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[数学] 关于2008的数论题、组合题-有奖征解

关于2008的数论题、组合题-有奖征解

也是一道有关首位数字的题目:

[ 本帖最后由 wood 于 2008-1-17 22:12 编辑 ].

附件

9-2008.gif (2.03 KB)

2008-1-1 14:16

9-2008.gif

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看到数论题就想起了茴字有几种写法。

是中学生,不是孔XX!.

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这是当年俺高中竞赛的题目。
每次出现9,就会少进一位。.

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当年考的时候没有告诉几位数,要用对数算一下。
我有个同学去厕所,用计算器按了一遍。
:).

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有奖征解

要求有过程,第一个答对的奖励梁绍鸿先生编写经典几何书籍《初等数学复习及研究-平面几何》的习题解答。.

附件

2008.jpg (10 KB)

2008-1-12 12:21

2008.jpg

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动心啊。每次有人奖励书辑,都要赶紧下手。
先占住楼层,为了表示已经做出来了。
结果是604。

然后再慢慢写过程。.

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解法涉及对数计算过于繁琐,不适合作为考试的解题答案。而且题目是问多少个首位数字为9。:)

征解继续。.

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额,看错了。9应该比1少很多。9应该比1简单得多。赶紧试试。

[ 本帖最后由 老猫 于 2008-1-14 11:19 编辑 ].

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由于3^2=9相当的接近10,因此绝大部分的是乘以3^2以后就进一位。如果就是根号10的次方数,那么2008次方以后就是1005位。
现在只有959位,所以少了46位。
少的这46位是由于出现了部分乘以3^3才进一位的情况。考察首位是9的数,其除以3^2位数不变。考察首位不是9的情况,其除以3^2位数少1。
由此可知首位是9的数是46*2=92个。

搞定,果然简单好多。.

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引用:
原帖由 wood 于 2008-1-14 09:21 发表 \"\"
解法涉及对数计算过于繁琐,不适合作为考试的解题答案。而且题目是问多少个首位数字为9。:)

征解继续。
对数化乘法为加法,个人认为是一种极好的运算。
记得谁说过,对数运算使得所有的天文学家的寿命增加了一倍。.

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解答还需要改进。
不然的话,同理可得:3、9、27中有2个首位数字为1。.

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6楼的题征解继续。
再来征解一个与2008相关的组合题:从1,2,3,。。。,2008中最多能选出多少个数,使得其中任意两个数的差不等于8,也不等于3。要求有完整解答过程。
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每8个数字一个周期考虑,第一个全选奇数,第二个周期全选偶数,得1,3,5,7,10,12,14,16。因任意两个数之差不等于3,去掉10,14,16即满足条件,也要考虑到后面的17,19。
因此16个数为一个周期,可以选5个
2008/16=125....8
最多可以选:125*5+4=629(多余8个数字可以选4个).

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引用:
原帖由 wood 于 2008-1-12 12:21 发表 \"\"
要求有过程,第一个答对的奖励梁绍鸿先生编写经典几何书籍《初等数学复习及研究-平面几何》的习题解答。
我们把这2008个数补一个3^0=1,一共2009个数进行分组,位数相同的数分在一起,根据3^2008是个959位数,当首位数是9的时候,该位数的数字有3个,如1,3,9,而27.81是不会出现9的。我们知道共分为959组,每组要么3个数,要么2个数。设3个数的x组,2个数的y组。
则有x+y=959,3x+2y=2009(补上3^0=1了),解得x=91,也就是说恰好有91组有3个数,该组的第三个首位是9。
终于解出来了。奖励有吗?.

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引用:
原帖由 wood 于 2008-1-1 14:16 发表 \"\"
也是一道有关首位数字的题目:
本题的解答也很简单了。某个数如乘以9没有进位,这个位的数有2个,肯定出现一次首位数是9了。
即:2009-1917=92个。.

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引用:
原帖由 wood 于 2008-1-17 22:17 发表 \"\"
6楼的题征解继续。
再来征解一个与2008相关的组合题:从1,2,3,。。。,2008中最多能选出多少个数,使得其中任意两个数的差不等于8,也不等于3。要求有完整解答过程。
构造数列:1471025811369
容易知道每11个数中最多可以取出5个数,满足任意两个数相差不是8或者3
取出:4561011
构造11k+411k+511k+611k+1011k+11
由于2008除以116,容易知道最后一个循环最多有三个数。
因此最多取到182×53913个数。.

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引用:
原帖由 ITmeansit 于 2008-1-18 02:48 发表 \"\"

我们把这2008个数补一个3^0=1,一共2009个数进行分组,位数相同的数分在一起,根据3^2008是个959位数,当首位数是9的时候,该位数的数字有3个,如1,3,9,而27.81是不会出现9的。我们知道共分为959组,每组要么3个数,要么2个数。设3个数的x组,2个数的y组。
则有x+y=959,3x+2y=2009(补上3^0=1了),解得x=91,也就是说恰好有91组有3个数,该组的第三个首位是9。
哈哈,奖励是我的了。
由于题目中说明3^2008是个首位为1的959位数,所以设3个数的x组,2个数的y组。
则有x+y+1=959,3x+2y+1=2009(补上3^0=1,+1是因为考虑到3^2008是个首位为1的959位数),解得x=92,也就是说恰好有92组有3个数,该组的第三个首位是9。
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引用:
原帖由 wood 于 2008-1-14 18:06 发表 \"\"
解答还需要改进。
不然的话,同理可得:3、9、27中有2个首位数字为1。
只是改进还是没有想出来。 .

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回复 17#ITmeansit 的帖子

数论题解答正确!请短信告知email地址或qq。

但是组合题解答不正确。.

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老猫老师全部正确。另外加imo几何书一本。.

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引用:
原帖由 老猫 于 2008-1-18 09:06 发表 \"\"


哈哈,奖励是我的了。
由于题目中说明3^2008是个首位为1的959位数,所以设3个数的x组,2个数的y组。
则有x+y+1=959,3x+2y+1=2009(补上3^0=1,+1是因为考虑到3^2008是个首位为1的959位数),解得x=92,也就是 ...
我觉得即使考虑了3^2008是个首位为1的959位数,也不能证明该959位数一定有3个数。因为这个首位数必须是小于1.11(无限循环)的数,才有可能得到959位数里有三个数,否则这个首位数乘以3^2=9时,肯定进位了。你的这个假设不能成立。

验证如下:3^2008=1.1468*10^958,1.1468>1.1111, 因此这个组里只有2个数。看来我的计算应该是正确的,还请wood验证一下。

呵呵,如果正确,奖励还应该是我的啊!.

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回复 23#ITmeansit 的帖子

你错了,老猫是对的.
只要考虑3^2008以前的数,所以3^2008这组究竟有几个就没有关系了..

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回复 24#布尔巴基 的帖子

刚才自己也想明白了。是要缩一位考虑的。因此老猫的正确。.

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