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[数学] 几何证明 急

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几何证明 急

在直角三角形ABC中 AD为斜边BC上的高
I为△ABC的内心 I1为△ABD的内心 I3为△ACD的内心
求证:I为△AI1I2的垂心 .

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哈哈 会做了 老妈比我多做半个小时也没做出来.

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延长CI2交AI1于E
延长BI1交AI2于F
角EI2 I=45
角FI I1=角EI I2=45
所以角I1EI2=180-(角EI2I+ EII2)=90
同理角I2FI1=90

[ 本帖最后由 wip老爸 于 2010-7-16 20:57 编辑 ].

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回复 2#lucyluan1799 的帖子

还是这题,加一问:连接I1 I2的直线交AB于P,交AC于Q,求证AP=AQ。 试试看吧。.

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回复 4#冬瓜爸爸 的帖子

设AI交PQ与H
AI平分∠BAC
AI⊥PQ
又有一条公共边AH
所以两个三角形全等
AP=AQ
这2个是我要做的一道题的2个关键步骤 嘿嘿.

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还是这个图,继续问:三角形ABC的内切圆与三角形II1I2的外接圆哪个更大一些?.

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还是这个图,继续问:三角形ABC的面积,与三角形APQ的面积的2倍,哪个更大一些?.

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这个图,我还可以问出20个问题。呵呵。.

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继续继续,我要这二十个问题。
嘿嘿。.

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引用:
原帖由 老姜 于 2010-7-17 13:19 发表 \"\"
这个图,我还可以问出20个问题。呵呵。
这是一个很经典的图,里面的含有的结论实在是太多。.

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突然发现,这是在进华的圈子里,笑而不语…….

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引用:
原帖由 老姜 于 2010-7-17 16:38 发表 \"\"
突然发现,这是在进华的圈子里,笑而不语……
,你是坏人。.

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引用:
原帖由 wip老爸 于 2010-7-16 20:55 发表 \"\"
延长CI2交AI1于E
延长BI1交AI2于F
角EI2 I=45
角FI I1=角EI I2=45
所以角I1EI2=180-(角EI2I+ EII2)=90
同理角I2FI1=90
没看懂能否解释一下,多谢!.

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回复 13#盼星星 的帖子

原题等价于证I是△AI1I2的两条高的交点
等价于证I2I垂直于AI2
∠CBI1=∠CBI
所以C、I1、I三点共线
等价于证BI垂直于AI2
然后就是wip爸的解法.

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回复 7#老姜 的帖子

△ABC的面积更大
证全等把AP或AQ转到CD上.

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引用:
原帖由 老姜 于 2010-7-17 13:17 发表 \"\"
还是这个图,继续问:三角形ABC的内切圆与三角形II1I2的外接圆哪个更大一些?
一样大

证明: 设三角形DAB、三角形DAC、三角形ABC的内切圆半径分别为r1、 r2、 r
         可证:  r^2=r1^2+r2^2  (这个花了些时间)
         而    (I1I2)^2=2( r1^2+r2^2 ) (这个图上易找到关系)
         所以  I1I2 = sqrt(2) r
        设三角形II1I2的外接圆半径为R,
        易知, 2R=I1I2 / sin(180-∠I1I I2)= I1I2/sin(45)=2r
        故R=r

[ 本帖最后由 wip老爸 于 2010-7-18 08:09 编辑 ].

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引用:
原帖由 盼星星 于 2010-7-18 07:08 发表 \"\"

没看懂能否解释一下,多谢!
I, I1分别为三角形ABC, △ABD的内心, 所以I, I1在角B平分线上, 设其与AI2交于E
I, I2分别为三角形ABC, △ACD的内心, 所以I, I2在角C平分线上, 设其与AI1交于F
角EI2I=角ACI2+角I2AC=(角DAC+角C)/2=45
角FII1=角IBC+角ICB=(角B+角C)/2=45=角EII2
所以角I1EI2=180-(角EI2I+ EII2)=90
同理角I2FI1=90

[ 本帖最后由 wip老爸 于 2010-7-18 08:49 编辑 ].

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回复 16#wip老爸 的帖子

这个图是你画的吗?.

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引用:
原帖由 lucyluan1799 于 2010-7-18 12:43 发表 \"\"
这个图是你画的吗?
是与右边三角形同名的那个家伙画的..

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回复 19#wip老爸 的帖子

WHAT?.

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回复 20#lucyluan1799 的帖子

杀鸡用牛刀, 是用cad软件画的..

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回复 21#wip老爸 的帖子

哦 好厉害啊
我的话肯定用几何画板 嘿嘿.

