向各位爸爸妈妈请教一下：今天我和女儿在做一道用直线分割圆形的题目时，发现用1条直线最多可将一圆分成2份，用2条直线最多可将一圆分成4份，用3条直线最多可将一圆分成7份，用4条直线最多可将一圆分成11份，我们发现这里面好象有些规律，好象每多分一次，即在原已分好的份数上加上总共所用直线数，即得这次可最多分得的份数，于是猜测用5条直线最多可将一圆分成16份，结果我们真的只最多分成了16份，于是我们猜测用n条直线分割圆形时最多可得：1+1+2+3+......+（n-2)+(n-1)+n份（n为自然数，且每一项都不为负数），不知对不对？同时我们觉得若是对的，这还适用于任何一边都不凹向内的平面图形，不知对不对？
    我以前上学时从来没有关心过这种题，现在跟孩子一起研究，心里也没底，希望大家能不吝赐教，谢谢！

[ 本帖最后由 糖果她妈 于 2011-10-30 22:09 编辑 ].

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作者： 学夫子 11-04-18
       在前两篇文章里，我们分别到二维空间和三维空间里面分地盘。我们知道，在二维空间里，切X刀最多能把平面分成的块数排列为：1，2，4，7，11，16，22……，在三维空间里是：1，2，4，8，15，26……我们还知道，二维空间是的排列是一个二阶等差数列，三维空间的是一个三阶等差数列，我们不由得猜想：N维空间会不会就是N阶等差数列？
       所谓刨根问底，我们先把我们的目光转到更低维的空间，在零维空间也就是一个点里面，不管你切多少刀，切成的块数都为1，也就是其排列为：
       零维空间：1，1，1，1，1，1，1……这是一个零阶等差数列；
       在一维空间，也就是一条直线上，我们很容易得到其排列为：
       一维空间：1，2，3，4，5，6，7……这是一个一阶等差数列；
       结合前面的结论，我们完全有理由推测，N维空间的排列就应该是一个N阶等差数列，不过这只是猜测，就好像我们说，1，2，4，8后面不一定就是16 一样，为了验证我们的想法，我们先推导从低维到高一维的一个递推公式。我们以二维到三维为例，设二维里切n刀最多能切成的块数为P(n)，三维空间为Q(n)。
       以二维空间为例，我们首先要明白这样一个道理，那就是要想让分成的块数最多，必须要让所有的直线两两相交，并且每两条直线的交点都不一样。我们用这个原理来推导递推公式：
       先考虑Q(n-1)，也就是已经有n-1个平面来分割空间，并且都达到了最大化，也就是每一个平面都两两相交，并且交点都不一样，现在加入第n个平面，显然，这个平面也要和前面的n-1个平面相交，这个平面和n-1个平面就有n-1条交线，根据我们前面所说，这n-1条交线可以将第n个平面分成P(n-1)块，如果这个平面的左侧是那n-1条直线，显然右侧就多出 P(n-1)块空间。 显然，整个空间就多了P(n-1)块，因为在三维空间里，这个平面上的每一个小块都会对应着一个空间块。所以我们得到：
        Q(n)=Q(n-1)+P(n-1)。
        上面的讲述也许有点乱，实在是本人这个表述能力相当有限，本来想画个图的，作图能力也更加有限，真是惭愧。我们完全可以将这个方法推进到N维空间，也就是说若设M维空间切n刀最多能切成的块数为P(n)，M+1维空间为Q(n)，则有：
        Q(n)=Q(n-1)+P(n-1)， …………①
        我们可以验证这个式子对于零维一维等空间都是适用的。我们可以因此推出Q(n)的表达式：
        零维空间里，Q(n)=1
        一维空间里，Q(n)=Q(n-1)+1，所以Q(n)=n+1
        二维空间里，Q(n)=Q(n-1)+n，推出Q(n)=1 /2 (n2+n+2)
        三维空间里，Q(n)=Q(n-1)+1 /2 [(n-1)2+n+1),故Q(n)=1 /6 (n3 +5n+6)
        当然，你甚至可以推出在M维空间里Q(n)的表达式，具体推导涉及到线性代数。目前我还没有推出来，等有结果了会第一时间写上来的。但是我们依据式子①可以知道，M维空间的排列一定是一个M阶等差数列。

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非常感谢！看上去好复杂。我想再问一下：1+1+2+3+......+（n-2)+(n-1)+n是不是等于1/2(n2+n+2)，因为我代入一些数进去，发现两者结果一样，但我已把等差数列的解法全还给老师了.

