除数为什么不能为0？
ccpaging 发表于 2008-10-16 23:16:00 先准备一个20厘米的尺子

父：当我们要把尺子分成2厘米的小节时，能分成几个小节？
子：10小节，写成算式就是 20 / 2 = 10，在这个算式里，20是被除数，2是除数，10是商。
父：当我们要把尺子分成1厘米的小节时，能分成几个小节？
子：20小节，写成算式就是 20 / 1 = 20，在这个算式里，20是被除数，1是除数，20是商。
父：当我们要把尺子分成0厘米的小节时，能分成几个小节？
子：没法分了。
父：原来我们学过乌龟和兔子过沼泽地的故事。兔子的腿长，一次可以跳2个树桩的距离，需要跳10次。乌龟的腿短，一次只能跳一个树桩的距离，同样的距离跳20次。如果来了一个腿更短的小动物，那么它就需要爬更多次，才能走过沼泽地。
子：如果是小蚂蚁，就需要走很多步。
父：所以，我们发现，腿越来越短，每次爬的距离越来越小，需要爬的次数也就越来越多。如此反复，直到无穷大。也就是说，当除数为0时，商是无穷大。
子：如果是一片树叶掉在沼泽地里，一步也走不动，那它就永远也不可能走出沼泽地了。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2011-9-6 22:52 编辑 ].

反思：
1、原来老是说除数为0，结果无意义。这种说法，是不正确的，只是原来没有要求在大学以前，接触无穷大的概念，所以一言以蔽之。

2、大学以前，有没必要教授无穷的概念。这是个问题，我的理解是，如果儿子问到这方面的问题，非如此不足以解释，那就不要回避，当然，前提条件是BBMM们要有正确的概念。.

这个帖子真及时，最近儿子刚学了除法，那天还在跟我讨论除数为0的事情，我都不知道怎么说。.

引用:

原帖由 有你乐无穷 于 2008-10-20 10:04 发表
这个帖子真及时，最近儿子刚学了除法，那天还在跟我讨论除数为0的事情，我都不知道怎么说。

我们也是二年级的，咋还没有教除法？上次说的因数好像也没有教啊。困惑。。。.

偶家儿子3年级啦。LS爸爸好像是提前做准备了。.

引用:

原帖由 有你乐无穷 于 2008-10-20 11:03 发表
偶家儿子3年级啦。LS爸爸好像是提前做准备了。

哦，我又以为这个当妈的不称职了。.

你这个妈妈很称职的啦，光看看你的发帖数量就知道了。.

二年级因数教过的，练习卷上也出现过，回家再问问。.

引用:

原帖由 小龙人妈妈 于 2008-10-20 11:20 发表
二年级因数教过的，练习卷上也出现过，回家再问问。

谢谢！.

我们学校发的每周要点里也说0不能做除数,看了才知道.

.

很多数学的基本概念在小学课程里边是呈螺旋式发展的，如估算、因数、除数不能为0，二年级初步讲讲，三年级进一步讲，四年级五年级还讲，但是每次都不一样。

如果孩子问到这样的问题，要能回答上来哦。.

lz是强人  感觉解释的很好.

　　今天早上不知什么原因，儿子说起老师告诉他0÷1=0，1除以0也等于0.估计孩子是听错了，但他坚持说就是老师教的。不管怎样，不能让孩子坚持一种错误。于是想到楼主这个帖子，既然楼主的孩子比我家的小都能够理解“无穷大”概念，俺家孩子应该也没有问题吧。况且，我家孩子已经开始学小数。和他讨论“无穷大”，有利条件多了。下面是今天早上的父子对话：

　　父：1÷0.1等于多少？
　　子：10.
　　父：行啊！你怎么算出来的？
　　子：因为10×0.1=1.
　　父：我知道你怎么算的了。那么，1÷0.01呢？
　　子：100.
　　父：1÷0.001呢？
　　子：1000.
　　父：1÷0.0001呢？
　　子：10000.
　　……
　　父：我的除数就这样一直小下去，你的商呢？
　　子：我的商就一直大下去。
　　父：我的除数小小小，小到0，小得不能再小了。（其实还可以小下去，但孩子没有学负数，就这样说吧）
　　子：我的商就大大大，大到不能再大。
　　父：对！大得不能再大的数叫“无穷大”。那你说，1÷0=0对不对？
　　子：不对。1÷0应该等于无穷大。

　　看来，学了小数，理解“无穷大”概念更加方便。.

因为明强小学有这么一对厉害的父子，偶决定天天翻墙头过来报到.

有启发！.

认认真真地学习了，今天就去给小女灌输一下，让她知其然知其所以然。.

引用:

原帖由 hxy007 于 2008-11-4 17:55 发表
　　今天早上不知什么原因，儿子说起老师告诉他0÷1=0，1除以0也等于0.估计孩子是听错了，但他坚持说就是老师教的。不管怎样，不能让孩子坚持一种错误。于是想到楼主这个帖子，既然楼主的孩子比我家的小都能够理解“ ...

