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[数学] 来个数论杂题,探讨一下

来个数论杂题,探讨一下

自然数n是小于1000的奇数,n^19的后三位数是p,我们把n<p的奇数个数记作m1,把n>p的奇数个数记作m2。请问是m1大还是m2大?为什么?.

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先花了近2小时,一点思路都没有。有了思路之后,还是比较搞的!呵呵。.

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找个板凳坐好,看IT同学出题,听老姜、老猫老师上课。。。。。.

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才500个数而已。穷举一下了啦。.

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姜老师。人家点名了。不要在家看乌龟叠罗汉了。来帮忙啊。.

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回复 4#老猫 的帖子

哈哈,穷举?如果是n的2007次方呢?如何计算穷举?.

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引用:
原帖由 ITmeansit 于 2008-8-21 11:10 发表 \"\"
哈哈,穷举?如果是n的2007次方呢?如何计算穷举?
老猫要弄S侬,恶劣的。.

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引用:
原帖由 老猫 于 2008-8-21 11:07 发表 \"\"
才500个数而已。穷举一下了啦。
如果要穷举的话,要准备一个强大的计算器,再加上充足的时间。.

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刚刚闲下来,穷举了一下。
1、125、249、251、375、499、501、625、749、751、875、999。这12个数的十九次方的后三位和原数一样。
剩下的大的和小的一样多。

观察一下这十二个数,发现原来十九次方也是非本质的。只要是奇数次方就可以了。2007次方也是一回事。.

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引用:
原帖由 老猫 于 2008-8-21 22:07 发表 \"\"
刚刚闲下来,穷举了一下。
1、125、249、251、375、499、501、625、749、751、875、999。这12个数的十九次方的后三位和原数一样。
剩下的大的和小的一样多。

观察一下这十二个数,发现原来十九次方也是非本质的 ...
关键是如何证明剩下的大的和小的一样多呢?.

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猫老师的穷举太实在了。

祭起俺的大法——先凑小的
1^3=1,9^3=729
1^3=1,99^3=970299
1^3=1,999^3=997002999
嘿嘿,还是蛮有规律的嘛——

估计要配对

将这500个奇数配对:
1、999
3、997
5、995
...
499、501
当取定一个奇数a时,必有且仅有另一奇数b=1000-a
a^19=a^19
b^19=(1000-a)^19=1000m-a^19,m为确定的正整数
a^19、b^19的后3位数字均不为000且之和为000,
记作a^19的后3位数字为p,则b^19的后3位数字为q=1000-p
当a>p时,则b<q;反之亦然
当a=p时,则b=q
所以m1=m2.

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1、
若n为偶数,
则存在太多的p=000,导致q=000
存在a>p时,b>q
结果m1<m2

2、
若是偶数次方,
则后3位数相等
无法比较m1、m2

[ 本帖最后由 echooooo 于 2008-8-22 02:16 编辑 ].

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回复 11#echooooo 的帖子

完全正确!.

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回复 11#echooooo 的帖子

非常巧妙!  
PFPF .

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穷举完,我已经想清楚怎么做了。
写完一点点,就去睡觉了。想今天起床来写的。
结果。。。。。。
.

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引用:
原帖由 老猫 于 2008-8-22 07:58 发表 \"\"

穷举完,我已经想清楚怎么做了。
写完一点点,就去睡觉了。想今天起床来写的。
结果。。。。。。
应该开心才是,老师最高兴的时候,就是学生比你厉害。.

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呵呵,做题应该枚举,穷举在考试的时候时间不够的。从枚举中寻找规律有利于解题。.

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继续有请老猫,这12个数如何得出,千万别说是穷举来的,我晕!!!.

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很不幸,就是穷举的。.

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这12个数可以这样算出来,设a是一个奇数且a^19=a (mod1000)
a^19=a(mod 8) 等价于a^18=1(mod 8)这对每个奇数都成立
a^19=a(mod 125)
(1) a被5整除 =>a只能被125整除  有4个 125 375 625 875
(2)a不被5整除 那么 a^18=1 (mod125) 由于125的欧拉数=125*4/5=100,而18与100的最大公约数为2,
a^18=1 (mod125) 等价于a^2=1(mod 125) 因此a=±1(mod125) 有8个 1 249 251 499 501 749 751 999.

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