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[求助] 几道数学题求助

几道数学题求助

几道抽屉原理的数学题,请各位高手不吝赐教:
1)对于任意的正整数n,证明必存在一个完全由0或5组成的整数,它是n的倍数。

2)已知平面上有31个点,其中任何三点中总有两个点的距离小于1,求证:可用一个半径为1的圆盖住其中的16个点。

3)求证:任意给定6个正整数,用适当的运算符号联结起来后,必可使其运算的结果是30 的倍数。

4)已知9条直线中的每一条均把同一个正方形分成面积之比为2:3的两个四边形,证明:这9条直线中至少有3条过同一个点。.

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1、在n+1个正整数:5、55、555、...、55...55中,其中一定有两个数除以n的余数相同,相减即可。

2、取最远的两点。若其距离小于1,搞定。若其距离大于1,则这两点只作为圆心,画两个半径为1的圆,也搞定。

3、六个数中有两个数除以5的余数相同,相减。剩下四个数中有两个数除以3的余数相同,相减。剩下两个数,若有一个是偶数,将前面两个差和剩下两个数相乘即可;若都是奇数,相减,然后和前面的两个差相乘即可。

4、满足要求的直线一定经过正方形中的四个点之一,所以搞定。这四个点是对称的,但是说起来比较麻烦。偷懒了。.

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引用:
原帖由 老猫 于 2008-8-25 22:06 发表 \"\"
1、在n+1个正整数:5、55、555、...、55...55中,其中一定有两个数除以n的余数相同,相减即可。

2、取最远的两点。若其距离小于1,搞定。若其距离大于1,则这两点只作为圆心,画两个半径为1的圆,也搞定。

3、 ...
还是老猫的速度快,我才看到。.

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回复 2#老猫 的帖子

谢谢猫老师指点迷津。最后一题我还要再深刻领悟一下。.

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第4题给你一个详细版的,希望对你有用:
证明:设正方形为ABCD,E、F分别是AB,CD的中点。 设直线L把正方形ABCD分成两个梯形ABGH和CDHG,并且与EF相交于 P.梯形ABGH的面积:梯形CDHG的面积=2∶3,EP是梯形ABGH的中位线,PF是梯形CDHG的中位线,由于梯形的面积=中位线×梯形的高, 并且两个梯形的高相等(AB=CD),所以梯形ABGH的面积∶梯形CDHG的面积=EP∶PF,也就是EP∶PF=2∶3 .这说明,直线L通过EF上一个固定的点P,这个点把EF分成长度为2∶3的两部分。这样的点在EF上还有一个,如图上的Q点(FQ∶QE=2∶3)。同样地,如果直线L与AB、CD相交,并且把正方形分成两个梯形面积之比是2∶3,那么这条直线必定通过AD、BC中点连线上的两个类似的点(三等分点)。这样,在正方形内就有4个固定的点,凡是把正方形面积分成两个面积为2∶3的梯形的直线,一定通过这4点中的某一个。我们把这4个点看作4个抽屉,9条直线看作9个苹果,由定理2可知,9=4×2+1,所以,必有一个抽屉内至少放有3个苹果,也就是,必有三条直线要通过一个点。

说明:本题中的抽屉比较隐蔽,正方形两双对边中点连线上的4个三等分点的发现是关键,而它的发现源于对梯形面积公式S梯形=中位线×梯形的高的充分感悟。.

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回复 5# 的帖子

谢谢,很详细,很清楚。.

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引用:
原帖由 罗小星 于 2008-8-25 22:22 发表 \"\"


还是老猫的速度快,我才看到。
不是我速度快,是发帖的时间准。
我睡觉前看一下而已。
:)
写完就睡觉去了。.

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