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[数学] 2008-6-19

2008-6-19

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回复 1#老猫 的帖子

答: a, b, c中可能有1个或2个正数

由(x-y)/a=(y-z)/b=(z-x)/c=abc 化简得
x-y=a^2bc ------ (1)
y-z=ab^2c ------(2)
z-x=abc^2 ------(3)
∵(1)+(2)+(3)=0
∴a^2bc + ab^2c +abc^2=abc(a+b+c)=0
而a,b,c均≠0
∴a+b+c=0
即a, b, c中可能有1个或2个正数.

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正确.

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请教一题:“a,a+1,a+2连续自然数,a能被9整除,a+1能被11整除,a+2能被13整除,a最小能是几?”,咋弄弄???.

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回复 4#GerryBB 的帖子

648.

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回复 4#GerryBB 的帖子

a 最小是648, 这三个数是 648, 649, 650

可以这么考虑:
(1) 找出最小的a,a+1, 使a能被9整除,a+1能被11整除
∵9 mod 11=9
∴9的倍数 mod 11依此余 9, 7, 5, 3, 1, 10...
可见当9*6=54时, mod 11=10, 其后续自然数一定是11的倍数
所以,  找出了最小的两个连续自然数54和55, 分别能被9和11整除

(2) 以54和55为基础, 同步增加9和11的最小公倍数99的话, 仍能保证分别能被9和11整除的特性

(3) 在(2)的基础上, 找出最小的a+1和a+2, 使a+1能被11整除,a+2能被13整除
∵99 mod 13=8,  55 mod 13=3
∴55加上99的倍数 mod 13依此余 3, 11, 6, 1, 9, 4,12...
可见当55+99*6=649时, mod 13=12,  其后续自然数一定是13的倍数
所以,  在不破坏(2)的特性的前提下, 找出了最小的两个连续自然数649和650, 分别能被11和13整除

综合上述, 满足条件的最小的三个连续自然数是 648, 649, 650.

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回复 6#一叶轻舟 的帖子

为何不从9和11的整除特性入手?这样试六个数即可,分别是:11*14,11*23,11*32,11*41,11*50,11*59,最后一个满足条件。.

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回复 7#ITmeansit 的帖子

14,23,32,41.....该数列如何得出?.

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回复 8#一叶轻舟 的帖子

利用整除9的特性.

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回复 9#ITmeansit 的帖子

那俺再推广一道:
求最小的连续自然数, 使它们依此能被5,7,9,11,13整除?
俺的方法只要有耐心, 就能一步一步往下走哦

[ 本帖最后由 一叶轻舟 于 2008-6-19 11:22 编辑 ].

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有道理,学习了,谢谢.

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回复 10#一叶轻舟 的帖子

再加整除5的特性,选择〔23+45(n-1)〕×11的数字分别减去2和加1去试整除7和13,而且,乘以11是可以快速计算的(口算即可),应该很快可以计算出来的。.

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5/9/11的整除特性比较明显,可以找到规律。7/13的整除规律比较特殊,只有去试了。.

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也有道理,谢谢.

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引用:
原帖由 一叶轻舟 于 2008-6-19 11:15 发表 \"\"
那俺再推广一道:
求最小的连续自然数, 使它们依此能被5,7,9,11,13整除?
俺的方法只要有耐心, 就能一步一步往下走哦
刚刚发现最快的算法:(5*7*9*11*13+5)/2=22525即满足要求!

648=(9*11*13+9)/2,对连续奇数的整除满足条件,但没有证明出来!

也可验证早期的一个题目,连续三个自然数可以分别被17,19,21整除,最小的连续自然数是?(17*19*21+17)/2=3400,3401,3402

[ 本帖最后由 ITmeansit 于 2008-6-19 14:47 编辑 ].

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回复 15#ITmeansit 的帖子

哇, 太厉害了!
简直可以称作"ITmeansit猜想"了, 偶试了几个,貌似也没问题耶, 真的好佩服.

猫老师呀, 这个猜想成立吗? 能否证明一下呢?

[ 本帖最后由 一叶轻舟 于 2008-6-19 14:56 编辑 ].

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回复 16#一叶轻舟 的帖子

证明如下:
设连续奇数为:2n-1,2n+1,2n+3
则:[(2n-1)(2n+1)(2n+3)+2n-1]/2=4n^3+6n^2-2=S
S自然可以整除2n-1
S+1=(2n+1)(2n^2+2n-1)即可整除2n+1
S+2=4n^3+6n^2=2n^2(2n+3)即可整除2n+3.

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但5个连续奇数也成立,看来也是可以证明的,繁!呵呵。

看来可以证明任意连续的奇数,可以被连续自然数分别整除,连续自然数的第一个数是〔(2n+1)(2n+3)....(2n+2m+1)+2n+1]/2(有m+1个连续奇数),这个证明就比较麻烦了!.

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回复 18#ITmeansit 的帖子

perfect

由此得出, 你的方法是最简单利索的, 很好奇是怎么慧眼发现的?.

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我昏倒,原来中国民间有伽优秀的数学家,小囡一定不得了。敬佩敬佩,推荐侬去研究1+1号伐?.

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回复 20#GerryBB 的帖子

过奖了!数学家绝对谈不上,旺网的老ji、老封、老姜、wood、老猫等都是高手,我和他们差的很远呢。

也只是为了教儿子奥数,才学了奥数,呵呵,业余的。

[ 本帖最后由 ITmeansit 于 2008-6-19 20:17 编辑 ].