昨晚给孩子读《马小跳玩数学》，正好读到切西瓜，问3刀最多能切几块？书里的答案是14块。而从你的帖子来看，应该是15块，怎么切？

给孩子看这个帖子时，他发现一个规律，就是 一维空间的Q(n) + 二维空间的Q(n)=二维空间的Q(n+1)， 二维空间的Q(n) + 三维空间的Q(n)=三维空间的Q(n+1)，验证一下是对的，把式子展开也可以证明，不过在实际生活中怎么理解呢？.

引用:

原帖由 ccpaging 于 2011-10-31 13:49 发表
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作者： 学夫子 11-04-18
       在前两篇文章里，我们分别到二维空间和三维空间里面分地盘。我们知道，在二维空间里，切X刀最多能把平面分成的块数排列为：1，2，4， ...

1+1+2+3+......+（n-2)+(n-1)+n
= 1 + n*(n+1)/2
=(n^2 +n + 2)/2

用高斯公式就可以得出答案。.

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作者： 学夫子 11-04-17
       昨天我们切了一个西瓜，并对什么找规律之类的题目提出了质疑，今天我们不切西瓜，我们改为切比萨。当然，我们切比萨，不是因为比萨好吃，而是因为，比萨的厚度可以忽略，也就是说，我们将比萨看成一个平面。而昨天的西瓜，那是三维的，比切比萨要麻烦得多。我们要来讨论，切x刀最多可以把比萨切成多少块？显然，这个问题最终可以归结为这样一道题：x条线段最多可以将一个平面分成多少块？我们已经知道的是：
       切0刀，可以切成1块；
       切1刀，可以切成2块；
       切2刀，可以切成4块；
       切3刀，可以切成7块；
       切4刀，可以切成11块；
       ……
       实际上，切的刀数X和最多切成的块Y的关系为：Y=1 /2 (X2+X+2),将Y值排列成一个数列：
       1，2，4，7，11，16，22……
       这个数列是一个二阶等差数列，即将相邻两数之差作为新的数列，进行相同的动作两次以后，就变成一个常数数列。依照上一篇文章 的方法，我们到杨辉三角里去找找，看能不能找到：
        

944ecfabe5be5c1db44a83e08fed6aee20110417073331.jpg (27.18 KB)

2011-11-1 10:28

       我们找到杨辉三角里的二阶等差数列，如图红色部分所示，考虑每一个数的顶头数，如3的顶头数为1，6的顶头数为2，10的顶头数为3，15的顶头数为4等等，将每一个数减去其顶头数，得到的就是我们的比萨块数：1，3-1=2，6-2=4，10-3=7，15-4=11……
       也就是说，咱们不仅能通过计算算出分成的块数，咱们还可以在杨辉三角里面查找答案。比如我们要查找切6刀最多能切的块数，直接可以查到为28-6=22块。而回想起我们昨天的结论，
       将三阶等差数列中的每一个数减去他的顶头“上司”的两倍，得到的结果构成一个新数列，这个数列就是俺们的西瓜块数数列。
       似乎这两天又这若隐若现的关系，如果再联想起在一维空间也就是一条直线上进行分割，那么这个现象就再明显不过，我们能不能一不做二不休，将之推广到N维空间的分割？虽然无法想象，但是我们依然可以去想。明天我们继续.

