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[数学] (求助)刚回家就被将了一军

(求助)刚回家就被将了一军

当有理数a、b、c取何值时,等式
︱ax+by+cz︱+︱bx+cy+az︱+︱cx+ay+bz︱=︱x︱+︱y︱+︱z︱
对所有的有理数x、y、z都成立?.

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显然a=1,b=c=0成立。
但是其他值为什么不行呢?.

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我们可以知道|ax+by+cz|<=|a||x|+|b||y|+|c||z|,那么就可以推出|a|+|b|+|c|>=1。
接下来干什么呢?.

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真傻,既然对所有的x、y、z都成立。
那么代数字啊。

令x=1,y=0,z=0,得到|a|+|b|+|c|=1
令x=y=z=1,得到|a+b+c|=1
由此可以得到a、b、c同号。
再令x=y=1,z=0,得到|a+b|+|b+c|+|c+a|=2

由此可得,有两组解,1,0,0和-1,0,0。.

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昨晚凑了下 ,a、b、c三个数字中只要有一个1或-1 ,剩下2个都是0就可以。
不过,这还只可能是充分性,必要性无从得知,即完全可能漏解。
猫老师的解法貌似总还有凑答案的嫌疑,嘻嘻,得寸进尺。.

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回复 4#老猫 的帖子

这种做法是这类题目的好做法.
因为xyz可以任意取,所以就任意取..

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天哪,你家SG已经在做那么难的题目啦?俺是看得一愣一愣的。PFPF..

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好题

.

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引用:
原帖由 shuaishuaimm 于 2007-11-15 09:28 发表 \"\"
天哪,你家SG已经在做那么难的题目啦?俺是看得一愣一愣的。PFPF.
这题多半是填空题,凑凑答案就搞定了。.

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引用:
原帖由 老猫 于 2007-11-15 07:06 发表 \"\"
真傻,既然对所有的x、y、z都成立。
那么代数字啊。

令x=1,y=0,z=0,得到|a|+|b|+|c|=1
令x=y=z=1,得到|a+b+c|=1
由此可以得到a、b、c同号。
再令x=y=1,z=0,得到|a+b|+|b+c|+|c+a|=2

由此可得,有两组解 ...
由此可得,有两组解 ... ?能再详细一点吗? .

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回复 1#echooooo 的帖子

几年级的奥数?.

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回复 11#shumi1 的帖子

预初的.

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回复 12#echooooo 的帖子

不是吧.

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引用:
原帖由 lucyluan1799 于 2009-12-15 18:22 发表 \"\"
不是吧
无视他,他家小子是SBC的。.

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引用:
原帖由 小牛的爸 于 2009-12-14 21:42 发表 \"\"

由此可得,有两组解 ... ?能再详细一点吗?
我不记得了,让我想想哦。.

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回复 14#老猫 的帖子

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引用:
原帖由 老猫 于 2007-11-15 07:02 发表 \"\"
我们可以知道|ax+by+cz|=1。
接下来干什么呢?
对于这个|ax+by+cz|<=|a||x|+|b||y|+|c||z|,持怀疑态度,相等的?.

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