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[数学] 对称式和轮换对称式及其因式分解

对称式和轮换对称式及其因式分解



如果把一个代数式中的任何两个字母对调,得到的式子和原来恒等,则这个代数式就是它所含的各个字母的对称式。
       比如x+yxyx^2+y^2,这几个是二元的对称式。x^3+y^3+z^3-3xyz(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3,这几个就是三元的对称式。
       如果把一个代数式中的字母轮流的把x换成yy换成zz换成x,其式与原来的式子恒等。称为关于字母xyz的轮换对称式。
       比如x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y),如果交换其中两个字母,和原来是不相等的,但是如果将三个依次交换,就没有问题。
       显然对称式一定是轮换对称式,反之不一定。

       要解决轮换对称式的因式分解,要知道两个知识:
1、如果(a-b)是三元轮换对称式的因式,那么(b-c),(c-a)都是原多项式的因式。

2
、如果将a-b=0代入原多项式,原多项式等于0,那么(a-b)就是原多项式的因式。这个是因式定理,在此不作解释了,有兴趣的同学可以查一下书,因式定理是余数定理的推论,而余数定理在教科书上就有。


       轮换对称式的过程:

1
、猜:利用因式定理猜出一个因式;


2
、轮:利用知识1,写出另外的因式;


3
、补:补上系数和次数;(如果等式两边次数相等,那补系数k;如果等式两边次数差一次,那么补上k(a+b+c);如果等式两边次数差二次,那么补上k(a^2+b^2+c^2)+m(ab+bc+ca)


4
、代:代若干组数进去;


5
、解:利用方程(组)把km算出来;


6
、答:写结论。


       下面用几个例子来说明上述过程:
1(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3

1
、猜:将a+b=0代入 (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3,得到(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=(0+c)^3+b^3-b^3-c^3=0,于是可以知道原多项式有因式(a+b)


2
、轮:可以知道另外有两个因式(b+c),(c+a)


3
、补:由于等式左边是(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3是三次式,等式右边是(a+b)(b+c)(c+a) 是三次式,次数相等,所以等式应为(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=k(a+b)(b+c)(c+a)


4
、代:将a=1,b=1,c=1代入上述等式,可以得到3^3-1^3-1^3-1^3=k(1+1)(1+1)(1+1)


5
、解:解上述方程,可以求出k=3


6
、答:(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a)


2a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)

1
、猜:将a-b=0代入a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b),得到a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)= b^3(b-c)+b^3(c-b)+c^3(b-b)=0,于是可以知道原多项式有因式(a-b)


2
、轮:可以知道另外有两个因式(b-c),(c-a)


3
、补:由于等式左边是a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)是四次式,等式右边是(a-b)(b-c)(c-a) 是三次式,次数差一次,所以等式应为a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=k(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)


4
、代:将a=0,b=1,c=2代入上述等式,可以得到0^3(1-2)+1^3(2-0)+2^3(0-1)=k(0+1+2)(0-1)(1-2)(2-0)


5
、解:解上述方程,可以求出k=-1


6
、答:a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)= - (a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)


3(x+y+z)^5-(x+y-z)^5-(x-y+z)^5-(-x+y+z)^5

1
、猜:将x=0代入(x+y+z)^5-(x+y-z)^5-(x-y+z)^5-(-x+y+z)^5,得到(x+y+z)^5-(x+y-z)^5-(x-y+z)^5-(-x+y+z)^5= (0+y+z)^5-(0+y-z)^5-(0-y+z)^5-(-0+y+z)^5=0,于是可以知道原多项式有因式x


2
、轮:可以知道另外有两个因式y,z


3
、补:由于等式左边是(x+y+z)^5-(x+y-z)^5-(x-y+z)^5-(-x+y+z)^5是五次式,等式右边是xyz是三次式,次数差二次,所以等式应为(x+y+z)^5-(x+y-z)^5-(x-y+z)^5-(-x+y+z)^5 = (k(x^2+y^2+z^2)+m(xy+yz+zx))xyz


4
、代:将x=1,y=1,z=1x=1,y=1,z=2分别代入上述等式,可以得到(1+1+1)^5-(1+1-1)^5-(1-1+1)^5-(-1+1+1)^5 = (k(1^2+1^2+1^2)+m(1×1+1×1+1×1))1×1×1(1+1+2)^5-(1+1-2)^5-(1-1+2)^5-(-1+1+2)^5 = (k(1^2+1^2+2^2)+m(1×1+1×2+2×1))1×1×2


5
、解:解上述方程,可以求出k=80,m=0


6
、答:(x+y+z)^5-(x+y-z)^5-(x-y+z)^5-(-x+y+z)^5 = 80(x^2+y^2+z^2)xyz


       以上就是解答轮换对称式因式分解的标准过程,希望同学们能熟练掌握。

下面留两个习题:
1(x+y+z)^3-(x+y)^3-(y+z)^3-(z+x)^3+x^3+y^3+z^3
2(b-c)(b+c)^4+(c-a)(c+a)^4+(a-b)(a+b)^4

[ 本帖最后由 老猫 于 2010-8-3 13:44 编辑 ].

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由于旺旺爸偷懒,没有给论坛设置上标功能,所以所有的次方都跟在字母后面了。
如果跟在字母后面也就算了,少量的跟在了数的后面,就可能会混淆,大家读的时候小心一点,谢谢。

今天心情大好,所以顺手把所有的次方都改写了,这样就不会搞错了。

[ 本帖最后由 老猫 于 2010-8-3 13:45 编辑 ].

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我也偷懒了一下,不高兴一个个更改了。

终于发现自己也不是那么懒呢。

[ 本帖最后由 老猫 于 2010-8-3 13:46 编辑 ].

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谢谢猫老师,辛苦了.

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对猫老师的景仰,如滔滔江水...
.

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谢谢!.

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这是一个很边缘的知识点。

而且这个知识点就是知识而已,没有什么大的技巧,知道就是知道,不知道就是不知道。
所以说一下很有必要。

[ 本帖最后由 老猫 于 2010-8-3 13:46 编辑 ].

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引用:
原帖由 echooooo 于 2007-11-20 11:48 发表 \"\"
对猫老师的景仰,如滔滔江水...
91474914759147691477914789147991480
是滴是滴,无限景仰,而且是按时交作业的好榜样。.

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恩,收藏好了,以后可以用的地方多来.

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谢谢!学习中..

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引用:
原帖由 锋锋的妈妈 于 2010-8-2 14:46 发表 \"\"
请问代这一步是如何确定a b c的值
随便
只要计算方便,并且不要使两边都是0就可以了。.

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回复 1#老猫 的帖子

第一个题有种让人想先拆开来的感觉,三次项是不是可以抵消啊.

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引用:
原帖由 lucyluan1799 于 2010-8-22 13:56 发表 \"\"
第一个题有种让人想先拆开来的感觉,三次项是不是可以抵消啊
是的,可以抵消的。
抵消之后,如果你对因式分解足够熟的话,应该可以很容易的分完。
只是足够熟的人并不多。.

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回复 16#老猫 的帖子

那 换一次元呢?虽然觉得没啥好的换元方法=  =.

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引用:
原帖由 lucyluan1799 于 2010-8-22 21:15 发表 \"\"
那 换一次元呢?虽然觉得没啥好的换元方法=  =
本题换元不妥。
如果要换元,还不如两两用立方和立方差公式呢。.

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回复 18#老猫 的帖子

是的,谢谢老师了.

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想学习的飘过.

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