平面内是否存在100条直线，它们的交点恰好有2008个？证明你的结论。.

想不出来。。。打破头也想不出来有什么捷径。。。只能凑凑看。。。

先考虑100条中有且仅有6条平行线，互相无交点，但与另外94条分别各有94个交点，共564个交点（无三线共点）；
自第7条到23条，另又有93+92+91+。。。+77=1445个交点（无三线共点）；
其余77条让它们共一个交点，至此共计2010个交点；
然后找某三条线围成的三角形（三个交点），平移成一个交点（三线共点），2008搞定。

请猫老师指正啊。。。。。。.

如果有，或许还可以用构造法证明
但如果没有，咋办呢？

比方说，
平面内4条直线可以有0、1、3、4、5、6个交点
但不可能恰好有2个交点.

估计是否可以证明下平面内n>=4条直线不能恰好只有2~n-2个交点.

是啊。。。一般性讨论应如何思考呢？
平面上有 n 条直线，可否证明或证伪（以及如何证）其恰好有 m 个交点 ？.

俺在试
6条直线恰好有 6 个交点，好像画不出.

由小到大
慢慢总结规律.

猫老师肯定是知道的
可就是不说
探究性学习费时多多呀.

六条直线六个交点，似乎可以：先六线共点（有一点），然后某根平移，会出现5个交点，对不？.

晤。。。这个应该是的，但还没想通如何证明。。。。.

是的.

100条互不平行的直线可以有1+2+3+...+99=4950个交点（即每条线上有99个交点，当有二条直线平行时则会减少一个交点）
如果其中一条线固定其中一个交点，向附近最近一个交点旋转并重合就会少98个交点。
4950-98x=2008，x＝30余2。
拆掉两根直线，使其画上去的时候余没有旋转的二跟直线分别平行，这样又会少了二个交点，前述的余数2交点可以消除，这样就可以得到2008个交点了。证毕。.

引用:

原帖由 chin 于 2008-12-15 18:21 发表
猫老师肯定是知道的
可就是不说
探究性学习费时多多呀

探究性学习才是正道啊。
另外这个问题我是随口问的，在中间的那些值多半都是取得到的。
：）.

又探究了下
如果题目中要求不允许有重合的交点
是否可以呢？
嘻嘻.

猜测也是可以的。.

咋证明？
解方程？.

6条直线恰好有 6 个交点，好像画不出.

如果这样的话，题目似乎会简单一些，试试看，请批评指正：

1、先考虑平面上有n根互不平行之线，则有n(n-1)/2个不重合的焦点；
2、如n(n-1)/2=2008有整数解，且=100，解毕；如 〉100，则无解；此题n<100且非整数，继续；
3、自第n+1根线始，只能令其平行于第n根线，设有k根线，增加(n-1)*k 个不重合交点；
4、求解方程：n(n-1)/2 + (n-1)*k = 2008 和 n+k=100，如有整数解则解毕，否则无解。.

这样子的话，是求 n(n-1)/2 + (n-1)*k = 6 和 n+k=6，是无解的。

看看这样子对不？.

应该还可以有若干组，每组内是相互平行的直线的
于是可以用组合的减法
n条互不平行的直线有C(2,n)个不重合的交点
减去
m条互相平行的直线有C(2,m)个交点
p条互相平行的直线有C(2,p)个交点
q条互相平行的直线有C(2,q)个交点
......
2条互相平行的直线有C(2,2)=1个交点.

不过列式计算太麻烦了
用计算机？.

有道理！.

看来如果作为练习题做的话，只能数字小点（像2008这样的数字还可以），还能设法凑。。。.

凑还是有规律的
估计靠近下限的若干个数字是有困难的
要不请猫老师总结下.

引用:

原帖由 echooooo 于 2008-12-16 11:21 发表
应该还可以有若干组，每组内是相互平行的直线的
于是可以用组合的减法
n条互不平行的直线有C(2,n)个不重合的交点
减去
m条互相平行的直线有C(2,m)个交点
p条互相平行的直线有C(2,p)个交点
q条互相平行的直线有 ...
2条互相平行的直线有C(2,2)=1个交点

平行线有交点吗？.

哈哈
减去.

引用:

原帖由 chin 于 2008-12-16 12:16 发表
凑还是有规律的
估计靠近下限的若干个数字是有困难的
要不请猫老师总结下

总结：都是高手。.

管杀不管埋呀！.