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作者： 学夫子 11-04-16
       读过书的朋友都见过下面类似的题目：
       1，2，4，8，（   ），请寻找规律在括号里填上适当的数。
       我想，标准答案都是16，似乎没有异议。但是事实并非如此，请看下面的题目：
       现在有一块西瓜，切0刀(也就是不切)，可以将西瓜切成1块；
       切1刀，最多可以将西瓜切成2块；
       切2刀，最多可以将西瓜切成4块；
       切3刀，最多可以将西瓜切成8块；
       …………
       如果按照这样的思路，我想大多数朋友都会切4刀最多可以将西瓜切成16块，特别是经受过无数次“标准答案”洗礼的朋友，但是一做实验，就算费劲劳力，你也不可能将西瓜切成16块，最多可以切成15块；同样，对于切5刀的时候，顶多就能切成26块……到此，你该相信什么？标准答案么？记住，这里是切西瓜，不是切一张纸，这是在三维空间里进行的。
       事实上切西瓜的刀数X和最多切成的块数Y的关系式为：Y=1 /6 (X3 +5X+6),当x=0，1，2，3的时候，Y都等于1、2、4、8，但是当X=4时，Y=15。我们将Y的取值列于下：
       1，2，4，8，15，26，42……
       别看上面的数字很乱，别看他的通项是个三次方，其实这是一个三阶等差数列，即将相邻两数之差作为新的数列，进行相同的动作三次以后，就变成一个常数数列。
       在此我们突然想起，我昨天在谈到“杨辉三角里的等差数列 ”的时候，我们谈到杨辉三角里也有高阶等差数列。那么这里的三阶等差数列能不能在杨辉三角里找到呢？为了方便，我们在此请出杨辉三角：
        

1.jpg (26.73 KB)

2011-11-1 10:30

       我们找到杨辉三角里的三阶等差数列，就如图中的红色部分，而这个数列显然与我们的西瓜块数1，2，4，8，15，26，42……不符，不过既然两个都是三阶等差数列，那么他们必然存在某种联系，事实上确实如此，要找，咱们是肯定可以找到：
        

2.jpg (28.91 KB)

2011-11-1 10:30

       绿色部分是三阶等差数列的上一斜行。现在考虑三阶等差数列每一个数字的顶头“上司”：4头上的1，10头上的3，20头上的6，35头上的10……我们要做的是，将三阶等差数列中的每一个数减去他的顶头“上司”的两倍，得到的结果构成一个新数列，这个数列就是俺们的西瓜块数数列：
       1，4-2×1=2，10-2×3=4，20-2×6=8，35-2×10=15，56-2×15=26……
       这就恰好是我们的西瓜数列。估计你也无法预料，咱们的刀切西瓜居然可以在相差万里的杨辉三角里找到答案，以后你除了通过公式计算，你还可以通过杨辉三角直接茶，比如要问你切6刀可以将西瓜切为多少块，你通过杨辉三角查得：84-2×21=42。这和我们公式计算的结果是一样的。

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引用:

原帖由 aochuanhui 于 2011-11-1 10:08 发表
昨晚给孩子读《马小跳玩数学》，正好读到切西瓜，问3刀最多能切几块？书里的答案是14块。而从你的帖子来看，应该是15块，怎么切？

给孩子看这个帖子时，他发现一个规律，就是 一维空间的Q(n) + 二维空间的Q(n)=二 ...

学夫子这个帖子所体现出来的是一种寻找数学规律的方法，即实验归纳法。由少到多，由简到繁，逐个地实验，逐个去分析问题，在实验分析的过程中得到某种顿悟。然后，将这个过程进行归纳总结，再做更高层次的展开。单单去理解他归纳出来的公式，几乎没有什么意义。

你的孩子还小，可能还欣赏不了这个层次的结果。把3刀切15块的问题解决了，就行。.

引用:

原帖由 糖果她妈 于 2011-10-31 21:29 发表
非常感谢！看上去好复杂。我想再问一下：1+1+2+3+......+（n-2)+(n-1)+n是不是等于1/2(n2+n+2)，因为我代入一些数进去，发现两者结果一样，但我已把等差数列的解法全还给老师了

说明啥呢？你原来没有学扎实，只记了公式，公式一旦忘了，就玩完了。在教育孩子这点上，一定不要重蹈这个覆辙。怎么做呢？踏踏实实地让孩子慢慢从（1+2+3+...+10）这样的简单计算入手，让他自己发现前后配对的技巧，可以借助图形的辅助，最后让他自己总结出高斯公式。这个过程可能比较长，我不知道数学小组的成员陆陆续续地从四年级算到预初，才总结出来：
1+2+...+n=n*(n+1)/2
但这个公式以及寻找规律（公式）的方法已经融入他们的大脑中，成为他们思维自然的组成部分之一，这辈子，他们也不会忘了。.

你说的对，谢谢！.