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引用:
原帖由 wip老爸 于 2010-7-18 08:06 发表 \"\"

一样大
531935
证明: 设三角形DAB、三角形DAC、三角形ABC的内切圆半径分别为r1、 r2、 r
         可证:  r^2=r1^2+r2^2  (这个花了些时间)
         而    (I1I2)^2=2( r1^2+r2^2 ) (这个图上易找到关系)
  ...
这是所有解法里最简单和漂亮的一个。献花。.

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好玩吗?
1+1=?.

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引用:
原帖由 流星雨bb 于 2010-7-18 19:36 发表 \"\"
好玩吗?
1+1=?
如果按照当前的数学规则,应该等于2。.

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引用:
原帖由 老姜 于 2010-7-18 18:38 发表 \"\"

这是所有解法里最简单和漂亮的一个。献花。
谢谢!将姜老师的表扬在女儿面前显摆了一下.

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证r^2= r1^2+ r2^2这个好玩.
    设a是斜边, b与c是直角边,
               b+c=2r+a
      所以 b^2+c^2+2bc=4r^2+4ra+a^2
        而   b^2+c^2=a^2
              bc=2(r^2+ra)
            S△ABC= r^2+ra  
      同理  S△ABD=r1^2+r1b, S△ACD=r2^2+r2c
         又  S△ABC=S△ABD+ S△ACD
      所以 r^2+ra= r1^2+r1b+ r2^2+r2c
         而  ra=r1b+r2c(= 2S△ABC)
              r^2= r1^2+ r2^2.

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继续玩01

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:48 编辑 ].

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2010-7-18 23:01

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继续玩02

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:48 编辑 ].

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继续玩03

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:48 编辑 ].

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2010-7-18 23:02

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继续玩04

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:49 编辑 ].

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2010-7-18 23:12

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继续玩05

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:49 编辑 ].

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2010-7-18 23:13

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引用:
原帖由 wip老爸 于 2010-7-18 22:06 发表 \"\"
证r^2= r1^2+ r2^2这个好玩.
    设a是斜边, b与c是直角边,
               b+c=2r+a
      所以 b^2+c^2+2bc=4r^2+4ra+a^2
        而   b^2+c^2=a^2
              bc=2(r^2+ra)
            S△ABC= r^2+ra ...
顺便提一句,r^2= r1^2+ r2^2直接用相似比和面积就出来了。.

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引用:
原帖由 老猫 于 2010-7-18 23:21 发表 \"\"

顺便提一句,r^2= r1^2+ r2^2直接用相似比和面积就出来了。
是的. 我绕圈子了. 或者,
  S△ABC= r^2+ra 这个在图中面积加加就出来了..

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眯了一歇歇,楼盖了噶高了!

真可谓,真理越辩越明,闲话越传越多。哈!.

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回复 28#炫炫爸 的帖子

原解楷特,留给楼主来做。:-)

[ 本帖最后由 冬瓜爸爸 于 2010-7-19 22:24 编辑 ].

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继续玩06

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:49 编辑 ].

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2010-7-19 12:17

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继续玩07

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:49 编辑 ].

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2010-7-19 12:24

D07.jpg

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继续玩08

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:49 编辑 ].

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2010-7-19 12:29

D08.jpg

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继续玩09

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:50 编辑 ].

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2010-7-19 12:38

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继续玩10

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:50 编辑 ].

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2010-7-19 12:49

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炫炫爸,慢慢来

炫炫爸一口气,继续玩到这么远。
我给炫炫爸来配音:
“我让你们出题!你们不是会加一问再加一问吗,出题谁不会啊!”
(炫炫爸别砸我).

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继续玩11

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:50 编辑 ].

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2010-7-19 12:53

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继续玩12

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:50 编辑 ].

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2010-7-19 13:04

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继续玩13

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:51 编辑 ].

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2010-7-19 13:10

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回复 36#冬瓜爸爸 的帖子

这道题应该我来做嘛 我才是这道题的发起人啊 只不过换了个方法问.

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回复 46#lucyluan1799 的帖子

解答如你要求已经删掉。:-).

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在原题范围, 发现两个好玩结论:

1) AI=I1I2
2) r+r1+r2=AD
(证明易, 略了)

[ 本帖最后由 wip老爸 于 2010-7-19 23:37 编辑 ].

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回复 47#冬瓜爸爸 的帖子

不要啊 你这样一说 我觉得自己又说错话了 我已经第三次说错话了(而且肯定不止).

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继续玩14.

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2010-7-20 11:07

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