若x与y都是自然数，试证：x²+y+1和y²+4x+3的值不能同时都是完全平方数.

令x=by，

那么

x^2+x/b+1, y^2+4by+3

如果x^2+x/b+1是完全平方数。即使(1/2b)^2=1 b=1/2

y^2+4by+3=y^2+2y+3非完全平方数.

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引用:

原帖由 珠珠的妈妈 于 2008-1-23 21:20 发表
令x=by，

那么

x^2+x/b+1, y^2+4by+3

如果x^2+x/b+1是完全平方数。即使(1/2b)^2=1 b=1/2

y^2+4by+3=y^2+2y+3非完全平方数

错，x可以是by+c或by-c的形式。。。.

偶数的完全平方数有4k的形式。
奇数的完全平方数有4k+1的形式。

假设x²+y+1和y²+4x+3都是完全平方数。
如y是偶数，则
y²+4x+3=4k+4x+3，不可能是完全平方数。
得，y必然是奇数。
（如x²+a=(x+b)²，则a、b有相同的奇偶性）
则可设
x²+y+1=(x+2m)²=x²+4mx+4m²    =>   y=4mx+4m²-1     (m>=1)
y²+4x+3
= (y+(2n+1))²
= y²+2(2n+1)y+(2n+1)²      (n>=0)
则
4x+3
=2(2n+1)y+(2n+1)²
=2(2n+1)(4mx+4m²-1)+(2n+1)²
=8m(2n+1)x + 2(2n+1)(4m²-1)+(2n+1)²
>= 8x +7 矛盾
所以x²+y+1和y²+4x+3的值不能同时都是完全平方数。。。 .