以每秒2米靠近靶子。
小明于在t秒时刻射出的子弹在t+1秒的时候位于离t秒时的小明位置靠近靶子5米处。
小明于t+1秒时射出的子弹在t+1秒的这个时点位于离t秒时的小明位置靠近靶子2米处。
由于这两颗子弹均匀速运动，所以，他们之间的位置差不变，为3米。
所以两颗子弹击中靶子的时间差为3米除子弹速度，即0.6秒。
t可以取的值（即t的定义域）取决于小明开始时离靶子的距离。

离开靶子的情形的讨论基本一样。

关于警车呼啸而来，呼啸而去的时候，警笛的尖锐低沉变化趋势。我中学时参加过的某次物理竞赛中考到过。那道题目让我思考了不少时间。最后对答案还是很不确定。今天，我才知道原来这叫多普勒效应（我们参加竞赛都不准备的，就是课本的这些知识）。还有火车的这个题目做引导，思考起来就方便很多。

现在想起来，那个竞赛题对于超前学过一些课外知识的学生而言，真的一点不难，但是对于从来没有学过多普勒效应的学生来说，无疑要让他几分钟内做一次多普勒。当然，如果一个没有学过多普勒效应的学生能在考试中准确回答出这道题目的话，确实是令人惊讶的。故此，我觉得我当初应该是没有答对这道题。.

我认为你的问题出在：“可是，就用小数本身能够证明吗？我就要直接的证据，我不见棺材不掉泪。”

对于你的问题，我的看法和火车一样：“我想，你的疑问也许在于：怎么样才能把无限不循环小数精确地写下来？似乎是一种矛盾。因为无限所以不能全部写下，因为不循环所以无法精确。”

我们现在用的10进制写数的办法，是通过几个有限的整数的加法（和乘法）和除法来表示我们手头需要表示的数。
这个办法为什么被采用，是因为可以让我们减少很多记忆工作。因为最笨的表示数的方法是为每一个数准备一个符号。我们可以把123456789。。。记做abcdefghijk。。。。显然这种办法太没有效率了。（你有兴趣可以查一下各个文明在初始时都是如何计数的。）

10进制是印度人的伟大创造。有了它我们可以很有效的表示数，我们只需死记0123456789十个加小数点一共十一个记号就成了。

而这种记数方法无法表达根号2，你的那个1.414。。。。只是人们算出的根号2的近似值。至于这个近似值是无穷不循环小数是通过火车说的抽象思维的证明方式证明出来的，不是通过写出这个小数来验证的。道理还是前面说的，10进制本身就不能准确表达根号2。

最后，我建议你区分“数”（或称“数值”）和“数的表达形式”这两个不同的概念。.

我来回答一下思考题吧。

假设测速仪的原理是测速仪按固定频率发射的信号（速度为V0），该信号经车反射后以-V0的速度射向测速仪，测速仪通过比较车辆反射信号的频率和自身频率的差异，计算出该车相对自己的速度（V）的大小。

S为测速仪，C点为车的位置（假设在该位置一个信号s和车相遇），B点为s的后一个信号s+1的所在位置。

S ------------------------------------B------------C

BC距离为 V0*t
信号和车的相对速度为 V0-V
自此至s+1和车相遇所需的时间为 V0/(V0-V)*t=(1+V/V0-V)t=T
即于t0时车反射了一个信号s后，经过了T时间后又反射了信号s+1。

以上讨论对于车的速度设为V，所以如果车靠近测速仪则V和V0符号相反，T小于t；车远离测速仪则V和V0符号相同，T大于t。.

圣诞老人会化身千万，穿越空间，从一个烟囱钻到另一个烟囱。
好像圣诞老人是钻烟囱的吧。不过现在家里都没烟囱了，光剩脱排油烟机的排风管了。.

你掉入了自己给自己设置的怪圈。

1 无理数是指不能写成两个整数之比的数。这是一个定义，没有为什么。当然你可能忘记了。
2 判断是否存在无理数，完全不涉及无限不循环小数这个概念。
3 在知道了存在无理数后，我们又可以进一步证明无理数如果用小数来写的话，必定是无限不循环小数。当然你可以不必这么麻烦，一定要把某个无理数写成无限不循环小数，并且事实上没有人能真正地“写”出任何一个无限不循环小数。
4 所以“存在无理数”即意味着：这个无理数用小数写出来必须是“无限不循环的”。故而，你说的“那么在小数点之后的无限多个数中就有一种可能，即从某个数字起，后面的数字排列重复此前的数学排列”的可能性根据“无限不循环“的定义不存在。

你悟出来了没有？.

更强一点的命题是：“存在无穷多个无限不循环小数”，这个也没想好该如何证。

这个问题可以用反证法证明。

假设，只有有限个（比如n个）无限不循环小数。
那么，将它们任意排列后，从第1个中取小数点后第1位的那个数以外的任意数值，从第2个中取小数点后第2位那个数以外的任意数值。。。作为一个新的小数的，小数点后第1位，第2位。。。直到第n位。
然后取第n个小数的第n+1位以后的所有位，作为那个新小数的n+1位以后的所有位。
显然，这个新的小数也是一个无穷不循环小数。（如果不是那么第n个数也不是，和条件相反。）
其次，这个新的无限不循环小数不等于之前的任何一个无限不循环小数。和假设相矛盾。.

我设想的一个构造无限不循环小数的方法。

随便选0-9十个数组成小数点后前10位（顺序不限）。如  0.0123456789。
第11-20位选择为第1-10位后一个数的值（规定9后为1）。0.0123456789，1234567891。
第21-40位分别选择为第1-20位后一个数的值。（为了看清楚我用逗号分隔小数）
0.0123456789，1234567891，1234567891，2345678912。
到第80位为：
0.0123456789，1234567891，1234567891，2345678912，
    1234567891，2345678912，2345678912，3456789123。

依次不断重复，即可得到一个无限不循环小数。可用数学归纳法证明。.

恩。同意。
不过有些人在乎怎么写出那个无限不循环小数来。.

晚上我试试吧。
你也可以试试对我的命题证否。.

这个和0.101001000100001。。。是异曲同工。.

恩。你说的有道理，我这里的“无穷多个”以及“无限”“有限”这些词都用得不准确。自然数的个数本身就是“无穷多个”，你的构造完全没有问题。
我原来帖子这里讲的“无穷多个”时的意思是比自然数的个数（即n个，n是任意大的自然数）更多的无穷多个。.

我的理解是：把实数和数轴上的点一一对应，是一种对实数连续性的直观地比喻性质的描述。
这样说的好处是，数轴我们看得到且容易想象，数轴的“连续性”我们可以凭借本能和直观感觉到，所以实数的连续性我们也似乎能本能地直观地感觉到了，这个实数的根本性质就变成不证自明的了。（换句话说，诱导学生自己发现并认同了实数的连续性这一公理，尽管他们完全没有意识到为什么需要这条公理。）
于是老师可以继续往下教了。

总之，这是一种为了便于教学的“方便”讲法。

[ 本帖最后由 jyuntoku 于 2009-6-30 15:28 编辑 ].

整数、有理数、偶数、自然数这几个集合的势是一样的，可以说是一样“多”。.

对，就是你说的那个地方表述有问题。.