发新话题
打印【有0个人次参与评价】

[数学] 三年级推荐阅读:数字广场之数苹果、植树问题

三年级推荐阅读:数字广场之数苹果、植树问题

TOP

回复 1#ccpaging 的帖子

谢谢推荐,阅读后,才知什么叫抽屉原理。
将4个巧克力放入(  )个盒子里,可以保证每一种情况中至少有一个抽屉中有2个或2个以上的巧克力。

这题也是女儿的练习卷,当时女儿不会,问我,我告诉它这题老师出得有问题,明天问老师。原因在于题中没有说明至少每个盒子里都要保证有一块,如没有这样的限制,我认为任意一个数都可以,只不过大于4的数用0代替。1个盒子4,2个盒子2+2,3+1,4+0,3个盒子0+0+0+4,0+0+1+3,0+0+2+2.........,5个盒子0+0+0+0+4,0+0+0+1+3........6个及以上盒子以此类推。

现看到抽屉原理,把多于n个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。这个可以理解为如果把 多于n个的物体放到n个抽屉里,那么至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。即把 多于n个的物体放到n个抽屉里是至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体的充分条件,这是正确的。作业中的将4个巧克力放入(  )个盒子里,可以保证每一种情况中至少有一个抽屉中有2个或2个以上的巧克力。我认为是将抽屉原理逆推, 有些不妥。原因在于把多于n个的物体放到n个抽屉里与至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体的关系,本是充分条件理解为充要条件。
昨日看小女的作业,老师给出的答案是3,看到你 给出1-3,我 认为这题有误,如没误的话,应是任意数都可以。不知我的理解是否有误,如有误,错在哪里呢?.

TOP

这道题的意思比较复杂,要从三个方面去理解:
1、将4个巧克力放入(  )个盒子里:我们想做的事是要把4个巧克力放在几个盒子里。
2、可以保证每一种情况中:放巧克力有很多种情况。如果要把所有的情况列举出来,就包括:
     、、、
    (课堂上老师跟他们一起摆过,同学们也明白要列出全部情况,必须有规律地列举,否则可能遗漏)
3、至少有一个抽屉中有2个或2个以上的巧克力。观察上面所有的情况,每种情况中,总有一个盒子里边的巧克力数》=2。请注意,这里说的是“每种情况中”。

上下文联系起来考虑,“每一种情况中至少有一个抽屉中有2个或2个以上的巧克力”的意思是说“在所有可能的放法中总有一个盒子里边中有2个或2个以上的巧克力”。

我跟儿子做题时,也是卡在这个理解上了,当时我们花了很多时间。最后搞得我都咆哮了,实在是惭愧。
第二天想想不对头,就在上面推荐的链接里边发帖询问,junhuayang2005妈妈提醒说这是抽屉原理,我才发现“咆哮”的原因是我自己准备不足,立刻上网查出大把的背景资料,读了背景材料才慢慢想起来原来学习过的内容。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-1-8 12:03 编辑 ].

TOP

正命题和反命题

从上面从三个层面去理解也是相当复杂的,现在我认为,这道练习题还是难了一点,像我们这些BBMM虽然学过了,没有看背景资料都会理解出错,何况是小三的同学们。

在阅读完背景资料以后,我倒是找到了抽屉原理中简单一点的理解方法,昨天跟儿子试了试,效果还行。

在数学里边,我们把“每一种情况中至少有一个抽屉中有2个或2个以上的巧克力”这类话称之为命题,要完整地理解一个命题,通常需要从2个角度去考虑,即“这个命题是什么”和“这个命题不是什么”。例如:
1、命题:Alex是男的。
    逆否命题:Alex不是女的。
2、命题:Alex是三年级的学生。
    逆否命题:Alex不是三年级以外的学生。

这些都是简单的命题和逆否命题,看起来就像是废话,但如果你简单的下结论,那就大错特错了。

我不知道现在MM们煮饭时还淘米吗?我小时候经常做淘米、加水、煮饭的事。米里边混进了少许沙子,我们有两种淘米的方法:
1、把米一粒粒的筛选一次,把真正的米拿出来,最后剩下的就是沙子。
2、有的沙子颜色是黑的,可以很明显地区分出来,这时我们可以直接把沙子挑出来,最后剩下的就是米了。

如果我们把“每一种情况中至少有一个抽屉中有2个或2个以上的巧克力”看成一个正命题,或者说更通俗一点“这是我们想要达到的目标”,那么它的逆否命题是什么呢?或者说“我就不想你达到这个目标”的方法是什么?

