1.一个圆内有600个点，其中任意三点不共线，能否把这个圆分成200块，使每块恰有三个点。
2.在边长为1的正方形ABCD上，从A出发作一条曲线AE，将正方形分为面积相等的两部分。求证：曲线AE的长不小于1。

谢谢！.

从试卷上来看第2题，有两种情况，一种是在CD上，另外一种是在超过中间平行线当中一点。但在奥数方面我不懂，晚上要问孩子。

[ 本帖最后由 PL721 于 2007-10-9 12:45 编辑 ].

第一题貌似有误，如果不说明“分成200块”的限定条件，那是显然的。
比如，就当是吃大饼，上面有600粒一一分开的芝麻，总能一口吃掉其中的3粒，而使大饼分为200块。.

实际上，曲线AE的长远不止1。

如果曲线AE<=1，则E点不可能在BC或CD边上，只能在AD或AB边上，
由于对称，不妨假设E点在AB 边上。

因为曲线AE将正方形分为面积相等的两部分，且E点在AB 边上，
所以曲线AE至少应接触到AD、BC的中点连线，
但曲线AE<=1，
所以曲线AE最多只能接触到AD中点，而此时所围的面积为0

因此，曲线AE的长不小于1。.

谢谢！估计老师出错题了。.

这题俺不奥的也看懂了。.

最短的曲线AE大概是如图了吧？

曲线分正方.jpg (61.48 KB)

2007-10-9 18:25

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你怎么那么厉害，孩子还没有学到这么深的程度。PFPF！.

第一题解答

圆内600个点可确定直线条数1/2×600×599是有限数，故圆外存在一条与上述直线均不平行的直线L，将L向圆内作平行移动，则600个点是逐个越过的，这是因为600个点无三点共线，另外若同时越过两点，则连接此两点的直线必与L平行，与L取法矛盾。这样当L越过3个点而未遇到第4个点时，画一条直线L1与L此时位置重合；L继续平移，当越过第6个点且未遇上第7个点时，再作直线L2。。。。。。如此作一系列直线，将圆分为200块，每块都含有3个点。.

第2题是1979年北京数学竞赛试题。.

第1题还有第2个问：

若每块中三点满足两两间距离皆为整数且不超过9，则以每块中的三点为顶点作三角形，这些三角形中大小完全一样的三角形至少有多少个？.

老大,你真认真呀!这么久的题目也给你找出来.真是非常感谢!.

当年我还参加过奥数比赛呢，可是偶现在看这题没有一点头绪。汗一把～～.

引用:

原帖由 炫炫爸 于 2008-3-31 08:14 发表
第1题还有第2个问：

若每块中三点满足两两间距离皆为整数且不超过9，则以每块中的三点为顶点作三角形，这些三角形中大小完全一样的三角形至少有多少个？

炫爸，有个问题：
中学几何中，镜像的三角形算不算“大小完全一样的三角形”？.

厉害!.

第2题的我解法是
ae肯定是在正方形的内部
如果设ab方向为x轴ad方向为y轴
则在x方向上ae的投影就是ab
在y上的投影是ad
而ab 和ad的长都为1
ae的投影长为1所以ae的长定大于1
第一题粗看象组合题 偶刷好牙想想.

炫炫爸的解法非常赏心悦目
第一题考虑用反证
假设不能分成200块似的每块恰有3个点
即存在一块中含有3个以上的点
假设为4个点 则可推出这4个点中至少3个点是共线的 与题目条件矛盾
所以可以分成200块.

引用:

原帖由 炫炫爸 于 2008-3-31 08:14 发表
第1题还有第2个问：

若每块中三点满足两两间距离皆为整数且不超过9，则以每块中的三点为顶点作三角形，这些三角形中大小完全一样的三角形至少有多少个？

这个应该是抽屉原理了，选择好抽屉，就可以计算出来了。.