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[数学] 关于2007的数学题-(初中以上学力)-预初可以理解的两种解答

关于2007的数学题-(初中以上学力)-预初可以理解的两种解答

近期在整理一些数论的题目,数论题很有意思,不分大小、男女都能做,也都觉得难。
这是一道关于2007的题。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-12-23 07:43 编辑 ].

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2007.jpg (16.07 KB)

2007-12-10 18:34

2007.jpg

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当年俺做过9^1991,9好办。2有些小麻烦。可能要和1024联系起来。.

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大多数的数学题都是讨论末尾数字为多少,讨论最前面几个数字的题就算是“新题”了,难度的确是比确定尾数大一些。.

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回复 2#老猫 的帖子

1024俺算过,到2^90次方乘以4都是4打头,100次方就不行了。.

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关键是“2^2007是605位数,且首位数字是1”不知咋用,不会是跟2进制有关吧?.

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201个.

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200个,对吗?

[ 本帖最后由 duyan 于 2007-12-11 10:59 编辑 ].

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引用:
原帖由 Ted老爸 于 2007-12-11 10:37 发表 \"\"
201个
如果201个,2^2007根据推算只能是603位了,且首位数字是1。多了2次进位,则首位4的出现推迟2个周期,我想201-2=199可能对吧。.

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回复 8#duyan 的帖子

我看规律是:2^2,2^12,2^22,2^32.....2^2002首位是4..

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引用:
原帖由 Ted老爸 于 2007-12-11 10:48 发表 \"\"
我看规律是:2^2,2^12,2^22,2^32.....2^2002首位是4.
那你没有看到上述数字的进位关系了。我想应该和进位关系一道分析才行。如2^(0-3)是一位数,2^(4-6)是两位数,2^(7-9)是三位数,2^(10-13)是四位数。因此,按照数位关系,推算出来2^2007只是603位数了,多进位了2次(题意是605位数),则2^(10n+2)不会全部是4首位数开头的n=0,1,2,...200。
根据刚才的进位和数位推算,进位一次,则4首位数的出现后延一个3/4的位数周期。
2002到2006大于一个周期,小于2个周期。因此将会少出现一次4作为首位数。我想答案会是200了。

[ 本帖最后由 duyan 于 2007-12-11 11:00 编辑 ].

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回复 10#duyan 的帖子

我想即使2^2007为605位(有两个进位),也不影响出现4的机会,因为假设的循环节为10.(4+3+3).

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引用:
原帖由 Ted老爸 于 2007-12-11 11:25 发表 \"\"
我想即使2^2007为605位(有两个进位),也不影响出现4的机会,因为假设的循环节为10.(4+3+3)
出现进位肯定会有影响的吧。
如2^n(n已经是足够大的)数是2xx.....x的时候,乘以4要有进位的话,乘以2的时候,首位数是5了,不会出现4了,这样肯定要少出现一次。因此,有2次进位肯定在2^2007之前已经有了2次进位,但也不能确定2^2006的首位数一定是几,还只有从进位的规律来推算了。
这个说明,2^2002次方的首位数肯定不会是4了。一定是后延了。.

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已经产生进位了,那你假设的循环周期就会发生错位了,根据这个假设的结果肯定不会正确了。因为你没法证明这个假设一定是正确的。

[ 本帖最后由 duyan 于 2007-12-11 12:04 编辑 ].

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这个倒是应该高中做的.

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我知道了,每十个中最多有1个。.

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上面几位答案还不是很对。根据对数可以计算得到2^2007=1.4696×10^604为605位数。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-12-11 14:20 编辑 ].

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那就一个一个对出来?
就算对好了,也得数半天,嘻嘻。.

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数字2^n,若n*lg2的小数部分<0.1,则2^n的首位数字是4。.

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不需要使用过于“强大”复杂的手段。.

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回复 19#wood 的帖子

始乱终弃?
智力有限,认栽。
搬个凳子,认真听讲,争取早日初中毕业。.

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我非常反对使用“强大”的工具来解决问题,所谓杀鸡用牛刀,通常说明没有发现问题的本质,50、60年代科普书籍都是真正的大师写的,一本本都很薄,深入浅出。
现在的书印刷、出版起来更加方便,所以不少“中师”、“小师”也都有机会出书了,但是有相当一部分写的厚重、繁杂来显示“功力”。
此题我下周上完课以后会即使给出解答。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-12-15 12:55 编辑 ].

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顶上来,别给忘了。.

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回复 22#echooooo 的帖子

我周末上课以后会解答。.

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解答

设这个集合为S,显然他们中最大的数是604位数。很容易证明下面这个性质
性质1:如果a是一个首位数字为1的k位数,则2a、4a都是k位数,16a为k+1位数。
而8a不能确定,既可能是k位数,也可能是k+1位数。根据这个简单的性质,我们可以知道对于每一个1≤K≤604,S中都有k位数。假设ak是其中最小的k位数,则ak的首位数字肯定是1,不然的话ak/2就是一个更小的k位数,矛盾。所以我们有
结论1:S恰好有604个首位数字为1的数。
如果一个偶数b的首位数字是2、3,则b/2首位数字肯定是1,同时任意首位数字是1的正整数b,2b首位数字肯定是2或3。所以有
结论2:S恰好有604个首位数字为2、3的数。
如果一个偶数b的首位数字是4、5、6、7,则b/2首位数字肯定是2、3,同时任意首位数字是2、3的正整数b,2b首位数字肯定是4、5、6、7。所以有
结论3:S恰好有604个首位数字为4、5、6、7的数。
这样,S中还剩下2007-604×3=195个数,首位数字只能是8、9。
而首位数字是8、9的偶数b,b/2首位数字肯定是4,同时任意首位数字是4的正整数b,2b首位数字肯定是8、9.因此我们得到了我们想得到的最终结果:S中首位数字是4的数共有195个。.

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很有道理,可惜还是晕。.

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引用:
原帖由 cechooooo 于 2007-12-22 21:49 发表 \"\"
很有道理,可惜还是晕。
初等不等于简单,解答用的知识的确很少。.

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解法2

我们把S的2007个数进行分组,位数相同的数分在一起,根据24的讨论,我们知道共分为604组,每组要么3个数,要么4个数。设3个数的x组,4个数的y组。
则有x+y=604,3x+4y=2007,解得y=195,也就是说恰好有195组有4个数.
而每组第一个数数字为1,首位数字为4的数只可能出现在每组的第3个,并且如果它出现在第3个,它的两倍肯定还没有进位,所以这一组有4个数。另一方面,每组第3个数首位数字至少为4,如果第3个数首位数字不等于4的话,它的两倍就要进位了,所以这一组肯定只能有3个数。也就是说首位为4的数,和4个数一组的组是一一对应的。
因此S中恰好有195个数,首位数字为4。.

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200个,同意9楼的做法。.

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引用:
原帖由 wood 于 2007-12-23 07:54 发表 \"\"
我们把S的2007个数进行分组,位数相同的数分在一起,根据24的讨论,我们知道共分为604组,每组要么3个数,要么4个数。设3个数的x组,4个数的y组。
则有x+y=604,3x+4y=2007,解得y=195,也就是说恰好有195组有4个数 ...
以位数分组是解决这道题的关键。.

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