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[数学] 休闲数学小品 (109#无限困惑)

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回复 149#greenjyz 的帖子

更强一点的命题是:“存在无穷多个无限不循环小数”,这个也没想好该如何证。

这个问题可以用反证法证明。

假设,只有有限个(比如n个)无限不循环小数。
那么,将它们任意排列后,从第1个中取小数点后第1位的那个数以外的任意数值,从第2个中取小数点后第2位那个数以外的任意数值。。。作为一个新的小数的,小数点后第1位,第2位。。。直到第n位。
然后取第n个小数的第n+1位以后的所有位,作为那个新小数的n+1位以后的所有位。
显然,这个新的小数也是一个无穷不循环小数。(如果不是那么第n个数也不是,和条件相反。)
其次,这个新的无限不循环小数不等于之前的任何一个无限不循环小数。和假设相矛盾。.

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根号(n^2+1)  n>=1 不是有理数就可以存在无穷多个无限不循环小数.

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回复 147#火车是运茶的 的帖子

我设想的一个构造无限不循环小数的方法。

随便选0-9十个数组成小数点后前10位(顺序不限)。如  0.0123456789。
第11-20位选择为第1-10位后一个数的值(规定9后为1)。0.0123456789,1234567891。
第21-40位分别选择为第1-20位后一个数的值。(为了看清楚我用逗号分隔小数)
0.0123456789,1234567891,1234567891,2345678912。
到第80位为:
0.0123456789,1234567891,1234567891,2345678912,
    1234567891,2345678912,2345678912,3456789123。

依次不断重复,即可得到一个无限不循环小数。可用数学归纳法证明。.

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回复 152#xyq2100 的帖子

没错。但是我希望看到一个纯构造性的证明,以此解开hxy007的困惑。.

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回复 152#xyq2100 的帖子

恩。同意。
不过有些人在乎怎么写出那个无限不循环小数来。.

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回复 153#jyuntoku 的帖子

能否把证明写出来?.

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第1个 0.011222333344444...    n个  (n-1)%10 依次排列
第k个 0.01...1(2^k个)2...2(3^k个).....    n^k个  (n-1)%10 依次排列
.
.
..

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回复 156#火车是运茶的 的帖子

晚上我试试吧。
你也可以试试对我的命题证否。.

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回复 151#jyuntoku 的帖子

这么说,“存在无穷多个无限不循环小数”已经得到构造性的证明(这个方法也可以看做是构造性的)。

实际上,在我们构造出来一个无限不循环小数之后,立即可以得到一系列的无限不循环小数。假设刚刚构造出来的那个是第0个,那么第n(n>=1)个就是把第0个小数的小数点后第n位变动一下,如加上1(但是9要变成0)。

所以关键的问题仍然是怎么样把“第一个”无限不循环小数构造出来。.

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引用:
原帖由 xyq2100 于 2008-12-26 16:01 发表 \"\"
第1个 0.011222333344444...    n个  (n-1)%10 依次排列
第k个 0.01...1(2^k个)2...2(3^k个).....    n^k个  (n-1)%10 依次排列
.
.
.
这是一个好办法。赞!.

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回复 157#xyq2100 的帖子

这个和0.101001000100001。。。是异曲同工。.

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事实上,112楼提出来的:
0.1010010001……(两个1之间依次多一个0)

就是一个无限不循环小数。.

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回复 151#jyuntoku 的帖子

妙的!!!.

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好了,有请各位继续挑一个构造好的无限不循环小数,用严格的数学方法证明它的确是不循环的。——直观在这里不能取代证明。.

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没有人来证明啊?我来证一个:
A=0.1010010001……(两个1之间依次多一个0)

假设这是一个循环小数,循环节是X,那么X一定不能全部由0构成(否则A就要变成有限小数了),也就是说X中一定要有至少一个1。进一步,X中不能只有一个1,否则多个循环节的1之间的0的个数就不会改变了。

这样,对于某个循环节X,其最后一个(最后边)1和后边的X的第一个(最左边)1中间全是0,记这里的0的个数为a。显然,a个0连续出现在X和后边的X连接的地方。

但是我们已经知道两个1之间要依次多一个0,也就是说在两个1之间出现的连续的0的个数必须是不能重复的。这就矛盾了。因此A不可能是循环小数。.

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看了那么多,发现有些人对于“无限多个”与“很多个”,“无穷大”与“很大的数”之间的区别没有搞清。.

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引用:
原帖由 jyuntoku 于 2008-12-26 15:29 发表 \"\"
更强一点的命题是:“存在无穷多个无限不循环小数”,这个也没想好该如何证。

这个问题可以用反证法证明。

假设,只有有限个(比如n个)无限不循环小数。
那么,将它们任意排列后,从第1个中取小数点后第1位的 ...
没那个必要吧,只要存在一个x是无限不循环小数,那么x+1,x+2,x加上任何一个自然数都是无限不循环小数,自然数有无限多个,那么这样的数就能轻松找到无限多个。.

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提一个问题,实数为什么和数轴上的点一一对应?我忘记了。.

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回复 168#dean1128 的帖子

恩。你说的有道理,我这里的“无穷多个”以及“无限”“有限”这些词都用得不准确。自然数的个数本身就是“无穷多个”,你的构造完全没有问题。
我原来帖子这里讲的“无穷多个”时的意思是比自然数的个数(即n个,n是任意大的自然数)更多的无穷多个。.

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回复 169#dean1128 的帖子

我的理解是:把实数和数轴上的点一一对应,是一种对实数连续性的直观地比喻性质的描述。
这样说的好处是,数轴我们看得到且容易想象,数轴的“连续性”我们可以凭借本能和直观感觉到,所以实数的连续性我们也似乎能本能地直观地感觉到了,这个实数的根本性质就变成不证自明的了。(换句话说,诱导学生自己发现并认同了实数的连续性这一公理,尽管他们完全没有意识到为什么需要这条公理。)
于是老师可以继续往下教了。

总之,这是一种为了便于教学的“方便”讲法。

[ 本帖最后由 jyuntoku 于 2009-6-30 15:28 编辑 ].

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引用:
原帖由 jyuntoku 于 2009-6-30 15:12 发表 \"\"
自然数的个数(即n个,n是任意大的自然数)
这个表述有点混淆“任意大的自然数”和“无穷大”的概念。.

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回复 170#jyuntoku 的帖子

首先,可以证明实数集不可数(就是实数比自然数个数多),方法很多,这里举一个
http://zh.wikipedia.org/w/index. ... 5&variant=zh-cn

然后,可以证明有理数集是可数的(就是有理数和自然数一样多)。
就可以得到无理数集不可数了。.

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引用:
原帖由 jyuntoku 于 2009-6-30 15:12 发表 \"\"
恩。你说的有道理,我这里的“无穷多个”以及“无限”“有限”这些词都用得不准确。自然数的个数本身就是“无穷多个”,你的构造完全没有问题。
我原来帖子这里讲的“无穷多个”时的意思是比自然数的个数(即n个,n ...
这必须整清楚,什么叫比自然数的个数多?在你的概念里,整数、有理数、偶数、自然数哪个更多?.

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回复 174#dean1128 的帖子

整数、有理数、偶数、自然数这几个集合的势是一样的,可以说是一样“多”。.

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回复 172#dean1128 的帖子

对,就是你说的那个地方表述有问题。.

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