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[数学] 休闲数学小品 (109#无限困惑)

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回复 49#子玖妈妈 的帖子

这倒也无妨,这类书印量和销量都很低。。。 .

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引用:
原帖由 火车是运茶的 于 2008-8-31 11:03 发表 \"\"
我们知道,有理数都可以表示为整数或者分数的形式。循环小数作为有理数,肯定也有对应的分数形式。本节就来讨论怎样把循环小数化为分数。

循环小数具有无限性,而分数具有有限性。因此化循环小数为分数,关键就在 ...
大师好,有个小问题求教:当a=0.11345345345........怎么办??谢谢!.

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回复 52#qq12 的帖子

去翻翻小学课本吧.

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回复 53#zhenai 的帖子

谢谢!.

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引用:
原帖由 zhenai 于 2008-9-1 10:18 发表 \"\"
厚厚一大本,怎么说也得读懂大部分吧,否则部分内容小学生也可以看了。看这本书还是有些高等数学基础为好。
喜欢的话,可以从小学一直啃到高中。其实我设想本书很适合那些高中“吃不饱”的,在上大学之前先行了解一些近代的数学思想,就不会觉得大学课程跟高中脱节太厉害。

不喜欢就,嗯,费了。可以在购买之前先去书店看看。.

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回复 39#火车是运茶的 的帖子

问问wiki吧
http://zh.wikipedia.org/wiki/0.999...

在完备的实数系中,循环小数0.999...,也可写成、或,表示一个等于1的实数。也就是说,“0.999...”所表示的数与“1”相同。长期以来,该等式被职业数学家所接受,并在教科书中讲授。目前这个等式已经有各种各样的证明,它们各有不同的严密性、背景假设都蕴含实数的阿基米德性(En:Archimedean field)、历史文脉、以及目标受众。。。。。。。。.

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回复 46#火车是运茶的 的帖子

对于这个巧克力问题,其实也是有限和无限的问题,比如对一个家庭来说,他购买的巧克力越多(假定每次购买巧克力都有一张券,每次的券都会去抵扣巧克力),那么倒推算过来买的越多这个券的价值越高,比如他10次用券抵换了10块巧克力,那么每张券值0.109890…块巧克力,如果他1000次用券抵换了1000块巧克力,那么每张券值0.11109876…块巧克力;当你40000次用券抵换了40000块巧克力,那么每张券值0.1111108024…块巧克力;所以要接近你的数据恐怕这辈子的巧克力都吃不完的。

再说说第二个例子,那店家老板如果同意那样做的话已经偷换了游戏规则,相当于9张券换1块巧克力,那时损害了厂方的利益啊。如果我是厂方,如果我知道有这样的老板,我一定炒他鱿鱼。

看来平时商家推出的曾出不穷的数学游戏得好好琢磨琢磨。

[ 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-9-1 18:47 编辑 ].

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维基百科是好东西,现在因为奥运开放了,但是未来会不会再封掉还未可知,希望不要。

虽然每节后面我不会出题,但是把题目出在前面还是可以的。下面要留一道习题给读者们做。这本来是后面某一节的主题,也可以联系生活的。这里请允许我偷个懒,你们帮我做掉一些。

小明是个神枪手,弹无虚发。他有一支玩具枪,能够以每秒一个的速度连续发射塑料珠子,珠子射出枪口的速度为每秒5米。

现在小明站在离一个靶子10米远的地方开枪。珠子打在靶子上的频率是每秒钟一个。

我的问题是,如果小明以每秒2米的速度朝着靶子走,其它条件不变,那么珠子打在靶子上的频率是多少?如果小明是沿反方向走呢(枪口仍然对着靶子)?.

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维基百科一定会再封掉的,不用担心。

还是关起门来玩玩多普勒效应吧。。。 .

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回复 59#zhenai的帖子

你也是行家里手。

上面的题目,中学生要把数字换成代数符号来做。.

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回复 58#火车是运茶的 的帖子

间隔0.6秒/颗,还有就是1.4秒/颗.

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回复 61#hxwcwctt的帖子

能给出推理和计算过程吗?.

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回复 62#火车是运茶的 的帖子

用的是笨办法:
第一颗发出子弹的时间为起始点0,n为每整数秒激发点
向着靶子:每一颗子弹到靶的时间:(10-2*n)/5+n  (有限)
反向:    每一颗子弹到靶的时间:(10+2*n)/5+n  (可以发射无限多,只要有足够子弹和足够空间

计算出每颗子弹到达时间,相邻之差为等值,即题意要求计算的频率。

不过猜不出来你要讲什么唉。

[ 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-9-3 19:20 编辑 ].