转到我的博客上了：
http://ccpaging.blog.ubuntu.org.cn/.

很精彩的，也学习一下。.

按这样教无穷大的概念确实比较形象，但是我认为孩子听这样的解释对无穷大不会产生任何有价值的认识，他只不过会觉得”无穷大是一个很大很大的数“。

而且会有以下缺点。
因为老师可能教过，任何数乘以0等于零。
而除法是用乘法的逆运算来定义的，求一个数除另一个数的商，其实就是求除数乘以多少的结果等于被除数。
那么，如果1除0等于无穷大的话，就意味着无穷大乘以0等于1。这和老师教的任何数乘以零等于零就有矛盾了。

我认为有必要从一开始就告诉孩子，无穷大不是一个数。是为了能够让零做除数，我们才特别造出一个新的概念叫无穷大。它和其它的数很不一样。不一样在哪里呢？我们可以讲很多小故事。比如说有名的旅店排房间问题。

如果有BBMM认为没有必要给孩子讲得那么深，那么我建议，索性就和孩子说我们现在手头的数里找不到任何一个和零乘起来等于1的，所以我们写不出1除零等于几，我们现在手头的数并不完美，不够用。这样的困惑是符合人类认知数学探索数学的历史规律的。以后，让孩子带着这个“无法解决”的问题接触无穷大的概念，他会得到更多东西。.

老师可以改进的地方是不要说”无意义“，这话孩子听不懂的。
老师应该说，”在我们现在的所有的数里面，我们找不到答案。“.

好贴，收藏之！.

请问什么是旅店排房间问题？和无穷大有什么联系？.

父：最近在学什么？
子：小数。
父：哦，不是早学过了吗？
子：小数的加减乘除。
父：学的怎么样？有什么问题吗？
子：没问题，都能懂。
父：那，我出个问题吧。
子：说。
父：最小的正数是多少？包括小数哦。
子：0.00000000、、、
父：别停一直说下去。
子：0.00000000000000000000、、、
父：怎么样？答不上来了吧。
子：那应该怎么说？
父：无穷小啊。
子：可是0比无穷小更小。
父：但0不是正数。
子：那负数呢？
父：最小的负数是负无穷大。
子：哦。

（忘了无穷小的符号表示了，俺赶紧地去百度。）
父：你知道无穷小用什么符号来表示吗？
子：对啊，怎么表示呢？倒写的A、、、
父：还记得无穷大的符号吗？
子：倒下来的8字，像这样 ∞。
父：想想看无穷小是不是可以借助这个符号来表示呢？
子：知道了，是“1 ÷ 无穷大”。
父：意思是这个意思。把1分成无穷多份，每一份就是无穷小了。
子：哦，应该用分数表示成 “1 / ∞”。
父：是的。以后上了初中，除号就慢慢不用了，你们会更习惯用分数表示。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2011-9-7 10:11 编辑 ].

引用:

原帖由 hxy007 于 2008-11-4 17:55 发表
　　今天早上不知什么原因，儿子说起老师告诉他0÷1=0，1除以0也等于0.估计孩子是听错了，但他坚持说就是老师教的。不管怎样，不能让孩子坚持一种错误。于是想到楼主这个帖子，既然楼主的孩子比我家的小都能够理解“ ...

"对！大得不能再大的数叫“无穷大”。"

这么定义“无穷大”不准确。
1. 无穷大不是一个数，而是一个动态的过程，所谓的“极限”。没有一个数是无穷大。
2. “无穷大”的直观解释也不是“大得不能再大”，什么叫“大得不能再大？” 是否说“没有比它更大？” 若是，则说“无穷大大得不能再大”不准确，因为无穷大之间也可以比较“大小”的。
如果一定要直观解释，那么可以这么说：“无穷大比任何数都大，任你说出什么大数来，无穷大就变得比它更大。”或“无穷大，你想要多大，他就可以有多大”。.

同意。.

引用:

原帖由 我是乐乐妈 于 2011-9-6 23:13 发表


"对！大得不能再大的数叫“无穷大”。"

这么定义“无穷大”不准确。
1. 无穷大不是一个数，而是一个动态的过程，所谓的“极限”。没有一个数是无穷大。
2. “无穷大”的直观解释也不是“大得不能再大”，什 ...

知道了。谢谢指教！现在我也在担心我那么说会不会误导孩子。

其实，小学老师教了我们孩子许多错误的数学知识。比如：
（1）最小的数是0
（2）比0大一点点数是1
（3）2-3没有减
有意思的是，我们并不质怪老师教错了。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2011-9-7 08:05 编辑 ].

