发新话题
打印【有7个人次参与评价】

[数学] 五一的作业 一道初二几何题 请大家帮帮忙

五一的作业 一道初二几何题 请大家帮帮忙

如图Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=60° ,D是AC上的一个动点(D与A、C不重合),过D作DE//AB交BC于E,过A作AF//BC交ED的延长线于F,联结AE、CF,取AE、CF的中点G、H,联结G、H,在点D移动的过程中,下列结论是否成立,如果成立,请指出点D的位置,并加以证明,如果不成立,请说明理由。
1.四边形AECF是直角梯形、菱形?
2.四边形AECF是等腰梯形、矩形?

谢谢大家了!.

附件

IMAG0242_副本.jpg (117.97 KB)

2012-4-30 10:18

IMAG0242_副本.jpg

TOP

儿子做的,不知道对不对

直角梯形:(1)∠AEC=90°
                   ∵DE//AB      ∴∠BAC=∠CDE
                   又∵∠ACB为△ACE,△CDE公共角
           ∴△CDE∽△CEA,且为一个内角等于30°的直角三角形
           ∴AC=2CE=4CD,D为AC四等分点
           (2)∠AFC=90°
                    同(1)可证△AFD∽△ACF
                    AC=2AF=4AD,D为AC四等分点
菱形:由菱形AECF得AE=CE     ∴∠EAC=∠ACB=60°
          ∵∠BAC=90° ,DE//AB   ∴∠CDE=90°
          ∵DE为Rt△ADE与Rt△CDE公共边,AE=CE
      ∴Rt△ADE≌Rt△CDE       ∴AD=CD,即D为AC中点
等腰梯形:若AECF为等腰梯形,则∠AEC=∠FCE,AE=CF
          ∴△ACE≌△FEC,∴AC=EF=AB,矛盾,∴AECF不是等腰梯形
矩形:若AECF为矩形,则AF=CE
          ∵AF∥CE      ∴∠AFD=∠CED
         又∵∠ADF=∠CDE        ∴△ADF∽△CDE,相似比1:1
         此时D为AC中点,但由“菱形”一题,知∠AEC≠90°   矛盾
     ∴AECF不是矩形.

TOP

回复 2楼yusky 的帖子

谢谢谢谢,但是因为相似还没有教,不知还有没有别的方法呢?.

TOP

不好意思,儿子出去玩了,我也不懂。.

TOP

1.四边形AECF是直角梯形、菱形?
如果是直角梯形、菱形需要满足什么条件。
2.四边形AECF是等腰梯形、矩形?
如果是等腰梯形、矩形需要满足什么条件。


这里面用到了平行线的性质.

TOP

补充5楼,还有直角三角形的相关性质,60度角。.

TOP

这是一道非常好的题目。看似是学过四边形问题后的综合题目,其实把前面学过的平面几何问题很好的融合到了一起。
建议做之前,首先把教材上四边形部分很好的再理解一下。有可能的话,再看看三解形以及平行等章节。然后再解决这道题目,收获会很大的。.

TOP

1.四边形AECF是直角梯形、菱形?可以。
如果是直角梯形、菱形需要满足的:直角梯形的时候,CE等于四分之一BC;菱形时,CE等于二分之一BC。
与直角三角形的角有关,直角三角形BAC中,角ABC是30度,
所以AC等于BC的一半,
如果是等腰梯形,那么角ACF也是30度,所以AF等于二分之一的AC。
所以AF等于四分之一的BC。
AF平行BC是已知的。
如果是菱形,只要证明是一组邻边相等的平行四边形就可以了。
也就是证明AF=AE
E为BC的中点,所以BE=EC=AE,而AF=BE,所以AF=AE
因此如果是直角梯形、菱形需要满足的:直角梯形的时候,CE等于四分之一BC;菱形时,CE等于二分之一BC。

再整理整理就可以了。.

TOP

2.四边形AECF是等腰梯形、矩形?不可以,用假设法
如果是等腰梯形、矩形需要满足:都要满足对角线相等。也就是说AC等于EF,AB等于EF,也就是说要AB等于AC,由已知的条件AB和等AC的(一个三角形中等角对等边,30度对的角和60度对的解角是不等的)


再整理整理就可以了。

转化为对角线的问题。.

TOP

好题,参与一下,junhuayang2005的(2)解比较巧;但是(1)直角梯形应有两解,即D位于AC的1/4和3/4两种情况。至于菱形,D是中点证明较简单。.

TOP

引用:
原帖由 哈哈老六 于 2012-5-1 09:28 发表 \"\"
好题,参与一下,junhuayang2005的(2)解比较巧;但是(1)直角梯形应有两解,即D位于AC的1/4和3/4两种情况。至于菱形,D是中点证明较简单。
菱形也可以转化为对角线垂直平分。.

TOP

谢谢网上的老师,女儿经点拨已经作出来了。.

TOP

引用:
原帖由 哈哈老六 于 2012-5-1 09:28 发表 \"\"
好题,参与一下,junhuayang2005的(2)解比较巧;但是(1)直角梯形应有两解,即D位于AC的1/4和3/4两种情况。至于菱形,D是中点证明较简单。
但是(1)直角梯形应有两解,即D位于AC的1/4和3/4两种情况。对的,是两种情况。

第一题从中位线的角度考虑比较方便、直观。
此题把直角三角形以及四边形的相关内容都考查到了,真是好题。
再换个角度去想,可以用中位线来考虑。在三角形中中位线和中线的关系是互相平分。(平行于第三边和第三边的中线是互相平分)
四边形的对角线的交点在四边形的中位线上的时候意味着什么,如果对角线垂直平分相等是正方形,对角线垂直平分是菱形,对角线平分相等是矩形,对角线平分的是平行四边形。
一个梯形的对角线的交点不在这个梯形的中位线上。

如果这个直角三角形换成是等腰直角三角形呢,接下的条件不变,要求的两个问题也不变,会得到什么结论呢?.

TOP

回复 13楼junhuayang2005 的帖子

"在三角形中中位线和的关系是互相平分。(平行于第三边和第三边的中线是互相平分)
四边形对角线垂直平分相等是正方形,对角线垂直平分是菱形,对角线平分相等是矩形,对角线平分的是平行四边形。"这些知识点归纳总结的好。
       不过上述(1)解直角梯形时,我认为应用60度的条件,用“一个含60(或30)度的直角三角形,短边是斜边的一半”解题比较简单。中点G、H的条件反而多余(或成陷阱)。.

TOP

引用:
原帖由 哈哈老六 于 2012-5-2 19:38 发表 \"\"
"在三角形中中位线和的关系是互相平分。(平行于第三边和第三边的中线是互相平分)
四边形对角线垂直平分相等是正方形,对角线垂直平分是菱形,对角线平分相等是矩形,对角线平分的是平行四边形。"这些知识点归纳总 ...
我的理解是练习中位线相关的知识吧。.

TOP

我正在课本上找这道题目的雏形,已经找到一些,等我有时间慢慢写下来。.

TOP

此题对于现在八下的学生不错。.

TOP

发新话题