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[数学] 请教数学题(质数与合数)

请教数学题(质数与合数)

P>3为质数,求证(P^2-1)能被24整除.

老师讲的看不明白,特来请教旺旺上的高手..

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解:P可以表示为
P=2K+1,这儿K为整数,且K大于等于2
所以P的平方-1=(2K+1)的平方-1=4K(K+1)
当K为偶数的时候,K+1为奇数;当K为奇数时,K+1为偶数。.

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所有的素数(质数)除2外都是奇数,所有的偶数除2外都是合数。.

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回复 2#junhuayang2005 的帖子

4K(K+1)如何表示为24的倍数?
呵呵,我需要想想。.

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引用:
原帖由 junhuayang2005 于 2009-12-6 13:21 发表 \"\"
解:P可以表示为
P=2K+1,这儿K为整数,且K大于等于2
所以P的平方-1=(2K+1)的平方-1=4K(K+1)
当K为偶数的时候,K+1为奇数;当K为奇数时,K+1为偶数。
P是质数,用2K+1表示似乎有错,如:K=4,则P=2*4+1=9,还是质数吗?并不是所有奇数都是质数的.

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1) 8 | 4K(K+1)
2) 当k=3q,或3q-1时 3 | K(K+1)
3) 当k=3q+1时,原数=6q+3,不是质数.

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谢谢楼上答复!给大家献花了

已经想明白了.

[ 本帖最后由 瑶瑶 于 2009-12-6 18:59 编辑 ].

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先考虑能被3整除
设 P=3K+1 或P=3K-1
P^2-1=(3K+1)^2-1=9K^2+6K
所以P^2-1 被3整除
再考虑能被8整除
设P=2K+1
P^2-1=(P+1)(P-1)=(2K+2)2K=4K(K+1)
显然K(K+1)为偶
所以P^2-1被8整除.

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回复 5#考拉MM 的帖子

我正在思考中,还没有想透彻。
我应该加一句,P是质数。这样表达应该是可以的,为什么呢?因为除了2以外,所有的质数都是奇数,当然所有的奇数并非都是质数。

[ 本帖最后由 junhuayang2005 于 2009-12-7 10:08 编辑 ].

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P2.

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请教数学题(质数与合数)
P>3为质数,求证(P^2-1)能被24整除.

分析:因为24=2^3*3,而2^3(2*2*2)和3是互质的,所以只需要证明2^3(2*2*2)和3能整除(P^2-1)即可。
因为P>3,又是质数,所以P是奇数,并且又不能被2或者3整除,可以把整数分成6K,6K+1,6K+2,6K+3,6K+4,6K+5,这六类,由于6K、6K+2,6K+4是2的倍数,6K+3是3的倍数,所以P只能具有6K+1或6K+5的形式。方便起见,也常把6K+5写成6K-1(它们除以6余数均为5)
P^2-1=(6K±1)^2-1=36K^2±12K=12K(3K±1)
由于K(3K±1)为一奇一偶,所以2│K(3K±1),于是便有24│(P^2-1).

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其实LZ题目考察的是整数的整除性。

1、证明:三个连续奇数的平方和加1,能被12整除,但不能被24整除。.

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回复 11#junhuayang2005 的帖子

您真热心!.

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