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[数学] 2008-8-1

2008-8-1

DABC是正三角形,D为其外接圆上弧BC上任意一点,求证:DB+DC=DA.

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在AD上取E,F点, 使 DB=DE, DF=DC
由DB=DE,∠ADB=60==>正△BDE==>∠EBD=∠ABC=60==>∠ABE=∠CBD=∠CAD
同理∠ACF=∠BCD=∠BAD
而AB=AC
∴△ABE全等于△ACF
∴AE=CF
∴AE=CD
而DB=DE
∴AC=BD+CD

[ 本帖最后由 一叶轻舟 于 2008-8-1 09:29 编辑 ].

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2008-8-1 09:29

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以BD为边向园外作正三角形BDE,易证明CDE为一直线,则△CBE与△ABD全等。
AD=CE=CD+DE=CD+BD.

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回复 2#一叶轻舟 的帖子

不需要F点,有E点足够了。
△ABE全等于△CBD
△BDE是正三角形。.

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回复 4#zhenai 的帖子

对的, 我多此一举了

[ 本帖最后由 一叶轻舟 于 2008-8-1 16:25 编辑 ].

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回复 2#一叶轻舟 的帖子

老猫钓鱼回来了,方便的话把钓到的鱼拿出来洒洒。
不需要E点,有F点足够了。
△AFC全等于△BDC
AF=BD
FD=DC
所以,AD=BD+DC.

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回复 6#小牛的爸 的帖子

呵呵, 你倒是会"起哄"哦
4# 叫我拿掉F点, 侬叫我拿掉E点
我索性都拿光吧, 看谁有折 ?.

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再临摹一遍。
以DC为边向园外作正三角形DCE,易证明BDE为一直线,则△BEC与△ADC全等。
AD=BE=BD+DC.

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回复 8#小牛的爸 的帖子

今朝哪能接招噶快呀?
我输了, .

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哈哈,现学现卖很开心,真的很开心!!! .

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回复 7#一叶轻舟 的帖子

我至少还知道有一种方法,一条辅助线也不要添。
也就是说EF都可以拿掉。.

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回复 11#老猫 的帖子

我想出来了, 可以利用"托勒密"的定理, 即圆内接四边形(ABDC)对边乘积的和= 对角线的乘积

设正△ABC边长为a
则有: a*BD + a* CD = a * AD
即 BD + CD = AD

这样一用, 证明过程非常简单!

[ 本帖最后由 一叶轻舟 于 2008-8-1 15:36 编辑 ].

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到此一游。.

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2008-8-5 23:19

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老姜就是进来露个笑脸,也不发表一下感言。.

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回复 15#老姜 的帖子

说得有理
应该用更低级的来证明
否则逻辑上是有问题的.

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引用:
原帖由 罗小星 于 2008-8-7 16:45 发表 \"\"
老姜就是进来露个笑脸,也不发表一下感言。
说点有争议的话。

倘用纯平几方法来证明托勒密定理(不考虑三角方法,其实这用三角来做,倒真的不必劳辅助线大驾了),我们至少需要添加一条辅助线。这时的证法,包含了旋转变换和相似变换。

老猫的问题实际上就是托勒密定理的特例。大家在证明老猫问题时所用到的合同变换,其实就是相似比为1的相似变换。

由于它们之间的联系实在太紧密了,堪称只有一步之遥(请特别注意这一点),因而直接利用托勒密定理来“证明”老猫的问题,号称不用添加一条辅助线,似乎有些“不厚道”。

一个很现实的问题是:一些可以利用著名定理来证明的没有添线的问题算不算添线了?我以为,这个要看定理和相关证明问题的因果关系是否紧密。

例如,利用余弦定理证明三角形中线长公式可以视为不需要添线,利用斯泰沃特定理证明三角形中线长公式,最好不要说这句话,除非我们另外说清楚斯泰沃特定理也可以用余弦定理来证明。

一家之言,不要拍砖。若大家有不同意见,看过算数。我们讨论的这些问题本来就没有标准的。大家热议起来,难免急火攻心,天很热,大可不必如此。

本来我以“到此一游”含蓄地表示一下看法,罗小星点名要我发言,一不小心说漏了嘴。这是我的臭毛病,改不了了。-_-.

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2008-8-7 22:25

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咦,老姜的帖子不翼而飞了。.

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引用:
原帖由 echooooo 于 2008-8-7 22:24 发表 \"\"
说得有理
应该用更低级的来证明
否则逻辑上是有问题的
麻烦你把帖子删掉重来。:).

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昏鼓起,
老姜的帖子飞到俺的回复后了,
时光倒流。.

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回复 18#老姜 的帖子

尊重历史吧.

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清朝在明朝前面,这已经不是“历史”了。-_-.

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2008-8-7 22:36

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哈哈,
历史常常不是真相。.

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引用:
原帖由 echooooo 于 2008-8-7 22:38 发表 \"\"
哈哈,
历史常常不是真相。
哈哈,其实刚才这段“历史”只在你我心中,别人都没份了。-_-

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老姜博客选——姜汁姜味的生活

http://ww123.net/baby/viewthread ... ;extra=&page=10.

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2008-8-7 22:41

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读书时,
老师特别强调过不能用高级的定理来证明低级的结论,
比如勾股定理的证明。
现在已经成为一种思维的定势了。.

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引用:
原帖由 老姜 于 2008-8-7 22:25 发表 \"\"
因而直接利用托勒密定理来“证明”老猫的问题,号称不用添加一条辅助线,似乎有些“不厚道”。
引用:
原帖由 echooooo 于 2008-8-7 22:43 发表 \"\"
读书时,老师特别强调过不能用高级的定理来证明低级的结论
  本来不想“不厚道”的, 是被猫老师“逼”的 .

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