正命题:如果每一种情况中,至少有一个抽屉中,有2个或2个以上的巧克力,就符合我们的要求
VS
反命题:如果存在一种情况,能使所有的抽屉中的巧克力数量 < 2,就不符合我们的要求。

所以,这道题:
将4个巧克力放入(  )个盒子里,可以保证每一种情况中至少有一个盒子中有2个或2个以上的巧克力。
就变成了:
当有( )个盒子时,我们可以保证不会出现“每一种情况中至少有一个盒子中有2个或2个以上的巧克力。”
即:
当有( )个盒子时,我们可以保证不会出现“所有的抽屉中的巧克力数量 < 2”的情况

理解到这,题目的答案就昭然若揭了:

因为当有4个盒子的时候,正好可以一个盒子里边放一个,违背了“所有的抽屉中的巧克力数量 < 2”,所以,盒子的数量必须小于4,即1-3。

将4个巧克力放入(1-3)个盒子里,可以保证每一种情况中至少有一个盒子中有2个或2个以上的巧克力。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-3-24 13:35 编辑 ].

TOP

更简单的具象-电影院的座位

现在电影院多了,不会出现没座位的情况,在我们小时候可是经常出现的。

假设电影院里边有300个座位,今天电影比较好看。影院经理进去一看,有人买站票站着看,他就知道了,这场电影的观看人数一定大于300。

也就是说:
当有301个人在只有300个座位的电影院看电影时,至少有一个座位上坐了2个人或者2个以上的人。

通俗点说:
当有301个人在只有300个座位的电影院看电影时,至少卖出了一张以上的站票。

TIPS:
其实我最先想到的不是电影院,而是上公共汽车抢座位,怕对孩子影响不好,不敢说。好在现在公共交通发达了,小时候练就的一身抢座位功夫、若干技巧也都闲置,看来社会确实进步了。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-1-8 12:06 编辑 ].

TOP

商榷正命题和反命题
1、命题:Alex是男的。
    反命题:Alex不是女的。
2、命题:Alex现在读三年级。
    反命题:Alex不是四年级学生。

我的理解
1、命题:Alex是男的。等值命题:Alex不是女的。也就是说Alex是男的和Alex不是女的       同一语义不同表达方式。
反命题:Alex不是男的
2、命题:Alex现在读三年级。
   反命题:Alex现在不读三年级 。
这里还需注意:这两个例子不是相同类型的,如不加特殊条件,是不能放在一起举例的。
人按性别区分,男性和女性构成了人这个集合的全部。
学生按年级分,三年级和四年级并没有构成年级的全部,因为除了三和四年级,还有一、二、五。。。。也就是说,Alex是男的可以说Alex不是女的,但 Alex现在读三年级不能说Alex现在不读四年级。即Alex不是四年级学生。因为也可以说Alex不是一、二年级学生。

[ 本帖最后由 小龙人妈妈 于 2010-1-9 07:15 编辑 ].

TOP

因为当有4个盒子的时候,正好可以一个盒子里边放一个,违背了“所有的抽屉中的巧克力数量 < 2”,所以,盒子的数量必须小于4,即1-3。

违背 “所有的抽屉中的巧克力数量 < 2”,应是正符合.

TOP

回复 5#ccpaging 的帖子

这里讲的是抽屉原理,看得懂;不懂的是反过来推算。
如是等值命题是可以互推的,总感觉抽屉原理前后两个命题不等值。.

TOP

引用:
原帖由 小龙人妈妈 于 2010-1-9 07:11 发表 \"\"
商榷正命题和反命题
1、命题:Alex是男的。
    反命题:Alex不是女的。
2、命题:Alex现在读三年级。
    反命题:Alex不是四年级学生。
我的理解
1、命题:Alex是男的。等值命题:Alex不是女的。也就是说Al ...
嗯,待我想想、、、

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-1-9 11:43 编辑 ].

