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[数学] 2007-12-22 初一

2007-12-22 初一

已知a+b+c=3a^2+b^2+c^2=29a^3+b^3+c^3=45,求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值。.

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42。.

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回复 2#jhfwin 的帖子

怎样算?.

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ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=ab(3-c)+bc(3-a)+ca(3-a)=3(ab+bc+ad)-3abc
(a+b+c)^2=29+2(ab+bc+ac)=9  ab+bc+ac=-10
(a+b+c)^3=45+3(ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc)=27
ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc=-6
因为ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c=3(ab+bc+ad)-3abc=-30-3abc
又因为ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc=-6
所以-30-3abc+2abc=-6  abc=-24
再带入ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc=-6
ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)
-48=-6
得ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=42   
这题出的真有水平.

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引用:
原帖由 YINGMM 于 2007-12-22 20:48 发表 \"\"
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=ab(3-c)+bc(3-a)+ca(3-a)=3(ab+bc+ad)-3abc(a+b+c)^2=29+2(ab+bc+ac)=9  ab+bc+ac=-10
(a+b+c)^3=45+3(ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc)=27
ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc=-6 ...
做得不错,但是,第一步中ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=ab(3-c)+bc(3-a)+ca(3-a)应该为3-b.

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不好意思,昨天晚上做得头,晕死了,不小心打错了,谢谢纠正.

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ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)
=a^2*(b+c)+b^2*(c+a)+c^2*(a+b)
=a^2*(a+b+c)+b^2*(a+b+c)+c^2*(a+b+c)-(a^3+b^3+c^3)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3)
=3*29-45
=42.

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回复 8#zhenai 的帖子

干净.

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ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)
=a^2*(b+c)+b^2*(c+a)+c^2*(a+b)
好漂亮的变形。.

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回复 8#zhenai 的帖子

太聪明了!.

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