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[数学] 2008-8-10

2008-8-10

n个数x1,x2,…xn,它们中的每一个数或者为1,或者为-1.如果x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1=0,求证:n4的倍数。.

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试试看(三十年没做这类题目了,做错了请原谅。。。)

按题意,x1x2+x2x3+x3x4...xnx1=0中任一乘积项必为1或-1。如有m项乘积为1,则必另有m项乘积为-1,故n=2m。

将上式重排,使前m项乘积为1,后m项乘积为-1,序号也相应重排。

设m为奇数:若第一项的第一个数为1,可推知前m项乘积中任一数均为1,则x(m+1)为1;因后m项为-1 ,可推得x(m+2)必为-1,x(m+3)为1,。。。
直至xn为1(n为偶数)。由于xnx1为-1,则x1必须为-1,与前述假设矛盾。同理,若第一项的第一个数为-1,可推至x1必须为1,亦为矛盾,故m不可能为奇数。

因n=2m,则n必能为4整除,为4的倍数。

汗嗒嗒滴啊。。。.

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前一半干净利落。
后一半也没有错,只是这种描述法感觉不太舒服。:).

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非常感谢老猫老师的评语!看来自己是该回学校回炉啦!.

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引用:
原帖由 greenjyz 于 2008-8-11 20:43 发表 \"\"
非常感谢老猫老师的评语!看来自己是该回学校回炉啦!
说清楚x1x2*x2x3*…*xn-1xn*xnx1=(x1x2…xn)^2=1就可以了么。



欢迎访问我的博客选:http://ww123.net/baby/viewthread ... ;extra=&page=11。.

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回复 5#老姜 的帖子

谢啦!唉,现在脑筋不好使,献丑了!.

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引用:
原帖由 老姜 于 2008-8-13 12:32 发表 \"\"

说清楚x1x2*x2x3*…*xn-1xn*xnx1=(x1x2…xn)^2=1就可以了么。

174263

欢迎访问我的博客选:http://ww123.net/baby/viewthread ... ;extra=&page=11
博客尽是妙文啊!.

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引用:
原帖由 greenjyz 于 2008-8-13 14:41 发表 \"\"
谢啦!唉,现在脑筋不好使,献丑了!
老前辈功夫不错,都三十年没练功了,还能宝刀不老,令我等后生敬畏。.

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过誉啦!汗颜中!
也是逼上梁山,小儿刚上初中,为激励他学好数学,提高兴趣,有时和他“内部比赛”(老猫老师的题目就是很好的赛题),只能重拾旧焰啊。。。.

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