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谢谢.

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ITmeansit的结论很漂亮。我也来凑一下热闹(见图)。知道了个中的奥妙,我们还可以把结论作进一步的推广。.

附件

解释.JPG (68.47 KB)

2008-6-19 21:42

解释.JPG

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戈几搞大了,抢了老猫地盘,引出了高手一大片!!!!

感谢,感激,各位热心的家长(好像华育的唛多格)、高手、老师。
这是我家小儿参加15日大木桥插班考的题目,好像做错了,问我,我想了半天,想不用凑数方法解题,结果把自己越搞越晕,要提高到IT高手和老姜的公式推导,我是没这本事,不得不佩服各位高手,我需要跟儿子重新读奥数了.

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回复 23#老姜 的帖子

ITmeansit 猜想经姜老师这么轻松一证, 就真的perfect 了
俺受ITmeansit 的影响, 一直在做因式分解呢, 您的证法和猜想本身一样漂亮!

这个方法太巧妙了, 比俺那种老黄牛算法效率大大提高, 一定要让儿子好好领略一番.

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感谢老姜的证明!楼上知道什么是真正的高手了吧!.

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回复 24#GerryBB 的帖子

呵呵,我儿子很想去华育,就是太远了,还在犹豫之中。。。。。。.

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回复 27#ITmeansit 的帖子

不要犹豫了, 就冲你的猜想, 俺和GerryBB欢迎你加入.

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引用:
原帖由 ITmeansit 于 2008-6-19 22:10 发表 \"\"
感谢老姜的证明!楼上知道什么是真正的高手了吧!
高手是不在这里混的,我说的是实在话。这个问题对于吃这碗饭的老师来说其实蛮简单的,不客气。对家长要求显然不应这么高。其实很多时候,发现问题比解决问题更重要。从这一点说,你是老大。.

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引用:
原帖由 一叶轻舟 于 2008-6-19 22:16 发表 \"\"
不要犹豫了, 就冲你的猜想, 俺和GerryBB欢迎你加入
对!.

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昨日晚了,大家洗洗都睡了。其实,我证明的问题与原问题并不等价,更进一步的问题是:这些数确实符合题意,但是最小的吗?这个问题并不难回答,答案是肯定的。我今天来挑个话题,大家有兴趣考虑下去,没兴趣就拉倒了。不要问我答案哦,赖得再写了。 .

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老姜精益求精的精神值得敬佩!

给出的证明并没有说明是最小的,但事实上是最小的。.

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A(k)=a+kn(n+2)(n+4)...(n+18)都能满足要求(n是奇数,接老姜的证明),a是k=0时最小。.

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到杭州玩了两天,这儿已经变成这个样子了。
:).

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回复 34#老猫 的帖子

杭州有拍啥照片?一起欣赏欣赏。
岳王庙的就免了,省得又刺激俺。.

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引用:
原帖由 GerryBB 于 2008-6-19 09:54 发表 \"\"
请教一题:“a,a+1,a+2连续自然数,a能被9整除,a+1能被11整除,a+2能被13整除,a最小能是几?”,咋弄弄???
给个有趣的做法。能推出一般的结论的。但是为了偷懒起见,就以这个问题为例子。
改一下题目:“b-2,b-1,b是连续自然数,b-2能被9整除,b-1能被11整除,b能被13整除,b-2最小能是几?”
根据题目,b被13整除,b除以11余1,b除以9余2。
所以2b被13整除,2b除以11余2,2b除以9余4。
所以2b除以13余13,2b除以11余13,2b除以9余13。
所以b的最小值是(9*11*13+13)/2

请哪位有兴趣的兄台,把它推广到一般的情况。

[ 本帖最后由 老猫 于 2008-6-20 22:35 编辑 ].

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引用:
原帖由 echooooo 于 2008-6-20 20:45 发表 \"\"
杭州有拍啥照片?一起欣赏欣赏。
岳王庙的就免了,省得又刺激俺。
岳王庙没有去。
杭州去了n次了,从来没有进过岳王庙。.

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回复 36#老猫 的帖子

这个办法也真不错, 学习了!
看上去, 俺原来的方法是最笨的了.

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引用:
原帖由 一叶轻舟 于 2008-6-20 21:42 发表 \"\"
这个办法也真不错, 学习了!
看上去, 俺原来的方法是最笨的了
但教小学生是最好的解法..

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回复 36#老猫 的帖子

a,a+1,a+2连续自然数,a能被10整除,a+1能被13整除,a+2能被16整除,a最小能是几?
你的方法又将如何呢?我的方法还是一样,不过有点小的变化哦。.

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乘以3啊。.

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回复 41#老猫 的帖子

a=(S+10)/3, S=[10,13,16],这样的a才是最小。.

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引用:
原帖由 老姜 于 2008-6-20 07:08 发表 \"\"
昨日晚了,大家洗洗都睡了。其实,我证明的问题与原问题并不等价,更进一步的问题是:这些数确实符合题意,但是最小的吗?这个问题并不难回答,答案是肯定的。我今天来挑个话题,大家有兴趣考虑下去,没兴趣就拉倒了 ...
不同意。这样算出来的并不一定是最小的。

各位上面讨论的都是中国剩余定理的特殊情况。.

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