+c=0.

TOP

回复 5#jhfwin 的帖子

不能。.

TOP

因为|a|≥|b+c| ,所以a^2≥(b+c)^2,
同理,|b|≥|c+a|   ,b^2≥(c+a)^2,  |c|≥|a+b| ,c^2≥(a+b)^2
所以,a^2+b^2+c^2≥(a+b)^2+(c+a)^2+(a+b)^2
得:0≥(a+b+c)^2
a+b+c=0.

TOP

回复 7#duyan 的帖子

干净利落。.

TOP

回复 8#老猫 的帖子

.

TOP

引用:
原帖由 老猫 于 2007-11-21 10:01 发表 \"\"
已知实数a、b、c满足|a|≥|b+c|,|b|≥|c+a|,|c|≥|a+b|,求a+b+c。
聪明办法没有,就来笨办法呗,总比做不出好吧?

所有实数,要么≥0,要么≤0。
可能的情况只有:
1)a、b、c都≥0
则|a|≥|b+c|即a≥b+c,得a≥b,a≥c
而|b|≥|c+a|即b≥c+a,得b≥a
故只能a=b,c=0
同理,得b=c,a=0
因此,原式只能在a=b=c=0时成立,
a+b+c=0
2)2个数都≥0,另1个数≤0
由于已知条件的对称性,不妨设a≥0,b≥0,c≤0
则|c|≥|a+b|即-c≥a+b,得-c≥a,-c≥b,即a+c≤0,b+c≤0
而|a|≥|b+c|即a≥-(b+c),得-c≤a+b,
同理,|b|≥|c+a|即b≥-(c+a),得-c≤a+b
故只能-c=a+b
因此,a+b+c=0
3)1个数≥0,另2个数都≤0
由于已知条件的对称性,不妨设a≥0,b≤0,c≤0
则|a|≥|b+c|即a≥-b-c,得a≥-b,a≥-c,即a+b≥0,a+c≥0
而|b|≥|c+a|即-b≥a+c,得a≤-b-c
同理,|c|≥|a+b|即-c≥a+b,得a≤-b-c
故只能a=-b-c
因此,a+b+c=0
4)a、b、c都≤0
则|a|≥|b+c|即-a≥-b-c,得-a≥-b,-a≥-c
而|b|≥|c+a|即-b≥-c-a,得-b≥-a
故只能a=b,c=0
同理,得b=c,a=0
因此,原式只能在a=b=c=0时成立,
a+b+c=0

综合上述,结论是a+b+c=0.

TOP

有人干净利落地做好了,俺还现啥丑?
权当复习复习吧,聊以自慰。.

TOP

引用:
原帖由 echooooo 于 2007-11-24 00:01 发表 \"\"
有人干净利落地做好了,俺还现啥丑?
权当复习复习吧,聊以自慰。
俺就是这么做的,俺和俺的几个朋友讨论下来,觉得这样的做法才是正道。
而干净利落的做法有过于机巧的嫌疑。.

TOP

引用:
原帖由 老猫 于 2007-11-24 06:57 发表 \"\"


俺就是这么做的,俺和俺的几个朋友讨论下来,觉得这样的做法才是正道。
而干净利落的做法有过于机巧的嫌疑。
这个方法不算投机取巧吧。
我在中学的时候,老师教过的,一个式子的平方数开根号就等于这个式子的绝对值,如根号(a+b+c)^2=|a+b+c|,本题就是引用这个式子的结论。这样可以回避a,b,c的正负值枚举了。.

TOP

发新话题