求证:在数列1、11、111、......、111......1111(1999个1）中必有一个是1999的倍数。.

假定没有
那么其中必然有两个数除以1999余数相同。
那么拿这两个数相减，得到11...1100...00
最后的0对于1999的倍数是没有贡献的
于是存在这样的一个数111...111是1999的倍数。.

啊~~~~楼主还多一个C~~~~.

理解上还是有点困难——
1、“那么其中必然有两个数除以1999余数相同”
为啥不可能是3个或者更多个的余数相同？
2、“那么拿这两个数相减，得到11...1100...00”
没有问题。
2、“最后的0对于1999的倍数是没有贡献的”
能得出“得到的11...1100...00与那两个数余数相同”这个结论
矛盾点究竟在哪里？
11与1100除以1999的余数并不相同。.

cechooooo是echooooo的c。.

1、除以1999的余数有1998个，而数字是有1999个，根据抽屉原理，必有二个除以1999的余数相同。
2、如果m>n，m个1和n个1除以1999的余数相同，则m个1减去n个1肯定是1999的倍数。那么就会存在（m-n）个1也是1999的倍数。（后面还有n个0，所以说后面的0没有贡献了）.

引用:

原帖由 echooooo 于 2007-11-4 08:05 发表
理解上还是有点困难——
1、“那么其中必然有两个数除以1999余数相同”
为啥不可能是3个或者更多个的余数相同？
2、“那么拿这两个数相减，得到11...1100...00”
没有问题。
2、“最后的0对于1999的倍数是没有贡献的”
能得出“得到的11...1100...00与那两个数余数相同”这个结论
矛盾点究竟在哪里？
11与1100除以1999的余数并不相同。

1、两个就够了。
2a、没有问题最好。
2b、通常情况下，加不加0对余数是有影响的。但是当原本就是整除的时候，就没有什么影响了。.

ok,IC.
1、若余数不为0，则1999个数除以1999至少有两个数的余数相同；
2、则任取余数相同的两个数，其差值必是1999的倍数；
3、设余数相同的两个数分别是1111...1111（m个1）、111...111（n个1），1<=n<m<=1999，
则其差值1111...1111000...000（m-n个1，n个0）必是1999的倍数；
4、除数1999，被除数末尾的0不影响其整除性质；
5、所以1111...1111（m-n个1）是1999的倍数；
6、1111...1111（m-n个1）在题目所述的数列中；
7、结论成立。.

由于1999是质数，因此10^1998=1 (mod1999)
111....111(1998个1)=(10^1998-1)/9=0 (mod1999).

费马小定理现在初中竞赛不考了。.

搞大的啦?.

不是我搞大的，是duyan.

呵呵，什么是我搞大的了？ .

应用费马小定理啊。.

不好意思，我还真不知道费马小定律呢。

算是瞎猫碰到死老鼠了吧！ .

不好意思，冤枉你了。
刚才看了一下，原来是xyq2100用的费马小定理。
.