已知a+b+c=3，a^2+b^2+c^2=29，a^3+b^3+c^3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值。.

４２。.

怎样算?.

ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=ab(3-c)+bc(3-a)+ca(3-a)=3(ab+bc+ad)-3abc
(a+b+c)^2=29+2(ab+bc+ac)=9  ab+bc+ac=-10
(a+b+c)^3=45+3(ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc)=27
ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc=-6
因为ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c=3(ab+bc+ad)-3abc=-30-3abc
又因为ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc=-6
所以-30-3abc+2abc=-6  abc=-24
再带入ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc=-6
ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)
-48=-6
得ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=42   
这题出的真有水平.

引用:

原帖由 YINGMM 于 2007-12-22 20:48 发表
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=ab(3-c)+bc(3-a)+ca(3-a)=3(ab+bc+ad)-3abc(a+b+c)^2=29+2(ab+bc+ac)=9  ab+bc+ac=-10
(a+b+c)^3=45+3(ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc)=27
ab^2+ac^2+a^2b+a^2c+bc^2+b^2c+2abc=-6 ...

做得不错，但是，第一步中ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=ab(3-c)+bc(3-a)+ca(3-a)应该为3－b.

不好意思，昨天晚上做得头，晕死了，不小心打错了，谢谢纠正.

.

ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)
=a^2*(b+c)+b^2*(c+a)+c^2*(a+b)
=a^2*(a+b+c)+b^2*(a+b+c)+c^2*(a+b+c)-(a^3+b^3+c^3)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3)
=3*29-45
=42.

干净.

ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)
=a^2*(b+c)+b^2*(c+a)+c^2*(a+b)
好漂亮的变形。.

太聪明了!.