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回复 63 #hxwcwctt的帖子

还要再推敲一下。子弹相对靶的速度要考虑小明的运动速度。
这不是一道纯粹的数学题,它有很深的物理背景,其原理在日常生活和科学研究中有广泛的应用。

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-9-3 19:55 编辑 ].

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向着靶子-------二颗子弹到达靶子的间隔时间:  :((10-2*n)/(5+2)+n  )-((10-2*(n-1))/(5+2)+(n-1))=6/7(秒)
反向------------二颗子弹到达靶子的间隔时间:  :((10+2*n)/(5+2)+n  )-((10+2*(n-1))/(5+2)+(n-1))=9/7(秒)
均为常值,也就是有固定频率,是这样吗?? 和原来答案的区别是以固定的靶子为参照物,要考虑射手的行进速度.

[ 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-9-3 20:30 编辑 ].

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引用:
原帖由 hxwcwctt 于 2008-9-1 17:58 发表 \"\"
那店家老板如果同意那样做的话已经偷换了游戏规则,相当于9张券换1块巧克力,那时损害了厂方的利益啊。如果我是厂方,如果我知道有这样的老板,我一定炒他鱿鱼。
这样,你可以跟朋友借一张券,兑换了,吃了巧克力,再把换来的那张券还给朋友。.

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回复 66#火车是运茶的 的帖子

对的。

快说说现在做的题目.

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向着靶子——式子对的,答案计算有误。
反向——子弹的速度应该是3米/秒。

其实,不用考虑那个10米,也可以计算出答案。频率的变化是固有的,与小明跟靶子的距离无关。.

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回复 68#火车是运茶的 的帖子

向着靶子-------二颗子弹到达靶子的间隔时间:  :((10-2*n)/(5+2)+n  )-((10-2*(n-1))/(5+2)+(n-1))=5/7(秒)
反向------------二颗子弹到达靶子的间隔时间:  :((10+2*n)/(5-2)+n  )-((10+2*(n-1))/(5-2)+(n-1))=5/3(秒)

惭愧,犯了个低级错误,不过还是没有考虑出来为什么不要考虑10M,脑细胞不够用了,大师列个式子看看吧。

[ 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-9-3 21:06 编辑 ].

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你上边的式子就可以把10抵消掉的。.

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回复 70#火车是运茶的 的帖子

哦,原来是此意,我还以为是列式中不需要长度概念呢。
那么这个题目怎么就说在日常生活中和科研中得到广泛应用呢?
另外,这个和你现在讲得循环小数有瓜葛吗?.

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回复 71#hxwcwctt 的帖子

多普勒效应——可用于速度的测定,比如高架上车辆行驶的速度。超速的罚单就是运用读普勒原理的结果。.

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考爸正解!

这和循环小数没有关系。.

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回复 72#家有考王 的帖子

警车呼啸而来、呼啸而去,声音由尖锐变为低沉。就是声波的多普勒效应。
有难度、有趣味,就是火车说的“好的”数学吧。.

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回复 74#家有考王的帖子

我尽量写一些对中小学生而言有趣味,同时又能激发思考和探索的东西。.

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回复 75#火车是运茶的 的帖子

我属于比较不开窍的那种,考王爸是明白的很,我还是不明白,请不要介意。能否讲明白点,告诉公路上的电子警察是怎么测车速的,它能测出多少距离内的车子的车速?市面上出售的报警装置(就是预先提醒有电子警察,从而可以预先降低车速)对避免罚单有用吗?.

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回复 76#hxwcwctt 的帖子

短你了。
电子狗是有用的,很有用。电子警察眼睛很好,但只要你前面有车,他就先抓前面的。所以车流大的时候,它的作用距离就短一点。.

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限速是为了您和他人的安全。.

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考爸,谢谢,看到了,不过那个网站太专业了,抱歉我没有心思看啊。

有人说市面面上买的那种防电子警察的设备没有用,因为当它向你报警说有电子警察时,电子警察也已经抓到你了,所以提出这个问题。(我们得假定前面没有车)

还有市面上有没有一种装置可以根据你的车速测出你的车距是否足够?.

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在运动中测车距,有意思,可以写一篇小论文了。
写好了可以去申请丘成桐中学数学奖。.

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回复 78#火车是运茶的 的帖子

在一段空旷的路上不断的提醒大家限速是有必要的,因为如果路况好,人的本能会不知不觉提高速度,所以要不断进行友善的提醒,应该时而放慢一些速度。
所以人性化的做法应该是:在有电子警察前先预先进行警告,这样车主就放慢速度了,这样就起到了安全的作用。如果已经提醒了,还不慢下来被电子警察抓到那就得罚款了。.