我个人认为象“无穷”这样的抽象概念，对于孩子来说无所谓正确与错误。
这个概念困扰过所有的孩子，包括所有的数学家。高斯就不承认数学中有无穷大的概念。

在我们小时候，自己编造了一个“1kang ”来代表这个无穷大，同样的西方国家的小孩用"trilion"来代表虚无的无穷大。这些概念都是错误的，但是只要兴趣在，随着孩子的成长就会自己去证实和证伪。

困扰过一代又一代数学家的难题为啥就要孩子们在很小的时候就要完全清楚呢？告诉他：“你这个问题高斯都没解决，你能思考就是和高斯一样的水平。”这样保持住兴趣才是最重要的。.

若说无穷大是个过程，人们对无穷大的认识也是一个过程。只要我们小心点、谦卑些，对吃不准的知识，少做负面的强化，那就没关系的。
也许过一两年，孩子会突然来跟你说，我们对某个概念理解错了，应该这么这么理解、、、
这好像才是我们期待已久的。.

引用:

原帖由 ccpaging 于 2011-9-7 10:24 发表
若说无穷大是个过程，人们对无穷大的认识也是一个过程。只要我们小心点、谦卑些，对吃不准的知识，少做负面的强化，那就没关系的。
也许过一两年，孩子会突然来跟你说，我们对某个概念理解错了，应该这么这么理解、 ...

孩子碰到了这个问题,那我们终归要想办法讲讲, 有时讲的不准确也是不可避免的, 只要不犯原则性错误就好了. 只要孩子有兴趣, 他自然会不断提高认识. 希望有一天孩子会发现: 原来爸爸妈妈水平很差啊,好多东西都讲错了. 那我们的教育就成功了.

我孩子是上学期遇到了无穷大问题. 老师们知道他喜欢数学, 就经常用一些数学问题来逗他玩. 有一天,他说:"今天老师问我X乘以X等于多少,我X除以X等于多少, 我答对了. 可是老师问我X除以零等于多少,我就不知道了." 于是我就用007的办法讲了一下. 1除以0.1,  1除以0.01,  1除以0.001.... 孩子学会了无穷大这个说法很高兴，经常用无穷大来表示很多， 还经常说无穷大的平方，无穷大的无穷大次方，并拒绝我的纠正，显然他从说无穷大的无穷大次方中获得了很大的乐趣。.

无穷大的平方我想不出来有啥意义，不过，2的无穷大次方，是很有意思的一个无穷大。.

有时候，“没有意义”只是因为我们还没有想出来它应该有什么意义。.

哦，好吧，无穷大的平方也有意义，但是不如2的无穷大次方有意思.

引用:

原帖由 火车是运茶的 于 2011-9-8 12:15 发表
无穷大的平方我想不出来有啥意义，不过，2的无穷大次方，是很有意思的一个无穷大。

请详细讲讲2的无穷大次方吧, 和3,4的无穷大次方有什么区别呢? 这个我还不知道呢.

没啥区别，但是我卖个关子，这里不讲.

无穷大的平方，曾经在一个猜想中出现过。
在喵喵的帖子里边曾经讲过比较无穷大（以后我转过来）。那时，我们发现，要找出不同大小的无穷大很困难。其实，在实变函数里边曾经讨论过这个问题。可以证明，在0和1之间的无理数比有理数多，因为在任何两个有理数之间存在无穷多个无理数。有人问了下一个问题，无理数比有理数多多少？有数学家提出猜想，无理数的个数是有理数个数的平方。这是未经证实的猜想。

备注更正：
在泛函分析中讨论过这个问题，不是实变函数。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2011-9-8 12:46 编辑 ].

恐怕，你要再去翻翻实变函数教材了。.

我记错了？懒得翻了，你说吧。.

引用:

原帖由 ccpaging 于 2011-9-8 12:43 发表
我记错了？懒得翻了，你说吧。

晕，是泛函分析。汗.

若X代表自然数的个数，则X为无穷大。
以Y代表有理数的个数。由于有理数可以表示为自然数对，故Y为X的平方。另一方面，可以证明X=Y。
以Z代表无理数的个数。则Z为2的X次方。这个是可以证明的，不是猜想。.

我们没学到这。.

这里确实有个猜测，就是大名鼎鼎的连续统假设：在X和Z之间没有其它的无穷大。（适当定义无穷大之间的大小之后，可以证明Z比X大，而连续统假设说的就是不存在一个无穷大，它比X大，比Z小）.

我估计你学过也该忘得差不多了。

40楼里按照惯例，X应该写成N，Z应该写成R.

看来2的无穷大次方你不用讲了, 讲了我也听不懂. 只怪当年数学没学好啊..

不客气
其实下面朋友说得很好，误导也没有关系，人类的数学发展史不就是纠正错误，克服不足，然后取得新发展这么一个过程嘛。
让孩子体验这个过程，也许会有更不同的心得

另外，我从你那儿学到很多哦，趁此机会道谢.

以前一直不明白，为什么0可以做被除数，却不能做除数，现在明白了。.

学习了。我上了大学就没学数学了，儿子老缠我，以后让他蹲这里就行了。.