猫老师又出题啦！真高兴！
如方程有正整数解，则y>x；
原方程整理为(y-x)(y^2+xy+x^2)=11*11*11；
y-x=1, x^2+xy+y^2 = 11*11*11无正整数解；
或y-x=11,x^2+xy+y^2=11*11，也无正整数解。矛盾。证毕。.

猫老师火眼金睛啊。。。如果俺去参加考试，肯定是要扣分的。。。
接２楼：
或y-x =11*11，x^2+xy+y^2=11，也无解；
或y-x=11*11*11，x^2+xy+y^2=1，也无解。.

么办法,要上班,哪能打发辰光呢?.

您可参见5#active69的回复。

解释如下：
1、因为11是质数，在x、y均为正整数的假设下，只可能y - x =1，11，11*11或11*11*11（x^2+xy+y^2相应等于11*11*11、11*11、11或 1）。在4#的解答中，忽略了后两种可能性，给猫老师揪出来了；
令y=x+1、+11、+11*11或+11*11*11，分别代入x^2+xy+y^2相应的方程，直接用求根公式就可知无整数解（或参照5#的方法瞧瞧两边的数字），或偷懒一点用韦达定理之两根之积的公式也可知无整数解。.