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回复 81#hxwcwctt 的帖子

养成习惯,每隔一定时间看一下速度表。保证安全。.

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回复 74#家有考王 的帖子

中学生可以看《物理世界奇遇记》.

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回复 82#qq12 的帖子

一个人养成习惯容易,每一个人都养成习惯可不容易,同志,要站得高望得远,为众人着想。如果市面上的雷达探测器有效确实蛮好的,否则的话按照老兄的意思,在汽车里装个定时报速器也不错,每个五秒报告“现在您的车速为**公里每小时”,否则老想着看速度表,也不安全的。.

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一些符号约定

在网页上写数学式子不容易。尝试国<sub>和[sup],都不行,只好变通。下面是常见的约定:

x^2   x的平方,开平方有时写作x^{1/2}
x_1   1为下标
2a    2与a相乘
1.23(456)   混循环小数1.23456456456456……,以456为循环节
a≡b(mod n)  a和b模n同余。有说可以用智能输入法通过V1输入同余符号的,我没法试。仅在此提一下。需要的时候来这里拷贝也好的。
>=    大于或等于
<=    小于或等于
!=    不等于

乘方比较常见。下标的写法可能比较少见,是从TeX排版系统那里借用过来的,如同开平方里的花括号。

先这些。想到了或者遇到了再补充。

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-9-20 16:26 编辑 ].

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多普勒效应

这里只是最简化的情形,其中假定观察者相对信号传播介质静止。假设有一个信号源S,以速度v向前进。S每隔时间T发出一个脉冲信号。信号的传播速度为v_0。假定v<v_0。
             i_1                       i_2
_______________________________________
A            B                        C

S于A点发出一个信号i_1。经过T之后,S抵达B的位置,而i_1抵达C的位置。那么有

AB = vT
AC = (v_0)T

S会在B再发出一个信号i_2。这样,信号i_1和i_2的距离为(v_0 - v)T

但是i_2从B到C需要的时间只是(v_0 - v)T/v_0,或者写成

(1-v/v_0)T                                  公式(1)

可见信号的周期缩短了,或者说,频率变高了。还可以看出,周期或者频率的变化只跟v和v_0的相对数值有关。

思考题:
如果信号源的运动方向跟信号传播方向相反,则公式(1)应该如何修正?

多普勒效应以其发现者的名字命名。他在经过铁道交叉口时发现火车的汽笛声在火车驶近时变得尖利(高频),而远去时变得低沉(低频)。日常生活中警车、消防车的警示喇叭都有这种可观测效应。

信号源远离观测者会导致频率变低,叫做多普勒红移;反之叫做蓝移。红和蓝对应可见光谱的两端,前者的频率比后者低。天文学上,科学家观测到所有星系的光谱都有红移现象,从而得出宇宙膨胀的结论。而通过测量红移量,也可以计算出星系的退行速度。

前面考爸提到的超声波测速仪也是根据多普勒效应设计的。
思考题:
超声波测速仪的应用中,上面的公式(1)有无必要修正?

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-9-4 22:55 编辑 ].

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多普勒效应是数学还是物理啊?我记得应该算物理。
测车速大概有两种:
一种是微波测速,利用的是多普勒频移,
另一种是用地面埋的线圈,利用磁感应原理测量车辆通过两个线圈的时间差反推出速度。.

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回复 83#shumi1 的帖子

你能不能一起推荐书啊?你推荐一本我网上订一本,人家送书的人很吃力的。呵呵。.

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数学物理本来不分家。

还有一种测速方式,激光。不过不是应用多普勒效应了,因为汽车的速度跟光速比可以忽略不计。这要求有比较精密的部件,要能发射和接收激光,并能精确计时。通过测量激光往返的时间可以测出距离,通过相继两次测出的距离的变化可以计算出速度。.

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回复 88#子玖妈妈 的帖子

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回复 88#子玖妈妈 的帖子

科学出版社那一套书都不错的。不过要注意是英文还是中文版的。.

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回复 91#zhenai 的帖子

谢谢。.

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循环节长度之谜

接下来几节要讨论循环节的长度。当然,这些内容在数学上已经有了明确的结论,但是本帖的主旨并非简单告诉读者们一些结论,而是希望通过对一些问题抽丝剥茧式的分析求解,展示一些数学思想和常用的方法。

因此,假如读者已经了解了一些循环节长度方面的结论,请暂时忘记它;如果读完本节之后,有一些更好的想法,也欢迎提出来大家一起讨论。

现在就从最简单的情形开始研究。假设有一个素数p,我们考虑它的倒数1/p,用长除法可以求得对应的小数形式。这个小数将具有什么样的形式呢?它是纯循环小数还是混循环小数?它的循环节长度取决于什么条件?

