发新话题
打印【有0个人次参与评价】

[数学] 2010-1-11 初预

2010-1-11 初预

整数n可表示为4个形如m/(m+1)的真分数之和, 求n,并给出5种不同的真分数表示方式。.

TOP

m是正整数吗?
如果不是,n只能是3或4,简单验证,n=4
m可简单取取,-4,2,-3,1  (配成两对)其中(-4,2)是一对,(-3,1)是一对,还可以找到(-5,3)是一对,(-6,4)是一对,其它只要两个数加起来-2就是一对,只要两对配在一起就算一种,所以可以得到无数种.

TOP

m是正整数。n也是。既然叫真分数,应该m是正整数.

TOP

引用:
原帖由 老猫 于 2010-1-11 20:23 发表 \"\"
整数n可表示为4个形如m/(m+1)的真分数之和, 求n,并给出5种不同的真分数表示方式。
形如m/(m+1)的真分数各不相同吧?

∵1/2<=m/(m+1)<1
∴2<=n<4
又∵当且仅当4个形如m/(m+1)的真分数都=1/2时,n=2
∴n=3

接下来就凑凑了
∵n=3
∴4个形如1/(m+1)的不同真分数之和=1
于是找出至少有4个因数的数,
比如12,其因数为1、2、3、4、6
1+2+3+6=12
即(1+2+3+6)/12=1
∴3=1/2+3/4+5/6+11/12

同样的
3=1/2+3/4+4/5+19/20
3=1/2+2/3+9/10+14/15
3=1/2+2/3+8/9+17/18
3=1/2+2/3+6/7+41/42.

TOP

恩。

而且最后凑的过程,一下子抓住关键。.

TOP

引用:
原帖由 老猫 于 2010-1-12 11:36 发表 \"\"
恩。

而且最后凑的过程,一下子抓住关键。
hehe
答噶虚度题目,猫老师表扬个勿度丫!.

TOP

一看到猫老师出初预的题,第一反应就是很简单,然后想几分钟搞定,又闹笑话了,哈哈.

TOP

回复 7#童爸0928 的帖子

今后我永远写初预了。
哈哈.

TOP

回复 8#老猫 的帖子

哈哈哈,唉,真是可恼.

TOP

回复 4#echooooo 的帖子

echooooo, 解得真不错。
我在你的基础上再补充一个解,3 = 1/2 +2/3 +7/8 +23/24

而且可以证明,除了这些解以外,就没有其它解了。.

TOP

可以给出6种表示方式

顺着10楼的意思,我建议如果原题改为“给出6种不同的真分数表示方式”,题目会更全面,答案就是唯一的了。.

TOP

回复 4#echooooo 的帖子 - 凑!

echooooo, 你的“比如12”,得来好轻松,真是奥妙无穷。
(猫老师说你凑的过程一下抓住了关键,我来劲了。好好学)
你说“找出至少有4个因数的数”,我怎么都发现不了如何找到所有的满足这样条件的数。
我也比如,比如16,有因数1,2,4,8,16就凑不起来,再比如1,2,5,10,25,50,也凑不起来。
你会说,要因数里面能挑出四个数,加起来等于这个数。我也是这样想的,但什么样的合数,能在因数里挑出四个数相加等于这个数自身呢?这个问题本身的难度就跟猫老师的题目相当了,或许更难,呵呵。

你凑的数里有15,18,20,42。(不知你是怎么凑出这些数的?花了多长时间?)
哇,都到42了。42后面还要凑下去吗?42之前有没有漏掉哪个数啊?(比如24?你看我多细心,多认真。呵呵)
如果是考试,凑到42,要多少时间啊。还有,凑到多大就不用凑了呢。(也许你说42以后就不用再凑了,为什么呢?)

对你的方法很崇拜,所有提了不少问题,希望跟您探讨。.

TOP

引用:
原帖由 冬瓜爸爸 于 2010-1-13 12:46 发表 \"\"
echooooo, 解得真不错。
我在你的基础上再补充一个解,3 = 1/2 +2/3 +7/8 +23/24

而且可以证明,除了这些解以外,就没有其它解了。
凑凑,实际上是蛮有意思的
还是说4个形如1/n的不同分数之和=1

4个数平均=1/4,
形如1/n的分数从大到小排列是1/2,1/3,1/4,1/5,...
易证必有1/2
余下3个数平均=1/6
于是必有1/3,1/4,1/5中的某几个
粗算一下先
1/3+1/4=7/12>1/2
1/3+1/5=8/15>1/2
1/4+1/5=9/20<1/2
所以可能只有1/3,或1/4,或1/5,或1/4+1/5
有1/3,余下2数之和1/6,平均1/12,从1/7穷举到1/11,得(1/7,1/42),(1/8,1/24),(1/9,1/18),(1/10,1/15)
有1/4,余下2数之和1/4,平均1/8,从1/5穷举到1/7,得(1/5,1/20),(1/6,1/12)
有1/5,余下2数之和3/10,平均约1/7,从1/6穷举到1/7,无有效解

综合上述,共有6组解,
(1/2,1/3,1/7,1/42),
(1/2,1/3,1/8,1/24),
(1/2,1/3,1/9,1/18),
(1/2,1/3,1/10,1/15),
(1/2,1/4,1/5,1/20),
(1/2,1/4,1/6,1/12)

这种解法完整是完整的,
不过不如凑的有趣,还快,
昨天俺凑没花几分钟,
基本都是6的倍数,
打电脑倒是费时不少,吼吼.

TOP

回复 13#echooooo 的帖子

这个方法真是不错,完整,简单明了。这次是真不错。

你4楼凑的方法,(还整出个“4个以上约数”的条件),看的人一不留神就顺着走沟里去了。也许你用起来还顺手,但一些限制条件你又没给出,用的人不察,可不就掉沟里了!
正如你说的,虽然穷举法慢也无趣,但它完备严密。(好比家里的领导)
凑虽有趣,看着快,但不完备,也不严密,总觉得结果来路不正。(好比外面的野花)
这个比喻贴切否.......

TOP

回复 14#冬瓜爸爸 的帖子

嘿嘿。。。一般解题已臻化境的同学都喜欢玩举重若轻的把戏。。。.

TOP

回复 15#greenjyz 的帖子

你的这个说法,让我想起我读高中一年级的时候,我们一个清华毕业的数学老师(现在看来有这样的老师太奢侈了),他给我们的一个“显然”,我们要忙半天,累一身汗才看明白......

TOP

回复 16#冬瓜爸爸 的帖子

是滴是滴。。。记得读书时班里一个数学特强的,遇到讨论某题某个关节,口头禅就是“极易证。。。”,于是我们一帮木鱼脑袋就眼睛吧瞪吧瞪朝他看。。。。.

TOP

回复 14#冬瓜爸爸 的帖子

凑凑的完整性是很成问题的
漏解几乎是必然的

不过
在凑凑的过程中
倒是往往可以得到完整解的思路的

对你的比喻俺不做公开评价
要不家里的领导,嘿嘿
还是以正餐和零食喻之吧

说起清华毕业的数学老师
当初俺的语文老师还是正牌北大中文的呢
炫一把嚯嚯
可惜俺的语文从来就不咋地
愧对老师呀.

TOP

发新话题