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[数学] 2009-3-31 初三

2009-3-31 初三

今有100枚面值为123100的硬币,其中有不多于20枚假币,假币的重量不等于其面值。如何利用一台没有砝码的天平确定面值为10的硬币是否真假?.

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回复 1#老猫 的帖子

啊。。猫老师又出题啦!
估计此题有多解,咱先贡献一个愚笨解(反正不限称天平次数):
1、先配对,再互相称重,100+1,99+2,98+3,...因假币不多于20个,故这50对硬币中至少有30对重量是一样的,而且是准确的;
2、再配对,称重:100+2,99+3,,,,(1和51不称),至少有29对重量是一样的,而且是准确的;
3、依次类推到100+9, 99+10,。。。至少有21对重量是一样的,而且是准确的;
4、然后利用重量准确的配对硬币可称出1,2,3,4,。。。9是不是假币;
5、运气好的话,不用到9,譬如1,2,3,4都是真币,那么直接可知10是真是假;
6、运气实在不好,在1-9间有假币,而且真币凑不到10这个数字,再配一次对,100+10, 99+11,...由于1-9间已经有假币,所以仍然有至少不少于21对的重量是一样的,而且是准确的,这样就可以揪出10是真是假了。。。

感觉上,再仔细想想,应该有更简洁的做法。.

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回复 2#greenjyz 的帖子

嗯。。。用不着考虑21?只要至少20对重量一样就行。。。这样到第3步就结束了,多加一个配对100+10.99+11,。。。接下来可直接测出10的真假。.

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回复 3#greenjyz 的帖子

看来不行,到20对不行,如果有20对是一个重量,另外20对是一个重量就麻烦了。.

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10+1=11
10+2=12
...
10+9=19

10+20=30
10+21=31
...
10+29=39

10+40=50
10+41=51
...
10+49=59

10+60=70
10+61=71
...
10+69=79

10+80=90
10+81=91
...
10+89=99

上述共有49个等式
除了10之外,1~99都用且只用过一次
只要有一次平衡,说明10是真币
若都不平衡,说明每个等式里都至少有一个假币
倘若10是真币,则1~99里至少有49个假币,而这是不可能的
所以10是假币

简单一点,上述49个等式只要用到其中的21个就可以了
至于最少称多少次能保证确定,俺就勿晓得了.

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回复 5#Gemini 的帖子

喔。。明白了,是跳的,是用过一次。。。

[ 本帖最后由 greenjyz 于 2009-4-2 15:41 编辑 ].

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回复 5#Gemini 的帖子

“只要有一次平衡,说明10是真币”这句话还没明白。。。例如,只有10,1和11是假币,10实际上是10.1,1实际上是1.1,11实际上是11.2,会出现10+1=11是平衡的(当然所有其它都是不平衡的)。。。

不过看来这个办法确实是好办法,俺的办法是愚笨法。。。 .

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引用:
原帖由 greenjyz 于 2009-4-2 15:57 发表 \"\"
“只要有一次平衡,说明10是真币”这句话还没明白。。。例如,只有10,1和11是假币,10实际上是10.1,1实际上是1.1,11实际上是11.2,会出现10+1=11是平衡的(当然所有其它都是不平衡的)。。。

不过看来这个办法 ...
你的提法倒是有可能的
那么就这样来说:

某一硬币,比如10,要么是假币要么是真币

若是假币
则在上述称法中至少有29次是不平衡的
反过来说,至少有29次是不平衡的硬币必是假币
于是就可以把假币捉出来

若是真币
则在上述称法中至少有29次是平衡的
反过来说,至少有29次是平衡的硬币必是真币
于是就可以把真币捉出来

总共49次要么平衡要么不平衡
而至少有29次不平衡与至少有29次平衡是矛盾的
所以存在确定性.

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回复 8#Gemini 的帖子

是滴是滴! 妙哉妙哉!.

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没有要求最少次数啊。.

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回复 10#老猫 的帖子

嗯。。。是滴。。。不过既然Gemini的方法看起来更简洁,是否应该算是“更好”的方法?.

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恩.

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