我们前面已经知道,如果p为2或者5,那么1/p可以写成有限小数(就是0.5和0.2)。如果p是其它素数呢?

写到这里读者可能要问,为什么要假定p是素数呢?按照我们之前的思路,我们希望先研究最简单的情形。根据素数的定义,一个素数不能再分解为两个其它非1的正整数的乘积,而合数则总是可以分解为一些素数的乘积。这意味着在考虑乘除法性质的时候,素数也许比较简单或者基本(当然不一定如此;如果碰到困难我们再另寻出路)。

所谓循环节,就是会重复出现的数字模式。读者可能有印象,在做长除法的时候,如果在某一阶段出现了前面已经出现过的余数,那么后面的余数和商也会跟着重复出现。最简单的例子是1/3,做长除法的时候,每次都是得到一个余数1,因此构成循环。读者不妨试着做一下看看。下面要把这个规律用数学语言写出来。

为了更直观地观察到其中的规律,我们可以把长除法改写成一系列的等式:

1        = p * 0   + r_0  (r_0 = 1)
10 * r_0 = p * q_1 + r_1
........
10 * r_n = p * q_{n+1} + r_{n+1}
........

这样,对应的小数就是0.{q_1}{q_2}...{q_n}...,而r_i就是第i次得到的余数。按照长除法,我们把它乘以10再继续试商。易见,0 < r_i < p,并且r_i与p互素。

如果长除法里面得到的余数发生重复,即是说,对于两个下标i和j(这里不妨假设i < j)如果r_i = r_j,后面的商和余数会怎么样呢?根据上面的展开式,我们就有:

10 * r_i = p * q_{i+1} + r_{i+1}
10 * r_j = p * q_{j+1} + r_{j+1}

在r_i = r_j的前提下,容易证明,q_{i+1} = q_{j+1},以及r_{i+1} = r_{j+1}。(证明留给读者作为练习。

这就是说,如果长除法中余数重复出现,那么所得小数也会出现循环。这是一个平凡的结果,接下来要解决一个问题,即在余数形成的序列中,r_0是不是第一个重复出现的,或者说,1/p是不是一个纯循环小数。(待续)

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-9-5 23:05 编辑 ].

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是不是p只要没有2和5的约数,就一定是纯循环小数?.

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引用:
原帖由 hxwcwctt 于 2008-8-30 12:05 发表 \"\"
因为:1/9=0.1的循环
           8/9=0.8的循环
所以:0.1的循环+0.8的循环=0.9的循环

因为:1/9+8/9=0.1的循环+0.8的循环=0.9的循环
           1/9+8/9=1
所以:0.9的循环=1?

可是我怎么也想不通0.9的循 ...
火车,这个是否可以用方程来解?
设x=0.9999999……
则:10x-9=x
    x=1.

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回猫老师:暂时在这里还是一个猜想。

回牙医:可以的。但是一般人拒绝接受那个等式的心理因素主要是认为0.(9)并不是一个真正的数。.

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循环节长度之谜(续)

上节最后问题的答案是肯定的。怎么得到这个结论呢?前面我们用来证明循环总会出现的方法,现在也可以反过来使用。仍然考虑:

10 * r_i = p * q_{i+1} + r_{i+1}
10 * r_j = p * q_{j+1} + r_{j+1}

现在假定r_{i+1} = r_{j+1},如果能够推出r_i = r_j以及q_{i+1} = q_{j+1},那就说明循环也可以反过来往前推。证明仍然留给读者作为练习。提示:p是一个异于2和5的素数,因此p和10互素。

现在我们知道,循环肯定会出现,而且如果某个r_i出现循环,那么可以往前一直追溯到r_1和q_1。这就证明,1/p是一个纯循环小数。而且,上面的证明其实条件可以放宽到p与10互素,因此,只要p与10互素,1/p就是纯循环小数。这就是猫老师在94#提出来的。

反过来,如果把一个纯循环小数化为既约分数,其分母是否一定与10互素呢?答案是肯定的。使用前面提供的方法,不难把一个纯循环小数化为一个分母为99...9的小数,分母位数等于循环节长度,而分子就是循环节本身。例如0.(123456)=123456/999999。我们知道99...9是跟10互素的,因此前面得到的分数即使能够进一步约简,得到的分母也肯定跟10是互素的。

这里还有一个问题,如果是2/p,3/p,...,(p-1)/p这些分数呢?其实前面的那些证明并没有使用r_0=1的条件,因此对其它的r_0值也是适用的。

总结一下:对于真分数q/p,如果q和p互素,并且p和10互素,则q/p不能写成有限小数,而只能写成纯循环小数。反过来,纯循环小数化为既约分数之后,其分母也是跟10互素的。

思考题:为什么要强调是真分数呢?

