已知实数a、b、c满足|a|≥|b+c|,|b|≥|c+a|,|c|≥|a+b|，求a+b+c。.

a，b，c可以都为么？.

a，b，c都是0的话，和也为0。.

试了半天，发现必有一负两正。并且负数的绝对值是两正数的和。.

能否这样解：|a|≥|b+c|             1
                        |b|≥|c+a|             2
                        |c|≥|a+b|             3
1+2+3=|a+b+c|≥|2（a+b+c）|
a+b+c=0.

不能。.

因为|a|≥|b+c| ，所以a^2≥(b+c)^2,
同理，|b|≥|c+a|   ，b^2≥(c+a)^2,  |c|≥|a+b| ,c^2≥(a+b)^2
所以，a^2+b^2+c^2≥(a+b)^2＋(c+a)^2＋(a+b)^2
得：0≥(a+b+c)^2
a+b+c=0.

干净利落。.

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引用:

原帖由 老猫 于 2007-11-21 10:01 发表
已知实数a、b、c满足|a|≥|b+c|,|b|≥|c+a|,|c|≥|a+b|，求a+b+c。

聪明办法没有，就来笨办法呗，总比做不出好吧？

所有实数，要么≥0，要么≤0。
可能的情况只有：
1）a、b、c都≥0
则|a|≥|b+c|即a≥b+c，得a≥b，a≥c
而|b|≥|c+a|即b≥c+a，得b≥a
故只能a=b，c=0
同理，得b=c，a=0
因此，原式只能在a=b=c=0时成立，
a+b+c=0
2）2个数都≥0，另1个数≤0
由于已知条件的对称性，不妨设a≥0，b≥0，c≤0
则|c|≥|a+b|即-c≥a+b，得-c≥a，-c≥b，即a+c≤0，b+c≤0
而|a|≥|b+c|即a≥-(b+c),得-c≤a+b,
同理，|b|≥|c+a|即b≥-(c+a),得-c≤a+b
故只能-c=a+b
因此，a+b+c=0
3）1个数≥0，另2个数都≤0
由于已知条件的对称性，不妨设a≥0，b≤0，c≤0
则|a|≥|b+c|即a≥-b-c,得a≥-b,a≥-c，即a+b≥0,a+c≥0
而|b|≥|c+a|即-b≥a+c,得a≤-b-c
同理，|c|≥|a+b|即-c≥a+b,得a≤-b-c
故只能a=-b-c
因此，a+b+c=0
4）a、b、c都≤0
则|a|≥|b+c|即-a≥-b-c，得-a≥-b，-a≥-c
而|b|≥|c+a|即-b≥-c-a，得-b≥-a
故只能a=b，c=0
同理，得b=c，a=0
因此，原式只能在a=b=c=0时成立，
a+b+c=0

综合上述，结论是a+b+c=0.

有人干净利落地做好了，俺还现啥丑？
权当复习复习吧，聊以自慰。.

引用:

原帖由 echooooo 于 2007-11-24 00:01 发表
有人干净利落地做好了，俺还现啥丑？
权当复习复习吧，聊以自慰。

俺就是这么做的，俺和俺的几个朋友讨论下来，觉得这样的做法才是正道。
而干净利落的做法有过于机巧的嫌疑。.

引用:

原帖由 老猫 于 2007-11-24 06:57 发表


俺就是这么做的，俺和俺的几个朋友讨论下来，觉得这样的做法才是正道。
而干净利落的做法有过于机巧的嫌疑。

这个方法不算投机取巧吧。
我在中学的时候，老师教过的，一个式子的平方数开根号就等于这个式子的绝对值，如根号(a+b+c)^2=|a+b+c|，本题就是引用这个式子的结论。这样可以回避a,b,c的正负值枚举了。.