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[数学] 2008-12-13 初一

2008-12-13 初一

平面内是否存在100条直线,它们的交点恰好有2008个?证明你的结论。.

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回复 1#老猫 的帖子

想不出来。。。打破头也想不出来有什么捷径。。。只能凑凑看。。。

先考虑100条中有且仅有6条平行线,互相无交点,但与另外94条分别各有94个交点,共564个交点(无三线共点);
自第7条到23条,另又有93+92+91+。。。+77=1445个交点(无三线共点);
其余77条让它们共一个交点,至此共计2010个交点;
然后找某三条线围成的三角形(三个交点),平移成一个交点(三线共点),2008搞定。

请猫老师指正啊。。。。。。.

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如果有,或许还可以用构造法证明
但如果没有,咋办呢?

比方说,
平面内4条直线可以有0、1、3、4、5、6个交点
但不可能恰好有2个交点.

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估计是否可以证明下平面内n>=4条直线不能恰好只有2~n-2个交点.

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回复 3#chin 的帖子

是啊。。。一般性讨论应如何思考呢?
平面上有 n 条直线,可否证明或证伪(以及如何证)其恰好有 m 个交点 ?.

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俺在试
6条直线恰好有 6 个交点,好像画不出.

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由小到大
慢慢总结规律.

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猫老师肯定是知道的
可就是不说
探究性学习费时多多呀.

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回复 6#chin 的帖子

六条直线六个交点,似乎可以:先六线共点(有一点),然后某根平移,会出现5个交点,对不?.

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回复 4#chin 的帖子

晤。。。这个应该是的,但还没想通如何证明。。。。.

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回复 9#greenjyz 的帖子

是的.

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100条互不平行的直线可以有1+2+3+...+99=4950个交点(即每条线上有99个交点,当有二条直线平行时则会减少一个交点)
如果其中一条线固定其中一个交点,向附近最近一个交点旋转并重合就会少98个交点。
4950-98x=2008,x=30余2。
拆掉两根直线,使其画上去的时候余没有旋转的二跟直线分别平行,这样又会少了二个交点,前述的余数2交点可以消除,这样就可以得到2008个交点了。证毕。.

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引用:
原帖由 chin 于 2008-12-15 18:21 发表 \"\"
猫老师肯定是知道的
可就是不说
探究性学习费时多多呀
探究性学习才是正道啊。
另外这个问题我是随口问的,在中间的那些值多半都是取得到的。
:).

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回复 13#老猫 的帖子

又探究了下
如果题目中要求不允许有重合的交点
是否可以呢?
嘻嘻.

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猜测也是可以的。.

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回复 15#老猫 的帖子

咋证明?
解方程?.

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6条直线恰好有 6 个交点,好像画不出.

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回复 14#chin 的帖子

如果这样的话,题目似乎会简单一些,试试看,请批评指正:

1、先考虑平面上有n根互不平行之线,则有n(n-1)/2个不重合的焦点;
2、如n(n-1)/2=2008有整数解,且=100,解毕;如 〉100,则无解;此题n<100且非整数,继续;
3、自第n+1根线始,只能令其平行于第n根线,设有k根线,增加(n-1)*k 个不重合交点;
4、求解方程:n(n-1)/2 + (n-1)*k = 2008 和 n+k=100,如有整数解则解毕,否则无解。.

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回复 17#chin 的帖子

这样子的话,是求 n(n-1)/2 + (n-1)*k = 6 和 n+k=6,是无解的。

看看这样子对不?.

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回复 18#greenjyz 的帖子

应该还可以有若干组,每组内是相互平行的直线的
于是可以用组合的减法
n条互不平行的直线有C(2,n)个不重合的交点
减去
m条互相平行的直线有C(2,m)个交点
p条互相平行的直线有C(2,p)个交点
q条互相平行的直线有C(2,q)个交点
......
2条互相平行的直线有C(2,2)=1个交点.

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不过列式计算太麻烦了
用计算机?.

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回复 20#echooooo 的帖子

有道理!.

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回复 21#echooooo 的帖子

看来如果作为练习题做的话,只能数字小点(像2008这样的数字还可以),还能设法凑。。。.

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回复 23#greenjyz 的帖子

凑还是有规律的
估计靠近下限的若干个数字是有困难的
要不请猫老师总结下.

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引用:
原帖由 echooooo 于 2008-12-16 11:21 发表 \"\"
应该还可以有若干组,每组内是相互平行的直线的
于是可以用组合的减法
n条互不平行的直线有C(2,n)个不重合的交点
减去
m条互相平行的直线有C(2,m)个交点
p条互相平行的直线有C(2,p)个交点
q条互相平行的直线有 ...
2条互相平行的直线有C(2,2)=1个交点
平行线有交点吗?.

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哈哈
减去.

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引用:
原帖由 chin 于 2008-12-16 12:16 发表 \"\"
凑还是有规律的
估计靠近下限的若干个数字是有困难的
要不请猫老师总结下
总结:都是高手。.

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回复 27#老猫 的帖子

管杀不管埋呀!.

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