(待续)

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-9-6 21:48 编辑 ].

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回复 86#火车是运茶的 的帖子

火车,你的帖子发得好快哦,都赶不上了。

我不明白为什么我们在讲小明打枪的时候,子弹的速度是“小明的走路速度”和“子弹出膛的速度”之和;而在本贴中,信号的速度为什么不是“S的速度V”和“信号速度V_0”之和呢?

另外,小明打枪那道题还是有漏洞的,比如小明在原点发第一枪子弹时小明是没有速度的,所以第一发子弹的速度应该就是出膛的速度。.

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回复 98#hxwcwctt的帖子

信号,例如声波,一般需要传播介质(这里不讨论光波或者电磁波),其速度是相对介质而言的,如声波在空气中的速度。讨论小明打枪的时候,考虑的是子弹在空气中的速度(实际上忽略了摩擦力的影响)。但是子弹出镗速度是枪固有的性能,因此需要和小明的速度叠加。那道题确实有漏洞,我们可以假设小明一直在行进,所以开第一枪的时候也有速度。而后边的一般性讨论,我们假设如果有这种速度叠加问题,那么已经把它包含在V_0里面了。

这里讨论的是很简化的情况,例如,假设观察者相对介质是静止的。.

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循环节长度之谜(三)

现在有限小数和纯循环小数都有结论了,最后来看看所谓的混循环小数。读者们可能已经猜到了,那些分母既能被2或者5整除,又能被其它素数整除的既约分数,将对应混循环小数。本节就把它证明出来。

下面用x和y表示数字串,例如,在0.123456456456……可以写成0.x(y),其中x=123,y=456。再定义一个函数len(x),表示这个数字串x的长度,或者说位数,例如len(123)=3, len(45678)=5。

(要改一下了)
形式上,一个纯循环小数可以写成混循环小数的样子。例如0.(123)可以写成0.12(312)甚至0.12312(312)。这里不讨论混循环小数的严格定义,我们反过来先看对应混循环小数的那些分数。

假设有既约真分数p/q,其中q又可以分解为q=(2^a)(5^b)(s),并且a>=0, b>=0,a+b>0, s>1,s不能被2或者5整除,a和b至少有一个为正,即q能被2或者5整除。

令c为a,b中较大的那个数。那么,

p/q
=(p/s)/((2^a)(5^b))
=(p/s)(1/(10^c))(2^{c-a})(5^{c-b})
=(p((2^{c-a})(5^{c-b}))/s)/(10^c)

令p((2^{c-a})(5^{c-b}))=u*s+r。其中u为整数,而0<r<s。请读者证明r!=0并且r与s互素。

于是可以得到

p/q
=(u+r/s)/(10^c)

我们已经知道,r/s是一个纯循环小数,假设循环节为x,则u+r/s=u.(x),把小数点左移c位,并假设u前面补上若干个零凑成长度为c的v,就得到

p/q
=0.v(x)

这看上去就是一个混循环小数了。怎么知道它不是一个伪装成混循环小数的纯循环小数呢?用反证法。假设0.v(x)是一个纯循环小数,那么我们就可以把它写成既约分数t/w,其中w与10互素,这样应该t/w=p/q,又因为它们都是既约的,排除符号的关系,可以认为t=p, q=w。但是q可以被2或者5整除,这就矛盾了。

反过来,如果我们已经知道一个循环小数不能写成有限小数或者纯循环小数了,我们是否能够肯定,把这个混循环小数化为既约分数,其分母一定既能够被2或者5整除,又能够被其它素数整除呢?答案是肯定的。因为要不然,它就可以写成有限小数(如果分母不能被2或者5之外的任何素数整除),或者纯循环小数(如果分母不能被2或者5整除)。

我们把全体既约分数作为一个集合F,把全体有限小数和循环小数作为另外一个集合D。用长除法可以把分数化为小数,用前面的办法可以把小数化为分数,所以这两个集合能够建立起一一对应的关系。

根据分母跟10的关系,集合F可以分成三个互不相交的子集合。根据小数位数、循环方式的不同,集合D也可以分成三个互不相交的子集合,且跟前面的三个子集合建立一一对应的关系。这是很有意思的。

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-9-20 19:49 编辑 ].

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