用三角来试试:
设三边为a,b,c ( b<a<c)
由正弦定理可知: b / Sin(∠B) = a / Sin(∠A) = a / Sin(2∠B) = a / 2Sin(∠B)Cos(∠B) ∴a = 2bCos(∠B)
再根据余弦定理: Cos(∠B) = (a^2+c^2-b^2) / 2ac ∴ a = b(a^2+c^2-b^2) / ac 整理得:
a^2-b^2=bc ----(1)
又∵∠C是钝角, ∴ a^2 + b^2 < c^2, 结合(1)式可得:
c>2b>a>√3b ---- (2)
∵a,b,c ∈N 根据(1)式可知 a^2 / b ∈N, 而2b>a>√3b ∴
b必为完全平方数
验证可知, Min(b) = 16, 此时a = 28, c=33
所以△ABC周长最小值为: 16 + 28 + 33 = 77.
