我的做法：4个正整数A,B,C,D.它们满足1/A+1/B+1/C+1/D=1,A<B<C<D.
1=1/A+1/B+1/C+1/D≤1/A+1/(A+1)+1/(A+2)+1/(A+3)

所以：2≤A≤3，即A=2或A=3
当A=3，1=1/A+1/B+1/C+1/D≤1/3+1/4+1/5+1/6=9/20+9/18<1，前后矛盾，所以A=2。

1/2=1/B+1/C+1/D≤1/B+1/(B+1)+1/(B+2)
所以：3≤B≤5，即B=3或B=4或B=5
当B=5，1/2=1/B+1/C+1/D≤1/B+1/(B+1)+1/(B+2)≤1/5+1/6+1/7=101/210<1/2，前后矛盾，所以B≠5，B=3或B=4。

当B=3时，同上可以推导出7≤C≤11，得出四组数据：（C=7，D=42）（C=8，D=24）（C=9，D=18）（C=10，D=15）
当B=4时，同上可以推导出5≤C≤7，得出二组数据：（C=5，D=20）（C=6，D=12）

综合后：A+B+C+D的最大值为2+3+7+42=54，最小值为2+4+6+12=24

我这个方法是个笨方法，感觉这个题里面应该有很简单的算法，例如D=A*B*C
当只有三个数时1=1/A+1/B+1/C，只有一组解：2、3、6，其规律也有C=A*B
当有五个数时1=1/A+1/B+1/C+1/D+1/E，A=2或3，后面的太复杂了，我算不过来。.

再想了想，应该是2+3+7+43+42*43=1861.
公式为A+B+C+D+E=A+(A+1)+(A*B+1)+(A*B*C+1)+A*B*C*D

六个数时，和的最大值为：2+3+7+43+1807+2*3*7*43*1807=3265304

不知道如何去证明。.

大家努力一下，看看能否鼓捣出和最小值的公式。.