TOP

引用:
原帖由 小龙人妈妈 于 2010-1-9 07:18 发表 \"\"
因为当有4个盒子的时候,正好可以一个盒子里边放一个,违背了“所有的抽屉中的巧克力数量 < 2”,所以,盒子的数量必须小于4,即1-3。

违背 “所有的抽屉中的巧克力数量 < 2”,应是正符合
这里我把反命题写错了,应该是“逆否”命题,即反之则反。逆否命题跟正命题表达的意思是一样的,只是从不同的方向去理解或者进行研究。
已经重新修改了。

还是这道题:
将4个巧克力放入3个盒子里,可以保证每一种情况中至少有一个抽屉中有2个或2个以上的巧克力。

按照正命题计算的话,先要把4个巧克力放入3个盒的所有情况全部列出来,一共是15种(顺序不同不算重复,可能不对,引用数据请自己查证),然后逐个检查每一种情况,是否都满足条件“至少有一个抽屉中有2个或2个以上的巧克力”,即每种情况总能找到一个抽屉里边有2个或2个以上的巧克力。

计算的时候,我们会发现这种方法实际上很麻烦,如果巧克力更多一些,会更加麻烦。

我们想,既然符合条件的情况很多,越来越多,那么我们是不是可以从不满足条件的情况开始研究呢?就像我们有很多米,小黑石头只有1-2个,只要把小黑石头(我们不想要的)挑出来,这样的话,工作就容易多了。

这时,我们开始考虑不满足“每种情况总能找到一个抽屉里边有2个或2个以上的巧克力”的情况,如果我们能找到当盒子为几个时,刚好每个盒子一个,那么只需要再减少一个盒子数量,不就得到答案了吗?

不符合“一个抽屉里边有2个或2个以上的巧克力”的话,那么盒子里边只能有0或者1个巧克力,0不用考虑,因为你可以有无数个装0个巧克力的盒子。最后只剩下一种情况需要考虑,把4个巧克力放在几个盒子里边时,每个盒子里边刚好一个巧克力。答案很简单,应该是4个盒子。也就是说当把4个巧克力放在4个盒子里边的时候,存在一种情况不符合条件“总能找到一个抽屉里边有2个或2个以上的巧克力”,所以4个盒子不满足要求。

现在我们把4个盒子减少一个,把4个巧克力放在3个盒子里边,我们来看看是否满足“每种情况都至少有一个抽屉中有2个或2个以上的巧克力”,这时就回到了我们前面说的正命题的方向了。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-3-24 13:36 编辑 ].

TOP

引用:
原帖由 小龙人妈妈 于 2010-1-9 07:33 发表 \"\"
这里讲的是抽屉原理,看得懂;不懂的是反过来推算。
如是等值命题是可以互推的,总感觉抽屉原理前后两个命题不等值。
我认为,恰恰是抽屉原理本身可能很少会在我们生活中用到,“反过来”推算这种方法却是生活中经常会遇到,也是经常被忽略,威力还特别巨大的一种思想方法。

不过小三这还只是个开头,BBMM讨论一下没关系的,真正要教孩子,建议还是慎之再慎。.

TOP

要研究“抽屉原理”先要研究“命题”和“集合”

三年级下学期了,某天跟Alex说起:“上学期我们还有什么问题没有真正搞清楚?”
Alex回到:“苹果放抽屉的那个问题。”

现在,回过头看看,教科书的设置上似乎有点问题。从我们前面的讨论可以看出来,要研究“抽屉原理”先要研究“命题”和“集合”,否则只能蜻蜓点水、浮皮潦草地知道一点,没什么大意思的。
可是,一二三年级都没讲过这两个问题,所以,教科书的这种设置有点让人费解。

其实,“命题”就不是可以小问题,最近有了跟Alex做拓展题时,偶然有了一点灵光,待我慢慢总结出来,算是“抽屉原理”的前传吧。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-3-24 13:46 编辑 ].

TOP

发新话题